第三章流体静力学

1、13 流体静力学* *流体静力学流体静力学基本基本方程及流场静止条件方程及流场静止条件流体静压及计算流体静压及计算浮力浮力的计算的计算* *非惯性坐标系中的静止流体特性非惯性坐标系中的静止流体特性* *静止流体对壁面的压力静止流体对壁面的压力2 流体静力学流体静力学是研究作用于流体上的力的平衡问题。是研究作用于流体上的力的平衡问题。 3.13.1静止流体的压强特点静止流体的压强特点 对于流体，只有在运动状态下才有可能存在切应对于流体，只有在运动状态下才有可能存在切应力，而处于绝对静止或相对静止状态的流体中，任何力，而处于绝对静止或相对静止状态的流体中，任何一个面上都只有法向压应力的作用，也就是

2、压强。其一个面上都只有法向压应力的作用，也就是压强。其性质如下：性质如下：3 流体几乎不能承受拉力流体几乎不能承受拉力。 在静止流体内部，切应力在静止流体内部，切应力为零为零。 只有沿作用面内法线方向只有沿作用面内法线方向的应力，即压强。的应力，即压强。(1)(1)压强作用方向沿作用面的内法线方向压强作用方向沿作用面的内法线方向4若作用于微小面积若作用于微小面积A上的力为上的力为F，则，则压强压强 p p 为：为：AFpA0lim5(2)(2)压强大小与作用面的方向无关压强大小与作用面的方向无关 下面予以证明：在流场中取一微元四面体下面予以证明：在流场中取一微元四面体ABCD，过过D D点的三

3、个棱边在坐标轴上。设斜面点的三个棱边在坐标轴上。设斜面ABC的面积为的面积为dA。yxCzpzpxpypnBADdzdydx6作用在微元体上的外力应平衡，在x方向有：0cos3121dApfdxdydzdydzpnxx将式( (a) )代入上式得：dxdydAdxdzdAdydzdA212121coscoscosyxCzpzpxpypnBADdzdydx由几何关系得：7当微元体向当微元体向D点缩小时，点缩小时，dx 0,则则px=pn。同理同理可得：可得： py=pn pz=pn所以有所以有px=py=pz=pn。yxCzpzpxpypnBADdzdydx 因此，静止流体因此，静止流体在通过在

4、通过D D点的任意方点的任意方向上的压强都相等。向上的压强都相等。032nxxpdxfp8 3.2.1流体静力学基本方程流体静力学基本方程 在流体内部取如图示微元在流体内部取如图示微元六面体，分析微元体在六面体，分析微元体在x轴上的轴上的受力情况。受力情况。 x轴正向上压力为轴正向上压力为pdydz x负向压力负向压力p+(p/x)dxdydz3.23.2流体静力学基本方程及静止流场基本特性流体静力学基本方程及静止流场基本特性p+(p/x)dxpdzdydxzyx质量力在质量力在x轴方向上的分量为轴方向上的分量为fxdxdydz90)(dydzdxxpppdydzdxdydzfx则则x轴方向上

5、力的平衡方程为：轴方向上力的平衡方程为：整理得：整理得：,xfxpzyfzpfyp,(c)p+(p/x)dxpdzdydxzyx同理可得：同理可得：10pffpfp或或grad矢量式可表示为：矢量式可表示为：上式即为上式即为流体静力学基本方程流体静力学基本方程。它说明在静。它说明在静止流体内部，压强梯度等于流体的密度与质止流体内部，压强梯度等于流体的密度与质量力的乘积。量力的乘积。11将上式各式依次乘以将上式各式依次乘以dx，dy，dz后相加得：后相加得：)(dzfdyfdxfdzzpdyypdxxpzyx)(dzfdyfdxfdpzyx即即：压差公式圆柱坐标系下的压差公式为：)(dzfdrf

6、drfdpzrzyxfzpfypfxp12 将流体内部压强相等的点连接起来的曲将流体内部压强相等的点连接起来的曲面称之为面称之为等压面等压面。在等压面上，。在等压面上，p(x，y，z)=常数。常数。即即：0, 0dzfdyfdxfdpzyx即：上式即为上式即为等压面方程等压面方程。式中。式中 为等压面上的为等压面上的有向微元线段。它说明了质量力与等压面垂有向微元线段。它说明了质量力与等压面垂直直。ld0ldf矢量式为矢量式为：133.2.23.2.2静止流场基本特性静止流场基本特性 (1)(1)流体静止时质量力必须满足的条件流体静止时质量力必须满足的条件 对静力学基本方程两边取旋度，有：对静力

7、学基本方程两边取旋度，有：0)()1(1)(1)(pppppf则有：)()1(1)1()(ppppff140)()()(yfxffxfzffzfyffxyzzxyyzx0pp0)(ff由于，所以有，所以有即即流体静止的必要条件流体静止的必要条件在直角坐标系中为在直角坐标系中为：15例例3-13-1. 设在一流场中有质量力：设在一流场中有质量力：kyvxyxjxxzzizyzyf)2()2()2(222222问：当问：当,v取取何值时，该流场是静止的。何值时，该流场是静止的。16解：流场中流体静止的条件是质量力满足式：解：流场中流体静止的条件是质量力满足式：0)(ff0)()()(yfxffxf

8、zffzfyffxyzzxyyzx对给定的质量力求偏导数：对给定的质量力求偏导数：在直角坐标系中的表达式为：在直角坐标系中的表达式为：17yvxvyxxzxzzyzyyfxfzfxfzfyfzzyyxx222222222222将其带入流体静止条件得将其带入流体静止条件得：0) 1()1 () 1()1 ()1 () 1(222222yxvzxxzvxyvyzvzy18要使上式恒成立，只能是各项的系数为零，即要使上式恒成立，只能是各项的系数为零，即:01, 01, 01vv解三元一次方程组得解三元一次方程组得：21v只有满足上述条件时，该流场中的流体才只有满足上述条件时，该流场中的流体才是静止的

9、。是静止的。19(2)(2)质量力有势质量力有势 对于对于不可压缩不可压缩流体，其密度流体，其密度=const=const，则，则)(pfUf由上式由上式其中其中U为标量函数为标量函数。0f所以所以这是这是不可压缩流体静止的必要条件不可压缩流体静止的必要条件。)(pf两边取旋度两边取旋度：20 流体质量力满足这个关系就称为质量力有势，因流体质量力满足这个关系就称为质量力有势，因此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件，U被被称为质量力势函数。右边的称为质量力势函数。右边的负号表示质量力作正功等负号表示质量力作正功等于质量力势的减少于质量力势的减少。(3)

10、有势质量力场中静止流体的分界面有势质量力场中静止流体的分界面 设有密度不同的两种互不混合的流体，它们具有设有密度不同的两种互不混合的流体，它们具有明确的分界面。在分界面上，明确的分界面。在分界面上，dp=0，即分界面为等压，即分界面为等压面，也可以说分界面是等势面。面，也可以说分界面是等势面。Uf21（4 4）正压流场）正压流场 流体密度只是压力的函数的流场称之为正压流流体密度只是压力的函数的流场称之为正压流场，即：场，即：)(p热力学等温过程的流场就是一种正压流场，因热力学等温过程的流场就是一种正压流场，因为等温过程中为等温过程中constp上式说明上式说明正压流场中等压面与等密度面重合正压

11、流场中等压面与等密度面重合，这是正压流场的一个重要性质。这是正压流场的一个重要性质。22ppf)(1两边取旋度并整理两边取旋度并整理：pppppf)()(1)(2由于等压面与等密度面重合，所以由于等压面与等密度面重合，所以 必然是平行矢量，所以必然是平行矢量，所以与p。0p正压流场的流体静力学基本方程可写为正压流场的流体静力学基本方程可写为：23结论结论：处于静止的正压流场，其质量力必然有势；反之，在质量力有势的条件下，处于静止状态的必然是正压流场。因此有因此有 即静止正压流场的质量即静止正压流场的质量力有势。力有势。0f24思考题思考题 流体处于平衡状态的必要条件是：流体处于平衡状态的必要条

12、件是： （a a）流体无粘性）流体无粘性 （b b）流体黏度大）流体黏度大 （c c）质量力有势）质量力有势 （d d）流体黏度小）流体黏度小253.33.3一些流体静力学基本问题一些流体静力学基本问题 在工程和科学中，有各种各样的与重力场在工程和科学中，有各种各样的与重力场静止液体相关的问题，如过程工业中盛装液体静止液体相关的问题，如过程工业中盛装液体的容器的受力，水坝和水闸等水工结构的受力，的容器的受力，水坝和水闸等水工结构的受力，船舶的浮力和浮力矩的设计，液压机械受力等船舶的浮力和浮力矩的设计，液压机械受力等等。等。26 (1) (1)重力场中静止液体的压力公式重力场中静止液体的压力公式

13、 在重力场中，液体所受到的质量力只有重力：在重力场中，液体所受到的质量力只有重力：p0phozygfffzyx00由于压差公式为由于压差公式为：gdzdp则积分得积分得：cgzp)(dzfdyfdxfdpzyx3.3.1 3.3.1 重力场静止液体中的压力分布与物体受力重力场静止液体中的压力分布与物体受力27若用距离自由液面的深度若用距离自由液面的深度h表示，则表示，则p=gh+c当当h=0时，时，p=p0，于是确定积分常数，于是确定积分常数c=p0，则：，则：0pghp上式即为重力场下均质静止液体中的压力上式即为重力场下均质静止液体中的压力分布公式。该公式是流体静力学计算的基础之分布公式。该

14、公式是流体静力学计算的基础之一。一。28思考题思考题静止流场中的压强分布规律：静止流场中的压强分布规律：（a a）仅适用于不可压缩流体）仅适用于不可压缩流体（b b）仅适用于理想流体）仅适用于理想流体（c c）仅适用于粘性流体）仅适用于粘性流体（d d）既适用于理想流体，也适用于粘性流体）既适用于理想流体，也适用于粘性流体29(2)(2)物体所受的浮力物体所受的浮力阿基米德定律阿基米德定律 完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受到液完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受到液体对它的作用力，其合力称之为浮力。表示为：体对它的作用力，其合力称之为浮力。表示为：pdAnFA其中，其中，“- -”表示

15、表示dA上的压力与上的压力与 相反相反。A为物体表面为物体表面面积，面积， 为表面单位法线矢量，为表面单位法线矢量，p p为物体表面所受的压为物体表面所受的压力。力。 nnz z0 0dAdAA,VA,VF Fp pp p0 0n n30完全浸没物体的浮力完全浸没物体的浮力 对于一个完全浸没在液体中的物体，物体体积为对于一个完全浸没在液体中的物体，物体体积为V，表面积为表面积为A液体密度为液体密度为，自由自由液体与大气接触，大气液体与大气接触，大气压为压为p0，物体表面所受压力为：，物体表面所受压力为：pdAnrMA)(以坐标原点为参数点，物体所受的合力矩为以坐标原点为参数点，物体所受的合力矩

16、为：gzpp0310 0dAdAA,VA,VF Fz zp pp p0 0n n则浮力为则浮力为dAgzpnpdAnFAA)(0由于由于p0为常数为常数，00dApnA故有故有根据奥根据奥- -高公式有：高公式有： gzdAnFAkgVdVkgzdVggzdAnFVVA上式表明，物体所受到的浮力等于其所排开的液上式表明，物体所受到的浮力等于其所排开的液体的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。体的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。32部分浸没物体的浮力部分浸没物体的浮力0dAA1,V1Fzpp0nA2,V2gzdAndApngzdAndApndApngzdAndApnpdAnFAAAAAAAA

17、A1211211210000)(物体的浮力可写成：物体的浮力可写成：33假定沿自由液面切割物体，物体切割面假定沿自由液面切割物体，物体切割面的面积为的面积为A0，显然有，显然有00gzdAnA于是于是A1，A0构成封闭面，构成封闭面，应用奥应用奥-高公式有高公式有：101011VAAAAkgVzdVggzdAngzdAngzdAnF0dAA1,V1Fzpp0nA2,V2A034上式表明，部分浸没的物体受的浮力同样等于其上式表明，部分浸没的物体受的浮力同样等于其所排开的液体的重量，方向垂直向上。于是可将所排开的液体的重量，方向垂直向上。于是可将液体中的物体受的浮力写成：液体中的物体受的浮力写成：

18、kgVF浸浸没物体的浮力力矩浸没物体的浮力力矩dViyjxgpdAnrMVA)()(35 由于合力和合力矩是相互垂直的，即由于合力和合力矩是相互垂直的，即 设浮力中心位于设浮力中心位于x=xc，y=yc，则浮力中心的矢径则浮力中心的矢径 为为 ，于是根据于是根据 有有 FMjyixrccMFrdViyjxgjgVxigVyFrVcc)(解出浮力中心坐标为解出浮力中心坐标为：VcVcydVVyxdVVx,1,136例题例题.边长边长a=1m的立方体，上半部分的比重的立方体，上半部分的比重为为0.6，下半部分的比重是，下半部分的比重是1.4，平衡于两层，平衡于两层不相混合的液体中，上层液体比重为不

19、相混合的液体中，上层液体比重为0.9，下，下层液体比重为层液体比重为1.3，试求立方体底面在两种液，试求立方体底面在两种液体交界面下面的深度体交界面下面的深度x（水的重度为（水的重度为9810N/m3）。）。37解：物体重量为：)4 . 16 . 0(981023aG物体受到的浮力为： F=a2(a-x)98100.9+a2x98101.3由于两者平衡：G=F （a3/2） (0.6+1.4)=a2(a-x) 0.9+x 1.3由a=1m， 1=0.9+0.4x， 所以x=0.25m383.3.23.3.2非惯性坐标系非惯性坐标系中的静止液体中的静止液体 流体静力学基本方程式是对流体静力学基本

20、方程式是对惯性坐标系惯性坐标系建立的，建立的，在在非惯性坐标系非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其中，流体处于相对静止状态，则其表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因此，基本方程同样可以成立。不同的是此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐在非惯性坐标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括惯性力，即基本方程中的惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力质量力应为重力和惯性力两部分之和两部分之和。39直线等加速运动容器中的静止液体直线等加速运动容器中的静止液体 如图，一个盛有液体的容器相

21、对于地面作直如图，一个盛有液体的容器相对于地面作直线匀加速运动，线匀加速运动， 其加速度其加速度 为为：akajaiaazyx如果将非惯性坐标系固定在容器上，则根据如果将非惯性坐标系固定在容器上，则根据达朗贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到达朗贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到惯性力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为惯性力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为-a。zga-afx040gaf将上式代入基本方程得将上式代入基本方程得：pag1于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和重力两部分组成：重力两部分组成：其直角坐标系下的分量式为其直角坐

22、标系下的分量式为：zpagypagxpagzzyyxx1,1,1zga-afx041则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表示为示为：)()()(dzagdyagdxagdpzzyyxx由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布：czagyagxagpzzyyxx)()()(其中：其中：c c为积分常数，由具体问题确定为积分常数，由具体问题确定。42ozax h例题例题：如图为运送液体的槽车简化模型。槽：如图为运送液体的槽车简化模型。槽车以等加速度车以等加速度a做水平运动，车内液高做水平运动，车内液高H，试，试求槽车

23、在等加速运动过程中求槽车在等加速运动过程中自由液面的形状自由液面的形状。假定自由液面的压力为假定自由液面的压力为p0。430,0,0,0zyxzyxaaaagggg带入压力全微分公式带入压力全微分公式：)(gdzadxdp解解：将固定在槽车上的运动：将固定在槽车上的运动坐标系的原点置于坐标系的原点置于静止时自由液面的中点静止时自由液面的中点。则槽车运动时单位质。则槽车运动时单位质量液体受到的重力和液体的量液体受到的重力和液体的加速度加速度分量分别为：分量分别为：ozax h由于自由液面为等压面，由于自由液面为等压面，dp=0，所以有，所以有44adx=-gdz积分得积分得 z =-ax/g+c

24、自由液面通过原点，则自由液面通过原点，则c=0，则自由液面方程则自由液面方程为为： xgazs 说明自由液面是斜率为说明自由液面是斜率为- -a/g的倾斜平面的倾斜平面。 此外，槽车内液体的压力分布为此外，槽车内液体的压力分布为：cgzaxp)(45改写成改写成：)(0zxgagppghpp0)(0gzaxpp)/(zgax式中式中 项正好等于液体自由液面以下项正好等于液体自由液面以下的垂直深度的垂直深度h，0pc 可确定可确定则：此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力同样只是液体深度的函数同样只是液体深度的函数。ozx ha46练习练习： 一加满

25、水的柱体直径为一加满水的柱体直径为30cm30cm，60cm60cm高，问逐高，问逐渐加上多少加速度会溢出渐加上多少加速度会溢出1/41/4的水量？的水量？1/21/2的水量？的水量？全部的水量？全部的水量？ 60cm30cm水量水量47 60cm30cm水量水量48如图，是一个旋转容器，容器如图，是一个旋转容器，容器半径为半径为R。静止状态时，装有深度。静止状态时，装有深度为为H的液体。的液体。 当容器以角速度当容器以角速度做等速旋转做等速旋转时，液体除受到重力作用外还要受时，液体除受到重力作用外还要受到离心惯性力的作用。到离心惯性力的作用。 则单位质量流体的重力分量为则单位质量流体的重力分

26、量为等角速度旋转容器内液体的相对平衡xzhOyxr2y2x20yxrggggzyx, 0, 0490sincos2222zyxayraxra由达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性力为由达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性力为-a，大小为，大小为r2，其分量为，其分量为 于是，容器中液体所受的单位质量力为于是，容器中液体所受的单位质量力为：fx=2rcos =2 xfy= 2rsin =2 yfz=-gyxr2y2x20yxr50将质量力代入全微分公式有将质量力代入全微分公式有：dp= (2 xdx+2 ydy -gdz)由于等压面上由于等压面上dp=0,则等压面方程则等压面方程: 2 xdx+

27、2 ydy -gdz=0积分积分: 2202222221,0,0,021,2rgzCzrCgzrCgzyxxzOz0zh51压强分布为压强分布为:ghzzgzrggpppCppzrCzrggp)()21(,0,0)21(02200022xzOz0zh52高速回转圆筒内的流体压力分布 如离心机转鼓，转速少则几百转，如离心机转鼓，转速少则几百转，多则数万转。那么这种情况下，液体内多则数万转。那么这种情况下，液体内部的压力分布及自由面是什么样呢？部的压力分布及自由面是什么样呢？53高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重力。此时，压力全微分公式力。此时，压力全微分公式

28、-gdz项可以忽项可以忽略，即略，即 dp= ( 2 xdx+ 2 ydy-gdz)可简化为：可简化为： dp=2(xdx+ydy)而等压液面方程则近似为：而等压液面方程则近似为： 2 r 2/ 2=C 近似为圆柱面，令自由液面的圆柱面半径近似为圆柱面，令自由液面的圆柱面半径为为r0。5455积分积分：pprrrdrdp002整理后整理后：)(220220rrpp 该式为离心机设计和操作分析中经常用到的该式为离心机设计和操作分析中经常用到的压力分布关系式压力分布关系式。56例.有一容器绕o-o?轴匀速旋转，n=60000rpm，已知R=50mm,r0=10mm,H=1000mm,静止时水面高度

29、h=900mm。试求：r=30mm处的压强。57解：在高速旋转时，容器内液体将形成圆柱环，设内环半径为r1，则)(2308 .151000)50(90050)(2122001121222122rrppmmrrrmmrrHrRhR处的压强为则则液体不会溢出。，解得：58MPan9 .12)0158. 003. 0()30(2100010132522259例：图示为盛满液体的容器顶盖中心处例：图示为盛满液体的容器顶盖中心处开口，当容器以等角速度开口，当容器以等角速度 绕垂直轴绕垂直轴z旋旋转时，液体借离心力向外甩，但是受顶转时，液体借离心力向外甩，但是受顶盖限制，液面不能形成抛物面。试分析盖限制，

30、液面不能形成抛物面。试分析液体内的压力分布。液体内的压力分布。z0RBpa 60液体内各点的压强分布符合下式，即液体内各点的压强分布符合下式，即 gzrCp222常数常数C，可利用，可利用r=0，z=0，p=pa确定，即确定，即C=pa。故。故 gzrppa222z0RBpa 61222RppaB 故作用于顶盖上（故作用于顶盖上（z=0）各点的压力仍按）各点的压力仍按抛物面分布，如图箭头所示，边缘抛物面分布，如图箭头所示，边缘B处处 边缘边缘B处（处（r=R，z=0）压力最大为（表压）压力最大为（表压）:222RpppaBgz0RBpa 62可知可知 越大，则边缘越大，则边缘处压力越大，处压力

31、越大，离心铸造离心铸造就就是依据此原理，即通过离是依据此原理，即通过离心铸造机的高速旋转而增心铸造机的高速旋转而增大铸模外缘处液态金属的大铸模外缘处液态金属的压力，从而得到较密实的压力，从而得到较密实的铸件。铸件。z0RBpa 63例例.盛满液体的容器顶盖边缘处开盛满液体的容器顶盖边缘处开 口，当其旋口，当其旋转时，液体借离心惯性力而向外甩，但当液体转时，液体借离心惯性力而向外甩，但当液体刚要甩出容器时，在容器内部即产生真空，紧刚要甩出容器时，在容器内部即产生真空，紧紧吸住液体，以致液体跑不出去。试分析液体紧吸住液体，以致液体跑不出去。试分析液体内的压强分布及内的压强分布及o点处的真空度。点处

32、的真空度。0RBpaz DC A64gzrCp222利用利用r=R，z=0时时 p=pa，以确定常数，以确定常数C, 即即222RpCa流体内各点的压强分布符合下式，即流体内各点的压强分布符合下式，即65gzRrppa)(2222z=0, r=0 处真空度为处真空度为222Rpppav0RBpaz DC A66 由上式可知，由上式可知， 越大则越大则0点处的真空越大，点处的真空越大，离心式离心式水泵和离心式风机水泵和离心式风机就是根就是根据此原理设计的，当叶轮据此原理设计的，当叶轮旋转时，在叶轮中心处形旋转时，在叶轮中心处形成真空，流体被吸入，又成真空，流体被吸入，又借离心力将流体甩向外缘，借

33、离心力将流体甩向外缘，增大压力后输送出去。增大压力后输送出去。 0RBpaz DC A67在生产实际中，可根在生产实际中，可根据旋转容器中液面高度的据旋转容器中液面高度的变化来测定旋转角速度。变化来测定旋转角速度。因为旋转前后容器内液体因为旋转前后容器内液体体积不会改变。旋转后中体积不会改变。旋转后中间出现一个被旋转抛物面间出现一个被旋转抛物面包围的空腔，当空腔的底面半径为包围的空腔，当空腔的底面半径为R，即与容，即与容器半径相当时，有器半径相当时，有)(022122HHRHRhR68化简后可得化简后可得：hHH20根据自由表面方程根据自由表面方程：grz22200222HHgRRr处，有在由

34、（由（1）、（）、（2）两式得）两式得)(20HhgR69例题例题1: d=300mm, H=500mm敞口圆柱形容器中，注水高度敞口圆柱形容器中，注水高度为为h1=300mm，容器绕轴作等，容器绕轴作等角速度旋转。角速度旋转。1.确定使水的自由界面正好达到容确定使水的自由界面正好达到容器边缘时的转数器边缘时的转数n1;2.求抛物面顶端碰到容器底时的转求抛物面顶端碰到容器底时的转数数n2,此时容器停止旋转后，水面高此时容器停止旋转后，水面高度度h2将为多少？将为多少？70解：1.根据可得H0=2h1-H=2300-500 =100mm此时角速度为102hHHsradHhgR/676.1810)

35、100300(81. 9101502)(2330171rpmn17814. 3676.1830301则2.2.（方法一）当抛物面顶端碰到容器底时，将（方法一）当抛物面顶端碰到容器底时，将会有一部分水被抛离容器。根据自由表面方程会有一部分水被抛离容器。根据自由表面方程grz2220有HgR22272sradRgH/88.20101501050081. 9226232即rpmn19914. 388.2030302于是gRrdrgrdVVRV42242022为此时容器内液体的体积带入数据后得带入数据后得：则水面高度为则水面高度为：mRVh25.02273rpmnsrHhgRmmhhHH19930/8

36、8.201025081. 9101502)(225020500223300则得由743.4 3.4 静止流体对壁面的压力静止流体对壁面的压力 工程上不仅需要知道流体内部的压强分工程上不仅需要知道流体内部的压强分布规律，而且需要知道与流体接触的不同形布规律，而且需要知道与流体接触的不同形状、不同位置的固体壁面上所受到的流体对状、不同位置的固体壁面上所受到的流体对它的作用力以及这种力的计算方法。它的作用力以及这种力的计算方法。75作用在倾斜平面上的总压力作用在倾斜平面上的总压力假设假设AB为一块面为一块面积为积为A的任意形状的任意形状的平板，倾斜放置的平板，倾斜放置在静止的密度为在静止的密度为的液

37、体中，它与液的液体中，它与液体自由表面的夹角体自由表面的夹角为为 ，液体自由表，液体自由表面上的压强为面上的压强为p0yo hcDBAhchDp076xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp0 把平板把平板AB绕绕oy轴转轴转动动90正视图正视图 取一微元面积取一微元面积dA，作用在它中心点的压作用在它中心点的压强为强为p，且，且p=p0+gh 由于由于dA取得足够小，可以认为作取得足够小，可以认为作用在它上面的液体的压强都等于用在它上面的液体的压强都等于p。因此作用在因此作用在dA上的合力应为：上的合力应为：77dAgydApdAghpdApdFsin)(00因为流体是静止的，

38、因为流体是静止的，不存在切向力，所以作用不存在切向力，所以作用在整个平板上的压力都垂在整个平板上的压力都垂直于平板。因此，作用在直于平板。因此，作用在平板上的合力为平板上的合力为AAAydAgApdAgydApFsinsin00式中式中cAyAydA为平板面积对为平板面积对x轴的面积矩轴的面积矩xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp078xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp0所以有所以有AghpyAgApFcc)(sin00由此可知，由此可知，在静止液体在静止液体中，作用在平面上的合中，作用在平面上的合力等于作用在该平面几力等于作用在该平面几何中心点处的静压强

39、与何中心点处的静压强与该平面面积的乘积该平面面积的乘积。思考题：思考题：合力的作用点是否在平板中心合力的作用点是否在平板中心？79总压力的作用点总压力的作用点xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp0总压力的作用线与平总压力的作用线与平面的交点即为总压力的作面的交点即为总压力的作用点，也叫用点，也叫压力中心压力中心。由。由于每一个微小面积上所受于每一个微小面积上所受的压力对的压力对x轴的静力矩之和轴的静力矩之和应该等于作用在面积应该等于作用在面积A上的上的合力对合力对x轴的静力矩，即轴的静力矩，即ADydFyF80上式可进一步写成上式可进一步写成ydAgypyAghpADc)si

40、n()(00AADcdAygydApyAgyp200sin)sin(式中式中AypydApcA00根据力学中惯性矩的定义知根据力学中惯性矩的定义知xAJdAy2xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp081根据根据移轴定理移轴定理得得xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp0AyJJccxx2其中其中Jx为平面为平面A对对x轴的惯性轴的惯性矩；矩；Jcx为平面为平面A对于通过几对于通过几何中心何中心c并与并与x轴平行的轴的轴平行的轴的惯性矩。惯性矩。 于是可得平板的压力中心于是可得平板的压力中心：AgypgJyAgypAyJgAypyccxccccxcD)sin(s

41、in)sin()(sin002082如果仅仅需要知道相对压强如果仅仅需要知道相对压强gh作用在面积作用在面积A上的合力作用点（上的合力作用点（相对压力中心相对压力中心）时，令）时，令p0=0，则得则得AyJyyccxcD故有故有,cDyy由此可见，压力中心总是在平由此可见，压力中心总是在平面的几何中心之下。面的几何中心之下。83几种平面图形的几种平面图形的Jcx、yc平面图形平面图形图形顶点到形图形顶点到形心的距离心的距离yc对对c-cc-c轴惯性矩轴惯性矩Jcx3121bll213361bl441Rl32Rba341a84例例：一平面闸门，高：一平面闸门，高H=1m，支撑点，支撑点o的高度的高度a =0.4m，问当水深，问当水深h增至多大时，闸门将会增至多大时，闸门将会绕绕o点自动打开？点自动打开？不考虑大气压强，计算时不考虑大气压强，计算时闸门