2-2-收敛数列的性质与收敛判定

1、南京航空航天大学 理学院数学系12010年8月1.唯一性唯一性2.有界性有界性3.保号性保号性4.保不等式性保不等式性5.迫敛性（夹逼性）迫敛性（夹逼性）6.四则运算法则四则运算法则7.子数列的收敛性子数列的收敛性收敛数列的性质收敛数列的性质南京航空航天大学 理学院数学系22010年8月1、唯一性、唯一性定理定理 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann a

2、xbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.南京航空航天大学 理学院数学系32010年8月2、有界性有界性例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界南京航空航天大学 理学院数学系42010年8月定理定理 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有

3、则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .南京航空航天大学 理学院数学系52010年8月若 ，则对任何 ,存在数N，使得当nN时，有 lim0nnaa 3、保号性保号性(0,)aa naa 意义：收敛数列极限的符号决定了该数意义：收敛数列极限的符号决定了该数列中绝大部分项的符号列中绝大部分项的符号南京航空航天大学 理学院数学系62010年8月4.保不等式性保不等式性定理定理 设,nnyx皆收敛，若,limlimnnnnyx则，。nnyxN时，当nN,南京航空航天大学 理学院数

4、学系72010年8月推论推论 , 0limbynn若则，N时，当nN,. 02|byn推论推论若使N,nnxy则N成立，对n .limlimnnnnyx南京航空航天大学 理学院数学系82010年8月5.极限的夹逼性极限的夹逼性本性质既给出了判别数列收敛的方法；又提本性质既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。供了一个计算数列极限的方法。南京航空航天大学 理学院数学系92010年8月解：解： 记记 ， 这里这里 ，注意注意: :,.利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关键键是是构构造造出出与与并并且且与与 的的极极限限是是容容易易求求的的nnnnyzyz例例1 求数列求数列

5、 的极限。的极限。nnnnnhna 1)1(0 nhn12111 nhann则有：则有：左右两边的极限均为左右两边的极限均为1， 故由夹逼性本例得证故由夹逼性本例得证。南京航空航天大学 理学院数学系102010年8月例例2 2 ).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼性得由夹逼性得. 1)12111(lim222 nnnnn南京航空航天大学 理学院数学系112010年8月6.极限的四则运算极限的四则运算定理定理 设设,lim,limbyaxnnnn则则,l

6、imlim)(limbayxyxnnnnnnn。)0(limlimlimbbayxyxnnnnnnn（1）（这里（这里,为常数）。为常数）。（2）。abyxyxnnnnnnnlimlim)(lim（3）南京航空航天大学 理学院数学系122010年8月 000,0, 和和 为为非非负负整整数数abmk 00101101, ,lim0, , ,mmmkknkakmba na nakmb nbnbkm例例3 求求101101limmmmkknka na nab nb nb 南京航空航天大学 理学院数学系132010年8月练习练习n1 求求 ，其中，其中 。n2 求求 。lim1nnnaa 1 a)1

7、(limnnnn 南京航空航天大学 理学院数学系142010年8月7、子数列的收敛性、子数列的收敛性 定定义义：在在数数列列中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并保保持持这这些些项项在在原原数数列列中中的的先先后后次次序序，这这样样得得到到的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列的的子子数数列列（或或子子列列）nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .在在子子数数列列中中，一一般般项项是是第第项项，而而在在原原数数列列中中却却是是第第项项，显显然然，kkknnnnkkxxkxxnnk 注意：注意：例如，例如，南京航空航天大学 理学院数学系152010年8月定理定理 收敛数列的任一

8、子数列也收敛且极限相同收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证证 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .NnnnKkk . axkn.limaxknk 证毕证毕南京航空航天大学 理学院数学系162010年8月推论推论 若数列存在两个子数列分别收敛于不若数列存在两个子数列分别收敛于不同的极限，则这个数列必发散。同的极限，则这个数列必发散。注注 该推论是证明数列必发散的很好的工具。该推论是证明数列必发散的很好的工具。南京航空航天大学 理学院数学系172010年8月例例41( 1).证证

9、明明数数列列 是是发发散散的的nnx 证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1, 1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx南京航空航天大学 理学院数学系182010年8月用子数列刻画数列不收敛于用子数列刻画数列不收敛于a 数数列列不不收收敛敛于于naa 000 存存在在的的子子列列以以及及，满满足足kknnnaaaa 南京航空航天大

10、学 理学院数学系192010年8月数列极限的两大问题数列极限的两大问题n数列极限的存在性；数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题）（此问题为最关键的问题）n数列极限值的大小；数列极限值的大小； （存在性成立后，（存在性成立后， 才想办法计算极限）才想办法计算极限）南京航空航天大学 理学院数学系202010年8月几种证明极限存在的方法：几种证明极限存在的方法：n按照数列极限的定义证明。按照数列极限的定义证明。n按照奇、偶子列的收敛性证明。按照奇、偶子列的收敛性证明。n利用夹逼准则证明。利用夹逼准则证明。最简单的思想是利用数列本身的性质最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性证明数

11、列极限的存在性南京航空航天大学 理学院数学系212010年8月数列极限存在的判别准则数列极限存在的判别准则n1. 单调有界准则单调有界准则n2. 数列极限的归并原理数列极限的归并原理n3. Weierstrass定理定理n4. 柯西柯西(Cauchy)收敛原理收敛原理南京航空航天大学 理学院数学系222010年8月x1x2x3x1 nxnx满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM一、单调有界准则一、单调有界准则定理定理 1 单调有界数列必收敛。单调有界数列必收敛。南京航空航天大学 理学

12、院数学系232010年8月几点说明：几点说明： 通常该准则变通为：通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。单调递减有下界的数列存在极限。 本定理只是证明了存在性本定理只是证明了存在性。 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 此定理的条件为充分非必要条件。此定理的条件为充分非必要条件。 ,.2 , 1,1)1( nnann南京航空航天大学 理学院数学系242010年8月证明：证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上递增显然，下面证明有上界，事实上： 例例1 设设其中其中

13、 ，证明，证明 收敛。收敛。,.2 , 1,1.31211 nnan 2 nana2221.31211nan ,.2 , 1,12 nnnn )1(1.3212111 南京航空航天大学 理学院数学系252010年8月例例2 证明证明 存在存在。nnn)11(lim 证明：证明：111111.11.11)1(1111 nkknnnnnCnnnankknnnnnCnnna 1.1.1111 nknnknkknnnnCkkkn11.2111!1 1!)1).(1(1南京航空航天大学 理学院数学系262010年8月 nnnnnnknnknan11.2111!1 11.2111!1 .11! 2111

14、的展开式中共有的展开式中共有 项，每一项为正数项，每一项为正数。na1 n南京航空航天大学 理学院数学系272010年8月 11.121111)!1(1 111.121111!1 111.121111!1 .111! 21111nnnnnnnnnnnknnknan 的展开式中共有的展开式中共有 项，每一项为正数项，每一项为正数。1 na2 n南京航空航天大学 理学院数学系282010年8月不难发现有不难发现有： 111.121111!111.2111!1nknnknknnk即即 的第的第 项小于项小于 的第的第 项，项，此外此外 比比 还多了一个正数项，故还多了一个正数项，故nana1 na1

15、 nakk,.2 , 1,1 naann严格增加严格增加南京航空航天大学 理学院数学系292010年8月!1.! 31! 212nan nn )1(1.32121231-3 n下面证明有上界下面证明有上界：南京航空航天大学 理学院数学系302010年8月二、数列极限的归并原理二、数列极限的归并原理数列收敛与其子数列收敛的密切联系：数列收敛与其子数列收敛的密切联系：n1 若数列收敛，则其任意子数列也收敛（并且收敛到同一极限）n2 若数列的奇数列和偶数列都收敛到同一极限，则原数列也收敛到该极限南京航空航天大学 理学院数学系312010年8月归并原理归并原理limnnaa 数列收敛数列收敛 A. l

16、im的的每每个个子子列列都都有有 kknnnkaaaa B. 的的每每个个子子列列都都收收敛敛， 并并且且至至少少一一个个极极限限为为knnaaa任意子数列收敛任意子数列收敛南京航空航天大学 理学院数学系322010年8月三、三、Weierstrass 定理定理考虑有界数列和收敛数列之间的关系考虑有界数列和收敛数列之间的关系收敛数列一定有界收敛数列一定有界有界数列未必收敛有界数列未必收敛WeierstrassWeierstrass定理定理 有界数列必有收敛子数列有界数列必有收敛子数列南京航空航天大学 理学院数学系332010年8月四、四、柯西柯西收敛原理收敛原理（一）（一）Cauchy数列（基

17、本数列）数列（基本数列）:nx Cauchynx则则称称是是数数列列（基基本本数数列列）定义定义 如果对如果对|,nmxx ,Nn mN，当当时时南京航空航天大学 理学院数学系342010年8月（二）柯西收敛原理（二）柯西收敛原理定理定理 7 7 ( (柯西收敛原理柯西收敛原理) )nx收敛收敛nx为基本数列。为基本数列。南京航空航天大学 理学院数学系352010年8月柯西柯西(Cauchy)收敛准则收敛准则 na数数列列收收敛敛0,mnNm nN aa使使得得0,N ,npnNnNpaa 使使得得及及南京航空航天大学 理学院数学系362010年8月柯西柯西(Cauchy)收敛准则收敛准则 n

18、a数数列列不不收收敛敛000,mnNm nNaa使使得得000,N ,npnnpaa 使使得得南京航空航天大学 理学院数学系372010年8月柯西柯西(Cauchy)收敛准则的意义收敛准则的意义n收敛数列的各项越到后面，项之间几乎收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤挤”在了一起。在了一起。n判别判别 的收敛性只要根据本身满足的特的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要引入别的数列作参性就可以判别，不需要引入别的数列作参照。照。n把数列项与其极限的关系变换为数列各个把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。项之间的关系。 na南京航空航天大学 理学院数学系382010年8月例例

19、3 1111,.23nnaan设设证证明明发发散散 na数数列列发发散散000,N ,npnnpaa 使使得得利用：利用：可以取：可以取：012pn ，南京航空航天大学 理学院数学系392010年8月柯 西 柯西（柯西（Cauchy，Augustin Louis1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学），十九世纪前半世纪的法国数学家。家。 他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。他的全集卷，仅次于欧拉，居第二位。要的。他的全集卷，仅次于欧拉，居第二位。柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学