总体均值的区间估计

1、 一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量约为一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量约为80008000袋袋左右。按规定每袋的重量应不低于左右。按规定每袋的重量应不低于100100克，否则即为不合格。为对产量克，否则即为不合格。为对产量质量进行检测，企业设有质量检查科专门负责质量检验，并经常向企质量进行检测，企业设有质量检查科专门负责质量检验，并经常向企业高层领导提交质检报告。质检的内容之一就是每袋重量是否符合要业高层领导提交质检报告。质检的内容之一就是每袋重量是否符合要求。求。 由于产品的数量大，进行全面的检验是不可能的，可行的办法是由于产品的数量大，进行全面的检验是不可能的，

2、可行的办法是抽样，然后用样本数据估计平均每袋的重量。质检科从某天生产的一抽样，然后用样本数据估计平均每袋的重量。质检科从某天生产的一批食品中随机抽取了批食品中随机抽取了2525袋，下表袋，下表1 1是对每袋食品重量的检验结果。是对每袋食品重量的检验结果。实践中的统计 根据表根据表1 1的数据，质检科估计出该天生产的食品每袋的平均重量在的数据，质检科估计出该天生产的食品每袋的平均重量在101.38109.34101.38109.34克之间，其中，估计的可信程度为克之间，其中，估计的可信程度为95%95%，估计误差不超过，估计误差不超过4 4克。产品的合格率在克。产品的合格率在96.07%73.9

3、3%96.07%73.93%之间，其中，估计的可信程度为之间，其中，估计的可信程度为95%95%，估计误差不超过估计误差不超过16%16%。表1 25袋食品的重量（克）112.5102.6100.0116.6136.8101.0107.5123.595.4102.8103.095.0102.097.8101.5102.010808101.6108.498.4100.5115.6102.2105.093.3 质检报告提交后，企业高层领导人提出几点意见：一是抽取的样质检报告提交后，企业高层领导人提出几点意见：一是抽取的样本大小是否合适？能不能用一个更大的样本进行估计？二是能否将估本大小是否合适？能

4、不能用一个更大的样本进行估计？二是能否将估计的误差再缩小一点？比如，估计平均重量时，估计误差不超过计的误差再缩小一点？比如，估计平均重量时，估计误差不超过3 3克，克，估计合格率时误差不超过估计合格率时误差不超过10%10%；三是总体平均重量的方差是多少？因为；三是总体平均重量的方差是多少？因为方差的大小说明了生产过程的稳定性，过大或过小的方差都意味着应方差的大小说明了生产过程的稳定性，过大或过小的方差都意味着应对生产过程进行调整。对生产过程进行调整。1、参数估计的基本问题；、参数估计的基本问题；2、单个总体均值和比率的区间估计；、单个总体均值和比率的区间估计；3、小样本下的总体参数估计方法；

5、、小样本下的总体参数估计方法；4、样本容量的确定方法；、样本容量的确定方法；5、两个总体均值和比率差异的区间估计；、两个总体均值和比率差异的区间估计；6、分层、整群和等距抽样的区间估计。、分层、整群和等距抽样的区间估计。1、一般正态分布、一般正态分布标准正态分布；标准正态分布；2、区间估计的原理；、区间估计的原理；3、两总体联合方差的表达形式。、两总体联合方差的表达形式。一、点估计点估计就是用样本估计量的一个具体观测值直接作为总体的未知参数的估计值的方法。如上例中随机抽取的100头的平均每头毛重(95.5kg)可作为10000头平均每头毛重 的点估计值 常用的估计量有：(1)样本平均数 为总体

6、平均数 的估计量；(2)样本方差 为总体方差 的估计量；(3)样本成数 为总体成数 P 估计量。x22SP二、点估计的性质 在对总体特征做出估计时，并非所有估计量都是优良的，从而产生了评价估计量是否优良的标准。作为优良的估计量应该符合如下三个标准：1、无偏性 如果样本某统计量的数学期望值等于其所估计的总体参数真值，则这个估计统计量就叫做该总体参数的无偏估计量。如样本平均数的数学期望是总体平均数，则样本均值是总体均值的无偏估计量。 这里无偏估计量是指没有系统偏差(非随机偏差)的平均意义上的量，即如果说一个估计量是无偏性的，并不是保证用于单独一次估计中没有随机性误差，只是没有系统性偏差而已。这是一

7、个优良估计量的重要条件。 若以 代表被估计的总体参数， 代表 的无偏估计量则有： E2、一致性 若估计量随样本容量n的增大而越来越接近总体参数值时，则称该估计量为被估计参数的一致性估计量。估计量的一致性是从极限意义上讲的，它适用于大样本的情况。如果一个估计量是一致性估计量，那么采用大样本就更加可靠。当然，样本容量n增大时，估计量的一致性会增强，但调查所需的人、财、物力也相应增加。例如，以样本平均数估计总体平均数，符合一致性的要求，即存在如下关系：式中 为任意正数。1limxPn3、有效性 有效性是指无偏估计量中方差最小的估计量。无偏估计量只考虑估计值的平均结果是否等于待估计参数的真值，而不考虑

8、估计的每个可能值及其次数分布与待估计参数真值之间离差大小的离散程度。我们在解决实际问题时，不仅希望估计值是无偏的，更希望这些估计值的离差尽可能地小，即要求比较各无偏估计量中与被估计参数的离差较小的为有效估计量。如样本平均数与中位数都是总体均值的无偏估计量，但在同样的样本容量下，样本平均数是有效的估计量。nMDnxDe222)()(:经证明 点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度 因为点估计是基于样本得到的，是随机变量，不可能期望它的值与相应的总体参数的真实值相等，也就是说点估计值和总体参数的真是值之间总会存在一定误差，并且我们是不知道这个误差有多大，这样我们估计的可信度大打折扣。在这一节中

9、，我们将说明如何利用点估计值对单个总体均值和总体比率进行区间估计，并给出估计的可靠程度和准确程度。 区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区间一、总体均值的区间估计：大样本（n30）情形和小样本（n30）情形。 【例例1 1】Duotu公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控公司的服务质量， Duotu公司每月都要随即的抽取一个顾客样本进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示，满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 我们可以将样本满意得分的均值（我们可以将样本满意得分的均值（82分）作为该

10、公司分）作为该公司所有顾客组成的总体的平均满意得分的点估计。当然你也所有顾客组成的总体的平均满意得分的点估计。当然你也许会问：许会问：“这一估计有多好？这次估计的把握程度有多这一估计有多好？这次估计的把握程度有多高？高？” 有多好有多好这一问题其实是想知道以样本均值作为这一问题其实是想知道以样本均值作为总体均值的点估计时所产生的误差有多大。总体均值的点估计时所产生的误差有多大。 我们把无偏点估计值与总体参数之差的绝对值称为抽样误差。当我们用样本均值估计总体均值时，抽样误差可以表达为： 如果我们可以利用式6-1将抽样误差计算出来，那么就可以将式6-1变形为： （6-1） （6-2） 要进行区间估

11、计，关键是将抽样误差E求解。若 E 已知，则区间可表示为： 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行描述。 上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 ，根据中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为 的正态分布。 即：Exx,E20210020nx)2 ,(2uNx抽样误差的概率表述抽样误差的概率表述 我们可以确定样本均值 在总体均值82的周围波动，波动的幅度即为抽样误差。根据抽样分布的知识，这个波动幅度即抽样误差。可以根据事先给定的概率加以计算 ，为了方便运算，通常我们先将一般的正态分布转化为标准正态分布。由概率论，若 ， 服从标准正态分布，记为 。由标准正态分布，

12、有以下式子成立 （6-4） 一般称， 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若事先给定一个置信度，则可根据标准正态分布找到其对应的临界值 。进而计算抽样误差1)(2ZxPx12ZxZxE2 若， 则查标准正态分布附表3可得， 抽样误差 此时抽样误差的意义可表述为：以样本均值为中心的3.92的区间包含总体均值的概率是95%，或者说，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小的概率是0.95。 常用的置信度还有90%，95.45%，99.73%，他们对应的临界值分别为1.645，2和3，可以分别反映各自的估计区间所对应的精确程度和把握程度。 %95196. 12Z92. 32*96. 196.

13、 12xxZE 计算区间估计：计算区间估计： 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为， 由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：92.85,08.7892. 382,92. 382,ExEx已知时的大样本情况x 的抽样分布2x95%x的所有 的值3.923.923x1x x2 13.92x 基于的 区间23.92x 基于的 区间33.92x基于的区间(该区间不包含 )图图1 根据选择的在根据选择的在 、 、 位置的样

14、本均值建立的区间位置的样本均值建立的区间1x x2 3x 上图中，有上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本均值均值3.92的区间能够包含总体均值。的区间能够包含总体均值。 因此，总体均值的区间的含义为，我们有因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为，的把握认为，以样本均值为中心的以样本均值为中心的3.92的区间能够包含总体均值。的区间能够包含总体均值。 通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度的置信区间的估计包含两个部分：点估计和

15、描述估计精确度的正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估计正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估计量与总体参数之间的最大误差范围。量与总体参数之间的最大误差范围。总结总结：1已知时的大样本下的区间估计nZx2值。的为侧尾部中所提供的面积为在标准正态分布的右）为置信系数；式中，（Z212Z计算区间估计：计算区间估计： 在大多数的情况下，总体的标准差都是未知的。根据抽样分布定理，在大样本的情况下，可用样本的标准差s作为总体标准差的点估计值，仍然采用上述区间估计的方法进行总体参数的估计。未知时的大样本下的区间估计nSZx2值。的为侧尾部中所提供的面积为在标准正态分布的右）为

16、置信系数；式中，（Z212Z未知时的大样本情况 【例例2 2】 某市交通部门为了对城市的环境进行监测，定期公布该市居民每天小汽车的里程数，抽取36个居民作为一个简单随即样本，得到资料如表6-2所示。试构造该市民每天小汽车里程数的总体均值的95%的置信区间。居民居民汽车里程数汽车里程数居民居民汽车里程数汽车里程数居民居民汽车里程数汽车里程数居民居民汽车里程数汽车里程数12345678932504024334445484410111213141516171847313639464539384519202122232425262727435436344823364228 29303132333435

17、36343934354253284939未知时的大样本情况分析：区间估计包括两个部分点估计和误差边际，只需分别求出即可到的总体的区间估计。解：已知（1）样本的平均里程数（2）极限误差(误差边际)96. 1%951362 Zn，（大样本），（大样本），5 .393636405032 nxxs2样本标准差（未知）总体标准差nZE样本标准差极限误差（3）95%的置信区间为39.5 2.54 即（36.96，42.04）公里。 注意注意（1）置信系数一般在抽样之前确定，根据样本所建立的区间能包含总体参数的概率为100(1-)%（2）置信区间的长度（准确度）在置信度一定的情况下，与样本容量的大小呈反方向

18、变动，若要提高估计准确度，可以扩大样本容量来达到。77. 71)(2nxxs54. 23677. 7*96. 122 nsZnZE 在小样本的情况下，样本均值的抽样分布依赖于总体的抽样分布。我们讨论总体服从正态分布的情况。t分布的图形和标准正态分布的图形类似，如下图示：)(30nstxx分布服从未知总体标准差服从正态分布已知总体标准差小样本0标准正态分布t分布（自由度为20）t分布（自由度为10）图6-3 标准正态分布与t分布的比较 在分布中，对于给定的置信度，同样可以通过查表找到其对应的临界值，利用临界值也可计算区间估计的极限误差 因此，总体均值的区间估计在总体标准差未知的小样本情况下可采用

19、下式进行： 假定总体服从正态分布；2tnst2nstx2值。的供的面积为分布的右侧尾部中所提）的自由度为（为在为样本的标准差；）为置信系数；式中，（t2t1-n21ts【例例3 3】谢尔工业公司拟采用一项计算机辅助程序来培训公司的维修支援掌握及其维修的操作，以减少培训工人所需要的时间。为了评价这种培训方法，生产经理需要对这种程序所需要的平均时间进行估计。以下是利用新方对名职员进行培训的培训天数资料。 根据上述资料建立置信度为的总体均值的区间估计。（假定培训时间总体服从正态分布）。职员时间职员时间职员时间职员时间职员时间职员时间 解：依题意，总体服从正态分布，（小样本），此时总体方差未知。可用自

20、由度为（n-1）=14的t分布进行总体均值的区间估计。 样本平均数 样本标准差 极限误差 95%的置信区间为87.531563554452 nxx82. 61473.6511)(2nxxs78. 31582. 6*145. 22nstE53.87 3.78 即（50.09，57.65）天。 对总体比例 的区间估计在原理上与总体均值的区间估计相同。同样要利用样本比例 的抽样分布来进行估计。 若， 则样本比例近似服从正态分布。 同样，抽样误差 类似的，利用抽样分布（正态分布）来计算抽样误差pp5)1 (, 5,30pnnpnppEpn)p1 (pZnZZppE22p2P 上式中， 是正待估计的总体

21、参数，其值一般是未知，通常简单的用 替代 。 即用样本方差 替代总体方差 。 则， 极限误差的计算公式为：ppp)1 (pp)1 (ppnppZEp)1 (2的置信区间则为：1nppZp)1 (2值。的为侧尾部中所提供的面积为在标准正态分布的右）为置信系数；式中，（Z212Z【例例4】1997年菲瑞卡洛通讯公司对全国范围内的902名女子高尔夫球手进行了调查，以了解美国女子高尔夫球手对自己如何在场上被对待的看法。调查发现，397名女子高尔夫球手对得到的球座开球次数感到满意。试在95%的置信水平下估计总体比例的区间。分解：解：依题意已知，（1）样本比例（2）误差边际误差边际点估计区间96. 1%9

22、519022Zn，（大样本），44. 0902397nmp0324. 090256. 044. 096. 1)1 (2nppZp （3）95%的置信区间0.44 0.0324 即（0.4076，0.4724）。 结论：在置信水平为95%时，所有女子高尔夫球手中有40.76%到47.24%的人对得到的球座开球数感到满意。 22222(1)E(1)(1)()ppEZnppppnZnZEE令 等于期望的误差边际极限误差其计算需要已知若我们选择了置信度由此，得到计算必要样本容量的计算公式：nZE2。和样本容量n,2Z2,1Z就可以确定2Zn在已知 和后，我们可以求出误差边际为任何数值时的样本容量等等于

23、于期期望望的的极极限限误误差差。令令 E)(222222EZnEZnnZE 【例例5】在以前的一项研究美国租赁汽车花费的研究中发现，租赁一辆中等大小的汽车，其花费范围为，从加利福尼亚州的奥克兰市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的标准差为9.65美元。假定进行该项研究的组织想进行一项新的研究，以估计美国当前总体平均日租赁中等大小汽车的支出。在设计该项新的研究时，项目主管指定对总体平均日租赁支出的估计误差边际为2美元，置信水平为95%。解：依题意， 可得 将以上结果取下一个整数（90）即为必要的样本容量。2,65. 9,96. 1%,9512EZ43.892

24、65. 996. 1)(2222222EZn 说明： 由于总体标准差 在大多数情况下 是未知的，可以有以下方法取得 的值。（1）使用有同样或者类似单元的以前样本的样本标准差；（2）抽取一个预备样本进行试验性研究。用实验性样本的标准差作为 的估计值。（3）运用对 值的判断或者“最好的猜测”，例如，通常可用该值全距的1/4作为 的近似值。【例例6】在例中，该公司想在1997年结果的基础上进行一项新的调查，以重新估计女子高尔夫球手的总体中对得到的球座开球此数感到满意的人数所占的比例。调查主管希望这项新的调查在误差边际为0.025、置信水平为95%的条件下来进行，那么，样本容量应该为多大？ 解：依题意

25、， 可得 将以上结果取下一个整数（1515）即为必要的样本容量。025. 0,44. 0,96. 1%,9512EpZ51.1514025. 056. 044. 096. 1)1 ()(22222EppZn 说明：说明： 由于总体比例 在大多数情况下是未知的，可以有以下方法取得 的值。（1）使用有同样或者类似单元的以前样本的样本比例；（2）抽取一个预备样本进行试验性研究。用实验性样本的比例作为 的估计值。（3）运用对 值的判断或者“最好的猜测”；（4）如果上面的方法都不适用，采用 。0.5p pppp一、两个总体均值差异的估计：独立样本 12xx 的抽样分布1212()Exx222121212

26、()xxnn两个总体均值之差的抽样分布的形式：如果两个总体的样本大小都足够大，可以以正态分布来近似如果两个总体的样本大小都足够大，可以以正态分布来近似。 的点估计量为：12122xxxxz12xx12221212xxnn12122xxxxzs121210.1.2- 的区间估计：大样本情况下且、已知122222121212,xxsssnn、未知时1212- 的区间估计：大样本,、未知 例例11下表是某商店从光顾市中心商店和郊区商店的顾客中抽取下表是某商店从光顾市中心商店和郊区商店的顾客中抽取的样本数据：的样本数据： 试对两个不同区域的顾客年龄之差做出置信水平为试对两个不同区域的顾客年龄之差做出置

27、信水平为95%95%的区间的区间估计。估计。解：依据区间估计的一般原理以及解：依据区间估计的一般原理以及 首先计算点估计的值首先计算点估计的值商店 被抽样的顾客数 样本平均年龄 样本的标准差市中心商店 郊区商店136n 249n 235x 岁140 x 岁19s 岁210s 岁12xx的 抽 样 分 布12xx=40-35=5岁 接下来计算极限误差接下来计算极限误差12122212/2/2/212229121.964.063649xxxxsszzznn/2195%,1.96z得到总体均值之差的得到总体均值之差的95%95%的置信区间为的置信区间为5 54.064.06即（即（0.94,9.04

28、0.94,9.04）岁）岁 (三) 当某一个样本容量小于30或两个样本容量同时小于30时 假设: (1)两个总体都服从正态分布； (2)两个总体方差相等。 此时12- 的区间估计：小样本情况下222221222212121211()xxnnnn 当总体方差未知时，我们不再对两个总体的方差进行单独估当总体方差未知时，我们不再对两个总体的方差进行单独估计而直接估计计而直接估计 将两个样本的数据结合起来可以提供一个总体将两个样本的数据结合起来可以提供一个总体方差方差 的估计的估计 当当 的点估计为的点估计为22222112212(1)(1)2nsnssnn2221212xx1221211()xxss

29、nn 小样本情况下，用小样本情况下，用t t分布来估计两个总体均值之间的差异，分布来估计两个总体均值之间的差异，此时自由度为此时自由度为n1+n2-2n1+n2-2， 例例2 2 对克利夫兰国家银行的两个支行顾客的独立随机样本的对克利夫兰国家银行的两个支行顾客的独立随机样本的账户余额进行核查得到下面的结果：账户余额进行核查得到下面的结果：1212-/ 12的区间估计 小样本（n 30或 和n 30,则无论是否已知总体分布状态，样本平均数分布趋于正态分布，即（）A 8、如果已知总体变量服从正态分布，则样本平均数分布与总体分布（） A 不同中心且总体分布更集中 B 同中心且样本平均数分布更集中 C 同中心且总体分布更集中 D 不同中心且样本平均数更集中B 1、已知某树苗培植园内的树茎直径服从正