函数核心性质（9大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考解析版）

压轴题03函数核心性质应用

函数核心性质应用

添加导数的双函数型

3盘重点•抓核心

总论：

函数核心性质是：在定义域内单调性，奇偶性，周期性综合应用。

函数核心技巧是：利用函数左加右减，上加下减，分离常熟等技巧，寻找函数的单调性、奇偶型与周期性,

以用于解题。

函数性质：

1.中心对称性：

若/(x+a)+/(-x+〃)=c,则函数“力关于［与上，中心对称，

2.轴对称性：

/(x+a)=/(-%+&),则函数“力关于天=岁对称，

3.函数周期性：

函数的周期性：设函数y="“，xeR,。＞0,a^b.

(1)若〃x+4)=〃x-a),则函数〃x)的周期为2a；

(2)若/(—(x),则函数/((的周期为2田

⑶若/(」+。)=-焉,则函数/⑺的周期为2”；

(4)若"x+a)=dj,则函数/(X)的周期为2a；

(5)若〃x+a)=〃x+»,则函数〃x)的周期为,―加

(6)若函数"力的图象关于直线x=。与x=b对称，则函数的周期为2也-4；

(7)若函数/(*)的图象既关于点(。,0)对称，又关于点(80)对称，则函数/(x)的周期为2性-4；

君练压轴•:中高分

压轴题型一：广义奇函数“中心对称”

\/满分技法

中心对称常见关系式子：

1、f（x+7%）+f（n-x）=h,则对称中心心叶“士）

22

2、f（x+m）+f（n-x）=0,则对称中心（羽已,0）

2

3、f（x）=2b-f（2a-x）,则对称中心（a,b）

4、f（x）+f（2a-x）=2b,则对称中心（a,b）

1.已知定义在R上的函数/（x）满足x）=4,且函数f（x）的图象与直线y=k（x-92有1个

m

交点（冷yj，（%，%），，（%%.），则£（%+%）=（）

Z=1

A.0B.2mC.4mD.8m

【答案】c

【分析】利用直线过定点以及函数的中心对称性质计算可得.

【详解】由题意可得直线>=%（尸2）+2恒过点（2,2）,且关于（2,2）对称.

函数“X）满足/（x）+/（4—x）=4,则函数”x）的对称中心为（2,2）,

所以芯+々++K2,…++J,

mm

m

所以EQ+%）=2m+2m=4m.

w

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数对称性得出/（x）的对称中心为（2,2）,再结合直线过定点即可

求得结果.

2.设〃x）=x+sinx,｛%｝为等差数列，5“=£4,7；=丑〃4），贝1|“52024=2024兀”是名024=2024兀”的（）

z=li=l

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【分析】分析函数"X）的单调性与对称性，得函数"X）在R上单调递增，且图象关于点3兀）中

心对称.再利用等差数列的性质可得G+a2024=a2+«2023==«1012+«1013,然后从充分性与必要性两

个方面论证，用反证法进行必要性的证明.

【详解】已知/Xx）=x+sinx,xeR,

则/V）=l+cosx>0,故/1（x）在R上单调递增.

又由/（x）=x+sinx,得/（2兀-x）=2兀-x+sin（2兀一%）=2兀-x-sinx,

故/（尤）+/（2兀-尤）=2兀，则函数/（尤）的图象关于点（无，兀）中心对称.

已知数列｛。“｝是等差数列，则4+。2024=。2+。2023==%012+。1013.

①先证明充分性：

若S2024=2024兀，由数列｛叫是等差数列，

可得SM=202火"；+==2024兀，

贝！Jai+42024=%+^2023=一=a1012+"1013=2兀,

所以由函数，(元)的对称性可知,

/(«))+/(a2024)=27r,/(a2)+/(a2023)=27i,L,/(a1012)+/(a1013)=2TI,

2024

^024=E/(«/)=1012X27T=20247T,即“S。24=2024TT=7^4=2024兀”得证.

Z=1

因此，“邑。24=2024兀”是“7M24=202471”的充分条件；

②再证明必要性：

下面用反证法证明：假设52024<20247r,

已知数列｛为｝是等差数列，则四*±3<2024兀，

a

即%+6?2024<2n,由等差数列性质可得'\+。2024=。2+。2023=…=%012+%013<2n,

—

以%<2兀一02024，。2<2兀一°2023',>a1012<2兀a1013>>，^2024<2兀一弓,

由函数f(x)=x+sin尤在R上单调递增，可得/⑷</(2兀-a2024)=27i-/(a2024),

/(a2)</(2n-a2023)=2;i-/(a2023),

/(«2024)</(2TI-«1)=2K-/(«1),

20242024

各式累加得，弓24=)<2024X2兀-)=2024x2Tt-T20M,

Z=11=1

所以2盘”<2024x2兀,即7；024<2024K,

这与已知T2024=2024兀矛盾，故假设错误；

同理，假设邑网>2024兀，可证得4H4>2024兀，也与已知乙?，=20247r矛盾，故假设也错误；

所以“T2024=2024兀n邑°”=2024兀”得证.

即“星期=2024兀”是“弓〃=2024兀”的必要条件.

综上所述，“邑。24=2024兀”是“7Mo4=2024兀”的充要条件.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于应用反证法进行必要条件的证明，基于自变量不等

(大小)关系的假设，借助函数/(x)单调递增等价转化为函数值的不等关系，进而结合函数对

称性推出与等量关系矛盾.

3.已知定义在R上的函数/⑺的图象关于点。,0)对称，/(x+l)+/(x+2)=0,且当xe0,1时，

/(^)=+log,(3.x+1).若+则实数，"的取值范围为()

A.^+1,2Z:+|^eZ)B.

C.一q,左+7)(左eZ)D.(2A—个2A:+(左eZ)

【答案】A

【分析】由图象关于点(1,0)对称和〃x+l)+〃x+2)=0找到图象的对称轴和周期，再由

〃无)=iog?(3元+i)-嚏+2确定单调性，分别求出巾,巾,巾，画出大致图象，最后数形结合求

出取值范围.

【详解】由的图象关于点(1,0)对称可得〃x+2)=-〃—x).

由/(x+l)+〃x+2)=0,可得〃x+l)T(x+2)=〃—x),

故函数“X)的图象关于直线尤=；对称，

>/(x+2)=-/(x+l)=-(-/(x))=〃尤)，得“X)的周期为2.

2+1

当xe0,J时，f(x)=+log2(3x+1)=^^+log2(3x+1)=log2(3x+1)一一^-+2,

_z」％+lX+1x+1

故实数机的取值范围为(2左+；,24+||(左eZ).故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，/(x+l)+/(x+2)=O确定函

数的周期和对称轴.

4.已知函数/(X)是定义域为R的函数，/(l+x)=-/(l-x),对任意4、x,e[l,+oo)(^<x2),均有

/(x2)-/(^)>0,已知加、为关于x的方程f_2x+产-3=0的两个解，则关于f的不等式

〃加)+“〃)+/⑺>0的解集为()

A.(—2,1)B.(―℃,1)C.(1,+°°)D.(1,2)

【答案】D

【分析】由韦达定理可得出租+〃=2,可得出〃祖)+/(〃)=0,且△>(),分析函数/(X)的对称性和单调

性，将所求不等式变形为结合函数/'(力的单调性可求得f的取值范围.

【详解】因为优、”(〃件〃)为关于*的方程尤2-2%+产-3=0的两个解，

则△=4-4(»-3)=16-4产>0,解得一2</<2,由韦达定理可得利+〃=2,

因为函数“X)是定义域为R的函数，/(l+x)=-/(l-x),即〃l+x)+〃l—x)=0,

所以，函数的图象关于点。,0)对称，则〃加)+/5)=0且"1)=0，

因为对任意七、x2efl,+co)^<x2),均有/(%)一/(%)>0,即〃不)<〃9)，

所以，函数/'(x)在口,")上为增函数，则该函数在上也为增函数，

从而可知，函数/(x)在R上为增函数，

由〃〃2)+〃")+/⑺>0可得=解得f>l,所以，

因此，关于f的不等式〃〃?)+〃")+〃。>0的解集为(1,2).

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用函数的对称性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式

来求解，方法是：

(1)把不等式转化为/[g(》)]>/[M*)]；

(2)判断函数/(X)的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，

但要注意函数对称性的区别.

5.若定义在R上的函数/(x)满足〃x+2)+/(x)=/(4),/(2x+l)是奇函数，/^=1,则£%/［左一；)=

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和.

【详解】根据〃尤+2)+/(%)=/(4),以x+2代换x得：/(x+4)+/(x+2)=/(4),所以/(x+4)=/(x),可

知函数/(x)的周期为4,

因为〃2x+l)是R上的奇函数，所以f(-2x+l)+/(2x+l)=0,即，(无)关于点(1,0)对称，

由/(尤+4)+/(x+2)=/(4),取x=0得f(4)+〃2)=/(4),即/⑵=0,

则/(4)=/(0)=—/(2)=0,因止匕/(x+2)+/(x)=0,取x=T，得+=

于是佃+2/图+3/(|卜呢,［佃+/图卜3［/(|卜O图+/［卜,

因此，£［"寸=5/］|/5(4+>=5/1>5.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性.

压轴题型二：广义偶函数“轴对称”

满分技法

轴对称常见关系式子：

1、f(a+x)=f(a-x)，则对称轴x二a

2、f(a+x)=f(b-x)，则对称轴x二竺^

2

3f(x)=f(2a-x),则对称轴x二a

轴对称函数，简称为“和定为轴”。

1.已知偶函数〃%)满足〃3+X)=〃3-尤)，且当光40,3］时，/⑺=加=若关于％的不等式尸(力-/(力>0

在［-150,150］上有且只有150个整数解，则实数/的取值范围是()

(J.)「」~\\

A.0,e2B.e2,3^2C.3e2,2^-1D.e2,2e-1

\7L7\7\J

【答案】B

【分析】根据偶函数〃x)满足〃3+x)"(3-x),得到函数〃x)是以6为周期的周期函数，由xw［0,3］时,

“同=，用导数法结合偶函数，作出数/(x)在(一二刃上的图象，将不等式产⑴-犷(力>0在［-150,150］

上有且只有150个整数解，转化为在一个周期(-3,3］上有3个整数解分别为-2,2,3求解.

【详解】因为偶函数“X)满足43+X)="3-X),所以〃6-力"⑺=〃r),即八6+0"(尤)，

所以函数〃x)是以6为周期的周期函数，当xe［0,3］时，f^=xei,所以尸(无)=/(「'，

当04x<2时，f\x)>Q,函数递增；当2<x«3时，/'(司<0,函数递减;

当当x=2时，函数/(x)取得极大值/(》)=：,作出函数，(x)在(-3,3］上的图象，如图所示:

因为不等式/(力-外力>0在［-150,150］上有且只有150个整数解，

所以不等式r(x)-"(x)>0在(-3,引上有且只有3个整数解，当/(无)=。时，不符合题意，

故不等式“X)>/在(-3,3］上有且只有3个整数解，因为了⑴=”,〃3)=3♦，

所以需=：>1，即/⑴<〃3),故不等式在(-3,3］上的3个整数解分别为-2,2,3,

所以，/(l)<r</(3),即/</<3/，故选：B

【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；

另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.

2.设函数在R上存在导函数/'(X),对任意实数x,都有〃x)=/(-x)+2x,当x<0时，r(x)<2%+l,

^/(2-fl)</(-fl)-4«+6,则实数。的最小值是()

A.1B.—1C.；D.—

22

【答案】A

【分析】构造函数g(x)=/(x)-f—x,根据等式〃x)=〃_x)+2x可得出函数y=g⑺为偶函数，利用导

数得知函数y=g(x)在(-8,0)上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在(0,+8)上单调递增，由

f(2-a)<f(-a)-4a+2,得出g(2-a)Wg(-a),利用函数y=g(x)的单调性和偶函数的性质解出该不等

式即可.

【详解】构造函数g(x)=〃x)--一x,对任意实数尤，都有〃x)=〃r)+2x,

贝！］g(x)=/(x)-^2-x=f［-x)-x2+2x-x=f(-x)+(-X)--(-x)=g(-x),

所以，函数,"g(x)为偶函数，，g(x)=g(W).

当尤<。时，g'［x)=<0,则函数y=g(x)在(一8,0)上单调递减，

由偶函数的性质得出函数y=g(x)在(0,+8)上单调递增，

/(2-A)</(-a)-4o+6,即/(2-a)-(2-a)2-(2-a)</(-a)-(-a)2_(_o)，

即g(2-a)<g(-a),则有g(|2-a|)<g(|a|),

由于函数y=g(x)在(0,+8)上单调递增，，|2-4W4，即0-幻飞"，解得azl,

因此，实数。的最小值为1,故选A.

【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式

的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的

能力，属于难题.

3.定义域为R的函数“X)满足〃T)=〃X)+2X,且当xNO时，f\x)>2x-1,则不等式

/(2x—1)-/(x)<3V—5x+2的解集为()

A.B.C.D.18,一/)口(1,+⑹

【答案】B

【分析】令g(x)=/(x)-x2+x,问题转化为g(2x-l)<g(x).由〃-x)=/(x)+2x得g(r)=g(x),即g(x)

为偶函数；结合r(x)>2x-1可知g(x)在(o,+e)上单调递增，在(-8,0)上单调递减.根据函数g(x)的单调

性和奇偶性求出不等式g(2x-1)<g(x)的解集即可.

2

【详解】^g(x)=f(x)-x+x.

f(-x)=f(x)+2x,:.g(-x)=f(-x)-xi-x=f(x)+2x-x1-x=g(x),：.g(x)为R上的偶函数.

,当xNO时，/,(x)>2x-l,g〈尤)=—(x)-2x+l>0,

所以g(X)在(0,+e)上单调递增，在(e,O)上单调递减.

由f(2X-1)-/(J;)<3x?-5x+2得+(2x-l)</(x)-/+x,

即g(2x—1)<g(x),所以|2x-1<W,即(2x-</，解得g<x<i,即不等式/(2x—1)-/(x)<3——5x+2

的解集为

故选：B.

【点睛】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，

设法构造目标函数，通过研究函数的单调性、最值等问题，进而解决不等式、方程及最值之类问题.准确构

造出符合题意的函数是解题的关键.本题解题关键为构造函数g(x)="x)r2+x,研究函数g(x)的奇偶性和

单调性，从而求解不等式.

4.已知函数“X)对任意尤eR满足〃x)=〃-4-x),任意“x2€(-00,-2],且工产超，都有

/"'二，_々)>0,则不等式〃2A2)>〃X+1)的解集是()

A.(―8,—l)u(3,+8)B.(―e,—1)

C.(3,+力)D.(-1,3)

【答案】D

【分析】判断函数的对称性和单调性，由此化简不等式〃2x-2)>〃x+l)并求得不等式的解集.

【详解】依题意，函数/(x)对任意XCR满足〃尤)=/(Tr),

所以/(x)关于直线x=-2对称.

由于任意与X2G(-^,-2],且x产马，都有"为)一"T-x?)=->0,

玉一马玉一%2

所以/(X)在(F，-2]上单调递增，则/(X)在(-2,+8)上单调递减，

所以由/(2x-2)>/(x+l)可得1(2元_2)_(_2)|<|(x+l)_(_2),

Bp|2x|<|x+3|,两边平方并化简得％2-方-3=(x-3乂%+1)<0,

解得-L<x<3,所以不等式/(2x-2)>/(x+。的解集(-1,3).

故选：D

【点睛】易错点睛：

对称性理解不清：如果没有准确理解函数的对称性，可能会导致错误地推导不等式的解集.

不等式求解过程中的符号错误：在化简过程中，可能会忽略符号导致最终解答不正确.

求解不等式时的步骤遗漏：在求解二次不等式时，遗漏了符号分析，导致错误的结果.

/、/、f|log7x|-m,0<x<2,

5.设机e(O,l),函数2<x<4有4个不同的零点4，%,Z，且玉<々<三<匕,

则4+4-26的取值范围是()

石+工2

【答案】A

【分析】先求出函数的解析式，根据题意，由零点，可以得方程，然后常变量分离，构造函数，利用新构

造函数的对称性，得到现，龙2，鼻，彳4之间的关系，再根据对数的运算性质，得到孙超之间的关系，这样可以

把王土上丝化简成关于七的代数式，最后利用换元法，基本不等式以及函数的单调性求出值域即可.

玉+x2

【详解】当2cx<4时，有。<4-x<2,因此有/■(x)=/(4-x)=|log2(4-x)|-〃2,

所以函数的解析式为八)=f朦|log]9x)\|—一m,0犯<x2<2«4,

log9x\,0<x<2

由题意/(x)=0有四个不同的实数解，因此m=〈…有四个不同根,

log2x|,0<x<2

设函数g(x)=

log2(4-x)|,2<x<4

可知函数,=根的图象与函数y=g(x)的图象有四个不同的交点,

函数y=g(x)的图象如下图所示：

要想函数,二根的图象与函数y=g(x)的图象有四个不同的交点,必须有0<相<1,

止匕时有。<玉<1〈工2<2〈工3<3<工4，

再由/。)=/(4-%),结合图象可知：y=g(%)函数是关于直线x=2对称，

因此有玉+%4=%+%3=4,

由|1。82石|二|1。82%|可知一1。82%1=1。82冗2，即lOg2(%%2)=。，故石Z=1，

125、(4-％>+(4-％J?-264

玉+%2=%+—£2,不，所以-------------------二(玉+冗2)+------------8，

X

2\Xi+X2再

^t=x1+x2.­.fe^2,-|^,令//(0=/+——8,函数在上单调递增，

又/，(2)=-4,/7^]=-会，所以一4</7(。<一号.

、乙，，U1U

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用换元法转化为对勾函数后，根据对勾函数的单调性求取值范围，是解题的关键

所在，另外需注意其中数形结合的应用.

压轴题型三：周期型

V满分技法

1、f(x+a)=f(x+b),贝UT=|a-b|

2、f(x+a)=-f6)=即£(x+a)+f(x)=0,贝打=2同

k

3、f(x+a)=±-----nf(x+a)»f(x)=±k,则T=2|a|

f(x)11

4、f(x)=f(x+a)+f(x-a)，则T=6a

周期函数特征，简称为“差定为期”。

5.正余弦型函数对称性质，可类比正弦(或者余弦)简洁记忆:

(1)俩中心(a,0),(b,0),T/2=|a-b

⑵俩垂直轴x=a,x=b,则T/2=|a-b|

(3)一个中心(a,0),一条轴x=b,则T/4=|a-b|

1.已知函数/(x)的定义域为R,『(尤+4)为偶函数,/(-x+2)为奇函数,且/(力在［0,2］上单调递增，

则下列错误的是()

A./(2)=0

B.x=4为函数"X)图象的一条对称轴

C.函数/'(x)在［4,8］上单调递减

D-/(1)</(7)

【答案】D

【分析】由/(—x+2)为奇函数可得了(—x+2)+/(x+2)=0,取x=0,即可判断A；由“x+4)为偶函数

可得〃x+4)=〃f+4),即可判断B；分析可得在［0,4］上单调递增，结合B选项可判断C；由

/(x+4)=/(-x+4),取*=一3,即可判断D.

【详解】A选项，因/(T+2)为奇函数,则/(-x+2)+/(x+2)=。,

令x=0,得"(2)=0,可得"2)=0,故A正确；

B选项，因/(x+4)为偶函数,则〃x+4)=/(-x+4),

即x=4为函数/(x)图象的一条对称轴，故B正确；

C选项，由+2)+7(x+2)=0,得(2,0)为图象的一个对称中心，

又/(x)在［0,2］上单调递增，则〃x)在［2,4］上单调递增，

所以“X)在［0,4］当单调递增，

又由B选项可知函数f(x)在［4,8］上单调递减，故C正确；

D选项,由B选项，/(x+4)=/(-x+4),令13,可得〃1)=/⑺,故D错误.

故选：D.

2.若定义在R上的函数满足了(x+2)+〃x)=0J(2x+l)是奇函数，=设函数

g(x)=xf(x-^\,贝ljg(l)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)=()

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和.

【详解】根据题意，定义在R上的函数“X)满足/(x+2)+/(x)=0,

则“x+4)=-/(x+2)=/(x),故函数为周期函数，4是函数“X)的一个周期.

因/(2x+l)是R上的奇函数，贝l］/(-2x+l)+/(2x+l)=0,f(x)的图象关于点(L0)对称,

于是植+同=。,唱+小"图+小+。,

在/(x+2)+/(x)=0,=得+=因g(x)=#(x-g),

13579

则g⑴+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)=/(-)+2/(-)+3/(-)+4/(-)+5/(1)

乙乙乙乙乙

=5/(|)=5/(4+1)=5/(1)=5.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对

称性解题.

3.已知可导函数的定义域为为奇函数，设g(x)是“X)的导函数，若g(2x+l)为奇函数，

110

且g@=：，则£h(2Q=()

2k=i

、1111-13-13

A.一B.----C.——D.-----

2222

【答案】B

【分析】由7色-1]为奇函数，结合导数运算/'(x-1)=/'(T-1),由g(2x+l)为奇函数，得到

g(x+l)+g(-x+l)=0,通过整理可得g(x+4)=-g(x),进而分析得至Ug(8左+2)=g(8k+4)=-(

g(8Z+6)=g(8左+8)=g/eZ,从而得出结果.

[详解]为奇函数，二/|^_1)=_/[一5_1]

BP/(x-l)=-/(-^-l),两边求导得广(x-l)=/'(T-l),

则g(x-l)=g(—x-l),可知g(尤)关于直线x=-l对称，

又g(2x+l)为奇函数，所以g(2x+l)+g(—2x+l)=0,

即g(x+l)+g(-x+l)=0,可知g(x)关于直线(1,0)对称，

令彳=1,可得g(2)+g(0)=0,即g(2)=_g(0)=-：,

由g(xT)=g(rT)，可得g(x)=g(-x-2),

由g(x+l)+g(-x+l)=。，可得g(x)+g(-x+2)=0,BPg(x)=-g(-x+2),

可得g(-x—2)=-g(—尤+2),即g(x+4)=-g(x),

令x=0,可得g(4)=-g®=-；；令x=2,可得g6=-g⑵=g；

且g(x+8)=-g(x+4)=-[-g(x)]=g(x),可知8为g(x)的周期.

可知g(8左+2)=g(8%+4)=—g,g(8左+6)=g(8左+8)=g,左eZ,

101111

所以£%g(2左)=一(1+2+5+6+9+10)+—(3+4+7+8)=——.

t=\222

故选：B.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中

根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

C1>12023

4.已知函数/(x)的定义域为R,且7'(尤+2)+/(尤)=/(0)](2无+1)为奇函数，/!-!=-,则=

()

20232023

C.D.

22

【答案】B

【分析】首先根据/(》+4)=/。)求出/。)的一个周期为4,由/(2x+l)为奇函数求出函数"X)的图象关于

点(1,0)对称，然后求解即可.

【详解】由f(x+2)+f(x)=/(0),</(x+4)+/(x+2)=/(0),

所以/(%+4)=/(元)，所以/(x)的一个周期为4.

由f(x+2)+/(x)"(0),令x=0,则有/⑵+/(。)=/(0),所以42)=0.

因为/(2x+l)为奇函数，所以/(一2x+l)=-/(2尤+1),所以/(一x+l)=-/(x+1),

所以函数/(x)的图象关于点(L0)对称，

所以〃2)=/(0)=0,,所以/(x+2)=-/(x),

令x=；，则小31+13

即/

2

令X=:,则/

2

3137

令犬=；,则/0,

222

又因为/(x)的一个周期为4,所以

20232n-]3

Zf+/

n=l2

+/

故选：B.

2025

5.已知函数的定义域为R,且〃x+2)+〃x)=0,5(x+l)为奇函数,fi,则£灯

k=\

()

A.2025B.-2025C.4050D.-4050

【答案】A

【分析】通过条件可得/(x)是周期为4的函数，由/(x+1)为奇函数得/(-x+l)=-/(x+1),通过给不赋

值可计算出了,利用函数的周期性可得结果.

【详解】因为/(%+2)+。(£)=。0,所以〃x+2)+〃x+4)=0,

所以/(H=/(x+4),所以〃x)的周期为4,

因为『(X+1)为奇函数，所以/x+l)=—/(X+1)②

令尤=；,由②得了

1,所以7-1，

1

①中令x=0,所以了-1，

r得/出2+了

令尤=|，得/图3+63+2卜0,所以7

=1,

22

综上，f(4m+^\=f=l,fUm+||=

5=-l,f(4m+^\=

/(4m+i=meZ,

所以(4m+l)/f4m+；)+(4m+2)/14/w+：3|+(4〃z+3)/14m+g5|+(4"?+4)/f4m+g7

222

=(4m+l)xl+(4m+2)x(-l)+(4m+3)x(—l)+(4m+4)xl=0,

2025

由函数的周期性得,=506x0+2025/12025-1=20252024+1=2025/2025.

k=\

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题求出特殊值的函数值及周期后，关键在于发现

(4机+l)/(4m+，+(4%+2)/(4/n+|J+(4/7i+3)/(4m+g]+(4m+4)/(4m+3为常数，据此4个相邻项

和为一组，利用周期即可得解.

压轴题型四：双函数型

V，满分技法

“双函数”

双函数常规思维：是依赖单调性、中心对称性、周期性来推导函数。

双函数实战思维：

1.双函数各自自身对称性

2.形如g(x)=a-『(x+b)+c。借助数形结合，f(x)的性质，可以传递给g(x)。

3.形如f(x)=m・/(x+n)+h,与g(x)=a・/(x+b)+c,可以借助函数方程消去一个，剩余另一个函数,

再借助函数性质得到图像特征。

L已知函数/(x),g(x)的定义域均为RJ(x+l)的图象关于x=-l对称，g("l)+l是奇函数，且

g(x)=/(x+2)+4,/(4)=-3,则下列说法正确的有()

A./(x)=/(-x)B.g(-l)=O

2023

C.g⑵=1D.£g(i)=-2021

4=1

【答案】ACD

【分析】A选项，根据/(尤+1)的图象关于X=-1对称，所以/(X)关于y轴对称，故"X)=〃-x),A正确；

B选项，由奇函数性质得到g(0-l)+l=0,故g(-l)=-l,B错误；CD选项，由题目条件得到

g(-x-l)+g(x-l)=-2,结合一x)=/(x)得至Ug(x_3)=g(_x_l),故g(x-3)+g(x—l)=—2,推出

g(x)=g(x+4),得到周期，赋值法得到g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=Y,g(2)=〃4)+4ng(2)=l,并利

2023

用周期求出»＞。)=-2021.

Z=1

【详解】A选项，因为〃X+1)的图象关于x=-l对称，所以“X)关于y轴对称，

故/。)是偶函数,则/⑺="-x),故A正确；

B选项，因为g(x-l)+l是奇函数，所以g(O—1)+1=。，即g(-l)=-l,故B错误；

CD选项，由g(-x-l)+l=-[g(x-l)+l]ffg(-x-l)+g(x-l)=-2,

又g(x)=f(x+2)+4,所以〃x)=g(x_2)_4,X/(-x)=/(x),

即g(x-2)—4=g(—彳—2)—4,即g(x—2)=g(一无一2),贝｝|g(x-3)=g(一尤一1),

所以g(x-3)+g(x-l)=-2,所以g(x)+g(x+2)=_2①，

即g(x+4)+g(x+2)=-2②，

②-①得g(x)=g(x+4),所以函数g(x)的周期为4,

令x=l,由g(x)+g(x+2)=-2,得g⑴+g⑶=-2,

再令x=2,贝ljg(2)+g(4)=—2,所以g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=T,

又〃4)=一3,由g(2)=〃4)+4ng(2)=l,

2023

所以Xg(i)=g⑴+g(2)++g(2023)=505x(-4)+g⑴+g(2)+g(3)

Z=1

=-2020+(-2)+1=-2021,故C,D正确.

故选：ACD.

2.已知定义在R上的函数,g(x)满足〃3—x)=〃l+x),g(2-x)+g(x)=2,+="2x)+1,

则下列结论正确的是()

A./(6-x)=/(6+x)B.g(x+2)=g(x)C./(6-x)+/(x)=0

24

D.Z[〃i)+g⑺]=48

Z=1

【答案】ABC

【分析】根据题意将g(x)全部转为〃x),可得〃3T)+〃XT)=0,再结合题意分析可得/(久+2)=

-fix),进而可得“》+4)=/(力，〃6—力="6+尤)，/(6-"+外力=0,即可判断AC；结合周期性分

析可得g(x+2)=gQ),即可判断B；根据题意分析可得/⑴+/⑵+/⑶+/⑷=0,g(l)+g(2)=2,

结合周期性判断D.

【详解】因为g[x+g)=/(2x)+l,即g(x)=/(2x—l)+l,

又因为g(2-x)+g(x)=2,贝|/(2(2—x)—1)+1+/(2尤-1)+1=2,

可得〃3—2尤)+/(2尤-1)=0,Ep/(3-x)+/(x-l)=0,贝4(3—力=一〃-1+x),

又因为/(3r)=〃l+x),则一〃—1+尤)=/(1+0，

可得/(x+2)=-/(%),则f(x4-4)=-f(x+2)=/(%),

可知4为〃x)的周期，

由"3-x)=〃l+x),可得"7-x)=〃5+x),则"6-x)=〃6+x),故A正确；

由*3-x)=〃l+x),可得〃x)=〃4一x),

且fO+2)=-f(x),可得/(4—x)=-/(6-x),

则〃x)=—〃6-力，gp/(6-x)+/(x)=0,故C正确；

因为/(x+4)=/(x),则/(2尤+4)+l=/(2x)+l,

H.g(x)=/(2x-l)+l,贝ij+=+,

所以g(x+2)=g(x),可知2为g(x)的周期，故B正确；

由“6-无)+〃尤)=0,可得/(2)+/(4)=0,/(3)+/(3)=0,即"3)=0,

由〃3—x)+，(x—l)=0,可得〃1)+〃1)=0,即〃1)=0,

24

则/(I)+/(2)+/(3)+/(4)=0,结合周期可得⑺=。，

i=l

又因为g(l)=/(l)+l=Lg(2)=/(3)+l=l,

24

可得g。)+g(2)=2,结合周期可得£g(z)=24,

Z=1

242424

所以Z[/(i)+g(i)]=27(。+£g1)=24,故D错误；

Z=1Z=1Z=1

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中

根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

3.设/'(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，且/'(x)为单调函数，若对任意X6R有“g(x)-x)=a

(a为常数)，g(〃x+2))+g(〃x))=2x+2,贝|()

A.g(2)=0B.〃3)<3

C./(x)-x为周期函数D.£/(的>2"+2〃

k=l

【答案】BC

【分析】对于A,在f(g(x)-x)=4中，令无=0得。=/(8(0))=〃0)=0,"力为单调函数,所以8(2-％=0；

对于B,由/(3)+/(1)=4,得"3)=4-〃1)<3,对于C,设Mx)=〃x)r,则由〃x+2)+〃x)=2尤+2,

可得〃(X+2)+/2(X)=0,对于D,由/2(X+4)=/2(X),得/(x+4)-尤一4=/(尤)一无，｛〃4研为等差数列，

且〃4)一〃0)=4,所以£"44)=4义吗R=2川+2%

k=l2

【详解】在/(g(x)T)=a中，令x=0得a=/(g(O))"(O)=O,

所以/(g(x)-尤)=。，又为单调函数，

所以g(x)-x=0,即g(x)