知识点裂项相消法

1、知识点裂项相消法第1页，共30页。数数 列列 求求 和和裂项相消法裂项相消法注重实用理性，缺乏终极思考注重实用理性，缺乏终极思考.第2页，共30页。 高中数学是由若干个分支构成，每个分支都自成体系，具有鲜明的特点. 每个分支又由许多个知识点组成. 高考命题经常在这些知识点处进行，为此我们必须对重要的知识点进行强化处理，提高学生解决相关问题的能力.裂项相消法裂项相消法 把数列的每一项拆分成两项之差，利用正负抵消，达到简化和式的目的，通俗地讲就是化简的一种技巧.第3页，共30页。11231112 .1nnnnnnaannnnbbnna a引例：在数列中，又，求数列的前 项和1(1),228118(

2、)(1)1nnnnnaba an nnn分析： 研究通项公式：为什么会有这个式子？怎样得到的？第4页，共30页。123(2)11111118(1)()()()223341188(1).11nnSbbbbnnnnn求和：(1)点评： 不解决问题的讲解，只能让学生了解裂项相消法的解题步骤，死记硬背解题模式，成为题型教学，达不到一轮复习的目的. 一轮复习的效果就是看是否触摸到事物 的本质.第5页，共30页。8(2)(1)88(1)nbn nnn事实上，在研究时，视分母为两个因式的积，寻找它们的差与分子的倍数关系，即，逆用分数减法运算得到，即88(1)18(1)(1)(1)(1)118().1nnnn

3、nbn nn nn nn nnn抵消后，被减数和减数抵消后，被减数和减数各剩一项，具有对称性各剩一项，具有对称性.第6页，共30页。3(1)=11nnn（ ）由于，这个常数 与 无关，故分母的两个因式可以是等差数列中的两项.高三数学一轮复习，必须让学生认识问题的本质，让学生有观察问题的视角、有解决问题的思维方法和运算 的路径.对知识点的突破要分层处理，层层递进，逐步落实，根据学生的基础和能力情况，灵活掌握，切忌一刀切， 一步到位 第7页，共30页。第一个层次：了解裂项相消法的思维过程 和解题步骤1.求数列的前 n项和.1 11 11 11 11 1, , , , , ,1 1 3 3 2 24

4、 4 3 3 5 5 4 4 6 6n n( (n n+ + 2 2) )首先：让学生把这个数列的规律体会一下，根首先：让学生把这个数列的规律体会一下，根 据规律写出通项公式；据规律写出通项公式；其次：根据引例研究通项公式的方法，处理这其次：根据引例研究通项公式的方法，处理这 个通项公式，即裂项；个通项公式，即裂项；再次：求和再次：求和.32342(1)(2)nnSnn第8页，共30页。第一个层次：了解裂项相消法的思维过程 和解题步骤 点评：让学生比较和引例的通项公式、消项的点评：让学生比较和引例的通项公式、消项的规律差别、相同点规律差别、相同点. 让学生在比较中提高让学生在比较中提高.222

5、222224 14 24 342.,4 11 4 21 4 3141.nnn求数列的前 项和2 (1)21nn nSn 点评：能够解答这两题表明，学习者已对裂项点评：能够解答这两题表明，学习者已对裂项相消法有初步的了解，并不能说明学习者掌握解相消法有初步的了解，并不能说明学习者掌握解法的本质法的本质.第9页，共30页。第二个层次：探究相同点、寻求解法第二个层次：探究相同点、寻求解法2222357213.(1 2)(2 3)(3 4) (1)nnSn n求和解法解法1：222111() (21) (1)1nnann nnn通项1111()(1)()11nnnnnn111(11)()11nnnnn

6、n22111111()()11(1)nnnnnn从熟悉的部分从熟悉的部分入手，对运算入手，对运算能力要求很高能力要求很高第10页，共30页。第二个层次：探究相同点、寻求解法第二个层次：探究相同点、寻求解法解法解法2：根据裂项相消法的本质进行研究：根据裂项相消法的本质进行研究2222222222121(1) (1)(1)(1)11(1)nnnnnan nnnnnnn通项211(1)nSn “一秒钟看清本质的人和花一辈子也看不清一一秒钟看清本质的人和花一辈子也看不清一件事本质的人，自然是不一样的命运件事本质的人，自然是不一样的命运” 电影电影教父教父台词台词第11页，共30页。第二个层次：探究相同

7、点、寻求解法第二个层次：探究相同点、寻求解法求和：k kn nn nk k+ +1 1k kk k= =1 12 24 4. .S S = =( (2 2- -1 1) )( (2 2 - -1 1) )n nn n+ +1 11 1S S = = 1 1- -2 2- -1 1 体会前四道题的共同点是什么？差异是什么？体会前四道题的共同点是什么？差异是什么？用什么视角可以把这用什么视角可以把这4道题的解法统一起来？会道题的解法统一起来？会做做3、4两题表明学习者对裂项相消法的本质有两题表明学习者对裂项相消法的本质有初步的理解，能主动地寻找分母中两个因式的初步的理解，能主动地寻找分母中两个因式

8、的差与分子的倍数关系差与分子的倍数关系. 这个倍数是一个与这个倍数是一个与n无关的常数无关的常数第12页，共30页。第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功意识地、有目的的进行探究，并解题成功.121321*5.(2016),2.( )(21) 3( )() .nnnnnnnnnnaa aa aaaaaanbnNbanT石家庄二中年高三毕业班模拟 已知数列 满足：是首 项、公差均为 的等差数列 求数列的通项公式 ； 令，求数列的前 项和第13页，共30页。1213212( )()()()12(1) 22nnnaaaaa

9、aaann nnn第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功意识地、有目的的进行探究，并解题成功.( )(21) 3(21) 3(1)nnnnnnban n递进思维展示：递进思维展示：3n ( (2 2n n- -1 1) )n n( (n n+ +1 1) )213(1)nnnbn n( (2 2n n- -1 1) )n n( (n n+ +1 1) )第14页，共30页。第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功意识地、有目的的进行探究，并解

10、题成功.1(21) 3(1)nnbnn n1n n( (n n+ +1 1) )11()(21) 31nnbnnn2121() 31nnnnbnn13(2)(2) 31nnbnn第15页，共30页。第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功意识地、有目的的进行探究，并解题成功.31() 31nnbnn1331nnnbnn点评：没有基于核心、本质的思考，就必然受到其制约. 繁难的运算，令人生畏，往往导致解 题失败.第16页，共30页。213(1)nnnbn n第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有第三个层次：能根据裂项相

11、消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功意识地、有目的的进行探究，并解题成功.另解：从通项的分式结构看：能否将分子表示另解：从通项的分式结构看：能否将分子表示 为分母中两个因式的差为分母中两个因式的差.12133 (1)nnnbn n分式的基本性质分式的基本性质13(1)33 (1)nnnnbn n寻找分子与分母中两寻找分子与分母中两个因式差的倍数关系个因式差的倍数关系第17页，共30页。第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功意识地、有目的的进行探究，并解题成功.111() 313nnbnn裂项即逆用分式

12、减法裂项即逆用分式减法1331nnnbnn1331nnTn 点评：裂项相消法能够实施的条件是项与项点评：裂项相消法能够实施的条件是项与项之间的之间的“轮转轮转”， 即前一项的减数与后一项被即前一项的减数与后一项被减数相同减数相同.第18页，共30页。第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功意识地、有目的的进行探究，并解题成功.*11.( )1( )() .nnnnnnnnnaaanSnbnNbS SnT变式：已知数列数列的首项、公差都是 求数列的通项公式及前 项和 ； 令，求数列的前 项和(1)(1),;2nnn na

13、n S答案：2(2)T2.(1)(2)nnn第19页，共30页。第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.222*111226.,(3)3()0().(1)(2)(3)1111(1)(1)(1)3nnnnnnnanSSnnSnnnNaana aa aa a例 设各项都为正数的数列的前 项和为且求 的值； 求 ； 证明：对一切正整数 ，有*1(1)2 (2)2 ().naan nN解：易求；第20页，共30页。第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵第四个层次：构造裂项相消法，

14、严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.11(3)(1)2 (21)11221nnnba annnn研究通项公式1122111(1)(1)(1)11111111()()()()234567221nna aa aa ann于是得于是得上式没有出现正负相抵的情形，解上式没有出现正负相抵的情形，解题失败题失败. 高三的数学复习不可能是高三的数学复习不可能是一帆风顺，我们的学习也必将在解一帆风顺，我们的学习也必将在解决问题中前行，只是我们如何对待决问题中前行，只是我们如何对待失败，使失败成为我们成功的基石失败，使失败成为我们成功的基石.第21页，共

15、30页。第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.为什么没有出现正负相抵的情形呢？为什么没有出现正负相抵的情形呢？2n是偶数，是偶数，2n+1是奇数，怎样解决问题呢？是奇数，怎样解决问题呢？看问题定方向：为什么题目不求和，而证明一看问题定方向：为什么题目不求和，而证明一 个不等式呢？个不等式呢？ 这个和式不可求和！可将通项适当放大，并使分这个和式不可求和！可将通项适当放大，并使分母中两个因式有相同的奇偶性，母中两个因式有相同的奇偶性， 便于求和便于求和.11111()2 (2

16、1)(21)(21)2 2121nbnnnnnn第22页，共30页。第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.12311111111(1)()()()2335572121111(1)2212nnTbbbbnnn 又失败了！但是好在是能化简和式了，这又失败了！但是好在是能化简和式了，这就是成功的地方，问题在于如何提高计算的精就是成功的地方，问题在于如何提高计算的精确度，变失败为成功确度，变失败为成功.第23页，共30页。第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵第四个层次：构造裂

17、项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转. 向学生展示探索求解的过程，是培养学生向学生展示探索求解的过程，是培养学生理性思维和创新能力的组成部分，也是培养学理性思维和创新能力的组成部分，也是培养学生个性品质的有效手段生个性品质的有效手段.提高精确度的方法之一就是选择部分项放大提高精确度的方法之一就是选择部分项放大.当当n=1时，时， ；不等式成立；不等式成立.11163T 当当n2时，时，第24页，共30页。第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转活运用

18、相结合，体会其本质是两项取值的轮转.12311111111()()()623557212111 111()62 3213nbbbbnnn综上所述：对于任意的综上所述：对于任意的 ，都有，都有*nN11221111(1)(1)(1)3nna aa aa a 数学学习就是要让学生体会到思考的数学学习就是要让学生体会到思考的快乐，真正做到：尽享宁静与思考之乐，快乐，真正做到：尽享宁静与思考之乐，随时倾听来自内心深处的呼唤！随时倾听来自内心深处的呼唤！第25页，共30页。第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转活运用相结合

19、，体会其本质是两项取值的轮转. 点评：该解法应用了三个思想点评：该解法应用了三个思想: 放大；放大； 裂项裂项(使分母的两个因式都变为奇数使分母的两个因式都变为奇数)；提高算式的；提高算式的精确度（部分项放大，另一部分不变）精确度（部分项放大，另一部分不变）.问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？首先改造通项公式：首先改造通项公式：11112 (21)4()2nbnnn n第26页，共30页。第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.1433目标：由于结果是 ，因此首项中要出现， 还要满足分母的两个因式具有“后继 性”，以保证裂项后取值的“轮转”.121111112 (21)44 ()()()2nbnnnxnxn n令1212xx一方面：第27页，共30页。第四