第六节 方向导数和梯度

1、一一方向导数方向导数 1定义定义 设函数设函数),(yxfz ，由点，由点),(yxP引射线引射线，与与 x x轴正向的夹角为轴正向的夹角为，),(yyxxp是是射线射线上的另一点，定上的另一点，定义义函数函数),(yxfz 在点在点),(yxP沿方向沿方向的方向导数为的方向导数为 f=0lim),(),(yxfyyxxf，其中，其中22)()(yx 当射线当射线是是 x x 轴的正向，即轴的正向，即=1=1，00时，时，f =xf， 当射当射线线是是 x x 轴的反向，即轴的反向，即=- -1 1，00时，时，f =-xf 当射线当射线是是 y y 轴的正向，即轴的正向，即=0=0，11时，

2、时，f =yf 当射线当射线是是 y y 轴的反向，即轴的反向，即=0=0，- -11时，时，f =-yf 因此，偏导数是方向导数的特殊情况。因此，偏导数是方向导数的特殊情况。 2计算计算 定理如果函数定理如果函数),(yxfz ，在点，在点),(yxP可微，那末函可微，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有 f=xfcos+yfsin，其中，其中为为 x x 轴正向到方向轴正向到方向的转角。的转角。 上述定理可推广到三元函数上述定理可推广到三元函数),(zyxfu ， 有有f=xfcos+yfcos+zfcos，其中，其中cos，cos，cos

3、分分别是方向别是方向的方向余弦。的方向余弦。 例例 1 1求求函函数数yxez2在在点点 P P（1 1，0 0）处处沿沿从从P P（1 1，0 0）到到点点Q Q（2 2，- -1 1）方方向向的的方方向向导导数数。 解：解：=2=2- -1 1，- -1 1- -0=10=1，- -11，1tan，4，xf=ye2， yf=yxe22，f=)0,1(xfcos+)0,1(yfsin=22-2=-22 例例 2 2 求 函数求 函数)(12222byaxz在 点在 点M)2,2(ba处 沿 曲 线处 沿 曲 线12222byax在这点的内法线方向的方向导数。在这点的内法线方向的方向导数。 解

4、：解：xz)2,2(ba= =a2，yz)2,2(ba= =b2， 设设1),(2222byaxyxF 由隐函数求导公式可得由隐函数求导公式可得22axFx，22byFy，因此，曲线，因此，曲线12222byax过点（过点（x,yx,y）的切线的斜率为的切线的斜率为yaxbFFdxdyyx22，法线的斜率为法线的斜率为xbyadxdy22， y)2,2(ba= =ba，注意到内法线方向对应的夹角在第三象限，由，注意到内法线方向对应的夹角在第三象限，由batan，可得，可得 cos =22bab,sin=22baa，因此因此， Mz( a2)()(22bab)+(b2)()(22baa)=abb

5、a)(222 二梯度二梯度 设二元函数设二元函数yxfz,(） 在平面区域） 在平面区域 D内具有一阶连续偏导数，内具有一阶连续偏导数，那么，对于任取的那么，对于任取的DyxP),(，都可对应地定义一个向量，都可对应地定义一个向量jyfixf， 这个向量称为函数， 这个向量称为函数yxfz,(） 在点） 在点),(yxp的梯度，的梯度， 记作记作),(yxgradf=jyfixf 对于三元函数对于三元函数),(zyxfu 可相应地定义它在点可相应地定义它在点),(zyxp的梯度的梯度 ),(zyxgradf=jyfixf+kzf 对应于对应于DyxP),(或或),(zyxp中的一点，中的一点，

6、)(pf确定了一个数。确定了一个数。因此，对于整个因此，对于整个DyxP),(或或),(zyxp，)(pf分别在平面或分别在平面或空间区域内确定了一个数量场。 相应地，空间区域内确定了一个数量场。 相应地，)(Pgradf是数量场是数量场)(pf对应的向量场。这种由数量场的梯度构成的向量场称为梯度对应的向量场。这种由数量场的梯度构成的向量场称为梯度场。场。 函数函数yxfz,(）的方向导数）的方向导数f=xfcos+yfsin =xf，yfcos，sin=),(yxgradfe =),(yxgradf),),(cos(eyxgradf，其中，其中e为为方向的单位向量。方向的单位向量。 由此可见

7、由此可见 1方向导数方向导数f就是梯度就是梯度),(yxgradf在射线在射线上的投影；上的投影； 2沿梯度方向的方向导数达到最大值，其值为梯度的模沿梯度方向的方向导数达到最大值，其值为梯度的模),(yxgradf=22)()(yfxf （梯度方向是各方向中方向导数最大的方向，那就是说，梯（梯度方向是各方向中方向导数最大的方向，那就是说，梯度方向是函数度方向是函数),(yxf在点在点),(yx 增长最快的方向） 。三元函数有类似的结论。增长最快的方向） 。三元函数有类似的结论。 3。由。由 ),(yxgradf=jyfixf可知，可知， 从从 x 轴正向到梯轴正向到梯度方向转角的正切为度方向转

8、角的正切为xfyftan=xyff， 而而z),(yxf所表示的曲面与平面所表示的曲面与平面zc 的交线的交线),(yxf=c 满足满足 0dxdyffyx，曲线，曲线),(yxf=c 的切线的斜率的切线的斜率dxdy=yxff，从而曲，从而曲线线),(yxf=c 的法线的斜率的法线的斜率dxdy=xyff，曲线，曲线),(yxf=c 称为等高线，称为等高线，由此可见， 函数由此可见， 函数z),(yxf的梯度方向就是等高线的梯度方向就是等高线),(yxf=c 的法的法线方向，其指向是从数值较低的等高线指向数值较高的等高线方向，其指向是从数值较低的等高线指向数值较高的等高线。线。 三元函三元函

9、数有类似的结论： 即三元函数数有类似的结论： 即三元函数),(zyxfu 的梯度方向的梯度方向就是等值面就是等值面),(zyxf=c 的法线方向， 其指向是从数值较低的等的法线方向， 其指向是从数值较低的等值面指向数值较高的等值面。值面指向数值较高的等值面。 例例 1问问函函数数zxyu2在在点点 P（1，-1，2）处处沿沿什什么么方方向向的的方方向向导导数数最最大大，并并求求此此方方向向导导数数的的最最大大值值。 解：解：),(zyxgradf=jyfixf+kzf=kxyjxyzizy)()2()(22 1,4,2)2,1,1(gradf，沿此方向的方向导数最大，其值为，沿此方向的方向导数

10、最大，其值为211)4(2222 例例2 试 求 数 量 场 试 求 数 量 场rm所 产 生 的 梯 度 场 ， 其 中 常 数所 产 生 的 梯 度 场 ， 其 中 常 数222,0zyxrm 为原点为原点 O 到点到点 M(x,y,z)的距离。的距离。 解：见解：见 P。59 例例 3 3 求 函数求 函数)(12222byaxz在 点在 点M)2,2(ba处 沿曲 线处 沿曲 线12222byax在这点的内法线方向的方向导数。在这点的内法线方向的方向导数。 解法解法 2：函数函数)(12222byaxz的等高线为椭圆。的等高线为椭圆。 指向由外向内。指向由外向内。与曲线与曲线12222

11、byax的内法线方向一致。的内法线方向一致。 因此，该方向就是函数因此，该方向就是函数)(12222byaxz 的 梯 度 方 向 。的 梯 度 方 向 。 从从 而而 ，)2,2(bagradf=ba2,2 ，f=|=|)2,2(bagradf|=|=22)2()2(ba= =abba)(222 一一元函数和多元函数的极值的比较一一元函数和多元函数的极值的比较 1.定义定义 对于对于Dxx)(0， 恒有， 恒有)(xf)(0 xf， 称函数， 称函数)(xfy 在点在点0 x取取极小值极小值. 对于对于Dyxyx),(),(00，恒有，恒有),(yxf),(00yxf，称函数，称函数),(y

12、xfz 在点在点 ),(00yx取极小值；取极小值； 2.必要条件必要条件 一阶导数等于零或一阶导数不存在的点是可能的极值点；一阶导数等于零或一阶导数不存在的点是可能的极值点； 两个一阶偏导数同时为零（称为函数的驻点）或一阶偏导数不两个一阶偏导数同时为零（称为函数的驻点）或一阶偏导数不存在的点是可能的极值点。存在的点是可能的极值点。3充分条件充分条件 条件条件 1：在点：在点0 x一阶导数等于零或一阶导数不存在，一阶导数等于零或一阶导数不存在，而且过而且过点点0 x时，一阶导数变号。那末函数时，一阶导数变号。那末函数)(xfy 在点在点0 x取极值。如取极值。如果过点果过点0 x时一阶导数由正

13、变负，则函数时一阶导数由正变负，则函数)(xfy 在点在点0 x取极大取极大值； 如果过点值； 如果过点0 x时一阶导数由负变正， 则函数时一阶导数由负变正， 则函数)(xfy 在点在点0 x取取极小值。极小值。 条件条件 2：在点：在点0 x一阶导数等于零且二阶导数不等于零，那末一阶导数等于零且二阶导数不等于零，那末函数函数)(xfy 在点在点0 x取极值。取极值。如果在点如果在点0 x二阶导数小于零，则二阶导数小于零，则函数函数)(xfy 在点在点0 x取极大值；如果在点取极大值；如果在点0 x二阶导数大于零，二阶导数大于零，则函数则函数)(xfy 在点在点0 x取极小值。取极小值。 (如

14、果在点如果在点0 x二阶导数等于零， 那末函数二阶导数等于零， 那末函数)(xfy 在点在点0 x可能可能取极值，也可能不取极值，需另作讨论取极值，也可能不取极值，需另作讨论) 二元函数取极值的充分条件：二元函数取极值的充分条件： 0),(,0),(0000yxfyxfyx且设且设xxf),(00yx=A，xyf),(00yx=B，yyf),(00yx=C，则有：，则有： （1）当当2BAc 0 时，函数时，函数),(yxfz 在点在点),(00yx取极值。取极值。且且当当 A0 时取极小值；时取极小值； （2）当当2BAc 0且且 A0，f(0,0)=0 为极小值；为极小值； （2） 在点（

15、在点（0，0）处一阶偏导数不存在，不能用充分条）处一阶偏导数不存在，不能用充分条件判定。事实上，件判定。事实上，f(0,0)=0 为最大值；为最大值； （3）0)0,0(xf，0)0,0(yf，A=0，C=0，B=1，2BAc 0，函数函数xyz 在点（在点（0，0）处不取极值。）处不取极值。 例例 2求函数求函数)4)(6(),(22yyxxyxf的极值的极值 解：解：)4)(26(),(2yyxyxfx，)24)(6(),(2yxxyxfy 令令0),(yxfx，得，得 x=3,y=0,y=4;0),(yxfy,得得 y=2,x=0,x=6.因因此，可能的极值点为此，可能的极值点为 （3，

16、2） ， （） ， （0，0） ， （） ， （0，4） ， （） ， （6，0） ， （） ， （6，4）用类似的方法）用类似的方法可以判定可以判定 f(3,2)=36 为极大值，其余各点都不是极值点。为极大值，其余各点都不是极值点。 下面讨论如何求多元函数的最大值下面讨论如何求多元函数的最大值和最小值？和最小值？二二如何求二元函数的最大值和最小值？如何求二元函数的最大值和最小值？ 设函数设函数),(yxfz 在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续， 那末函数在上连续， 那末函数在 D 上必上必定取得最大值和最小值，最大值和最小值可能在定取得最大值和最小值，最大值和最小值可能在 D 的内部也的

17、内部也可能在可能在 D 的边界上。因此，求函数最大值和最小值的一般方的边界上。因此，求函数最大值和最小值的一般方法是取所有可能的极值点（包括驻点和一阶导数不存在的点，法是取所有可能的极值点（包括驻点和一阶导数不存在的点，这些点必定在这些点必定在 D 内）上的函数值与边界上的最大值和最小值内）上的函数值与边界上的最大值和最小值进行比较，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。至进行比较，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。至于可能的极值点是否真的是极值点则无关紧要，比较前不必于可能的极值点是否真的是极值点则无关紧要，比较前不必判定。判定。 求边界上的最大值和最小值，有时还是挺复杂的，在实际求

18、边界上的最大值和最小值，有时还是挺复杂的，在实际问题中，如果根据问题的性质，能事前判定最大值问题中，如果根据问题的性质，能事前判定最大值和最小值和最小值一定在一定在 D 内取得，而函数在内取得，而函数在 D 内又只有一个可能的极值点，内又只有一个可能的极值点，那末可以肯定该点的函数值就是函数在那末可以肯定该点的函数值就是函数在 D 上的最大值（最小上的最大值（最小值） 。值） 。 例例 3某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为 2 的有盖长方体水箱，问的有盖长方体水箱，问当长，宽，高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？当长，宽，高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 解：设水箱的长，

19、宽，高分别为解：设水箱的长，宽，高分别为 x,y,z,则则xyz2，水箱所用材，水箱所用材料的面积为料的面积为 A=2xy+2xz+2yz =2(xy+)22xy,令令022,02222yxAxyAyx，解之得，解之得 x=y=z=32,由题意可知最大值和最小值一定在定义域内取得由题意可知最大值和最小值一定在定义域内取得且只有唯一驻点。因此，当且只有唯一驻点。因此，当 x=y=z=32时水箱所用材料的面积时水箱所用材料的面积最省。由此可见，在体积一定的长方体中以立方体的表面积最省。由此可见，在体积一定的长方体中以立方体的表面积最小。最小。 条条件件极极值值问问题题的的一一般般叙叙述述如如下下：

20、 函函数数),(yxfz （1） 在在条条件件0),(yx （2）下下求求极极值值。 现在讨论上述问题在点现在讨论上述问题在点),(00yx取极值的必要条件：取极值的必要条件： 三条件极值三条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法如果设（如果设（2）的显式存在，则由（）的显式存在，则由（2）可确定）可确定)(xy，代入（，代入（1）得得)(,xxfz，因此，因此，dxdyffdxdzyx，由隐函数求导，由隐函数求导， 还可得到还可得到yxdxdy。如果函数（如果函数（1）在点）在点),(00yx满足条件（满足条件（2）的前提下取极值，的前提下取极值， 那么那么，0),(00yx （3） ，） ，

21、),(),(00000yxyxdxdyyxxx （4） 且且yxfyxf,0),(00),(00yx0， 从而，从而，),(000yxfdxdzxxx yf),(00yx0 xxdxdy 0 （5） 从而，从而，),(000yxfdxdzxxx yf),(00yx0 xxdxdy 0 （5） 将（将（4）代入（）代入（5）得）得),(00yxfx-yf),(00yx),(),(0000yxyxyx0， 设设),(),(0000yxyxfyy=，则有则有 ),(00yxfx+0),(00yxx （6） yf),(00yx+y),(00yx0 （7） 再加上原有的再加上原有的0),(00yx （3

22、） 它们构成了求条件极值的它们构成了求条件极值的必要条件。必要条件。 为为便便于于记记忆忆，我我们们先先按按题题意意假假设设一一个个辅辅助助函函数数 F(x,y, )=f(x,y)+ ),(yx 对辅助函数对辅助函数 F(x,y, )=f(x,y)+ ),(yx,分别对分别对 x,y，求偏导数求偏导数 得得FFFyx,，并令其为零，这样并令其为零，这样 由方程组由方程组 0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出的点解出的点),(00yx条件极值可能的极值点。条件极值可能的极值点。 这种求解条件极值的可能极值点的方法（必要条件）叫做拉格这种求解条件极值的可能极值

23、点的方法（必要条件）叫做拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个，约束朗日乘数法。拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个，约束条件多于一个的情况。条件多于一个的情况。例例 3 用条件极值求解用条件极值求解：设水箱的长，宽，高分别为设水箱的长，宽，高分别为 x,y,z， 并设并设 F(x,y, )=2(xy+xz+yz)+ (xyz-2),则有则有 022022022xyyxFxzzxFyzzyFzyx 解之得解之得 x=y=z=32 02 xyzF 例例4求内接于半径为求内接于半径为R的球且有最大体积的长方体。的球且有最大体积的长方体。解解：设设(x,y,z)为为球球面面上上一一点点

24、， ),(zyxF =xyz+(2222Rzyx) 例例 5抛抛物物面面22yxz被被平平面面1zyx截截成成一一椭椭圆圆，求求原原点点到到这这椭椭圆圆的的最最长长与与最最短短距距离离。 解：设解：设(x,y,z)为椭圆上一点，为椭圆上一点， ),(21zyxF= )1()()(2221222zyxyxzzyx P.86 第第 16 题题 )1543(),(,1221zyxzzyxFzd+)1(222 yx 第第7章章 习题课习题课本章的重点是第二至六节。本章的重点是第二至六节。要掌握的内容包括：要掌握的内容包括：1。多元函数极限和连续的定义。多元函数极限和连续的定义2。多元函数偏导数的定义及计算。多元函数偏导数的定义及计算3。多元函数可微的定义及全微分和全增量的计算。多元函数可微的定义及全微分和全增量的计算4。多元函数在某点极限