第三章轴向拉压变形

1、材料力学魏魏 星星华东交通大学华东交通大学工程力学研究所工程力学研究所上章回顾上章回顾 轴力（符号，截面法）、轴力图轴力（符号，截面法）、轴力图 应力，斜截面应力（正应力、切应力最大应力，斜截面应力（正应力、切应力最大方向）方向） 圣维南原理、应力集中圣维南原理、应力集中 拉压曲线拉压曲线 四个阶段，应力指标，胡克定律，冷作硬化，四个阶段，应力指标，胡克定律，冷作硬化，加载卸载定律加载卸载定律 塑性指标：脆性塑性（性质，抗拉抗压抗剪）塑性指标：脆性塑性（性质，抗拉抗压抗剪）上章回顾上章回顾 强度条件强度条件 极限应力（弹塑材料）极限应力（弹塑材料） 强度校核，尺寸设计，极限承载力强度校核，尺寸

2、设计，极限承载力 连接部分强度计算连接部分强度计算 剪切，剪切强度剪切，剪切强度 挤压，挤压强度（面积）挤压，挤压强度（面积）第第3章章 轴向拉压变形轴向拉压变形 3.1 引言引言 3.2 拉压杆的变形与叠加原理拉压杆的变形与叠加原理 3.3 桁架节点位移分析与小变形概念桁架节点位移分析与小变形概念 3.4 拉压与剪切应变能拉压与剪切应变能 3.5 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题3.1 引言引言研究目的：研究目的：1、分析拉压杆的拉压刚度；、分析拉压杆的拉压刚度； 2、求解简单静不定问题。、求解简单静不定问题。3.2 拉压杆的变形与叠加原理拉压杆的变形与叠加原理胡克定律胡克定律应力应力应

3、变应变NFAllENF llE AEA 杆的杆的拉压刚度拉压刚度。1lll 材料在线弹性范围内工作，即（材料在线弹性范围内工作，即（ 为比例极限）；为比例极限）； pp（2 2）不同情况）不同情况niiiiNiAElFl1lNxEAdxxFl)()(阶梯杆阶梯杆变截面杆变截面杆（1 1）胡克定律的适用条件：）胡克定律的适用条件：F1C BA F2l1l2F1C BAl1l2C BA F2l1l2=+2211111)(EAlFEAlFFl1122)(EAlFFl)()(11FlFll2221121)(EAlFEAlFF力力的的叠叠加加原原理理？=+b1b2 横向绝对变形横向绝对变形bbb13 横

4、向应变横向应变lllll14 泊松比泊松比实验结果表明：正应力没有超过比例极限时，实验结果表明：正应力没有超过比例极限时， 为常数。为常数。- 或lFF1l1 纵向应变纵向应变bbbbb1)1 (2EG试验表明试验表明:横横向向变变形形与与泊泊松松比比膨胀螺丝膨胀螺丝 讨论题：讨论题： 钢材经过冷作硬化以后，钢材经过冷作硬化以后， 基本不变。基本不变。 A：弹性模量；：弹性模量； B：比例极限；：比例极限； C：延伸率；：延伸率； D：断面收缩率。：断面收缩率。 讨论题：讨论题： 低碳钢圆截面在拉伸破坏时，标距由低碳钢圆截面在拉伸破坏时，标距由100毫米变成毫米变成130毫米。直径由毫米。直径

5、由10毫米变为毫米变为7毫米，则毫米，则Poissons ratio(泊松比泊松比) 为：为： A：=(10-7)/(130-100)=0.1 B：=/=-0.3/0.3=-1 C：=|/|=1 D：以上答案都错。：以上答案都错。 例例 一阶梯状钢杆受力如图，已知一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面段的横截面面积面积A1=400mm2， BC段的横截面面积段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量材料的弹性模量E=210GPa。试求：。试求：AB、BC段的段的伸长量和杆的总伸长量；伸长量和杆的总伸长量；C截面相对截面相对B截面的位移截面的位移和和C截面的绝对位移。截面的绝对位移。F=

6、40kN C BA BC解：解：由静力平衡知，由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为两段的轴力均为FF Nl1 =300l2=200故故11N1EAlFl mm143. 022N2EAlFl mm152. 0233mm400MPa10210mm300N1040233mm250MPa10210mm200N1040F=40kNC BA BCl1 =300l2=200AC杆的总伸长杆的总伸长21lllmm295. 0152. 0143. 0C截面相对截面相对B截面的位移截面的位移)( mm153. 02lCBC截面的绝对位移截面的绝对位移)( mm295. 0lCF=40kNC BA BC思考：思考

7、：1. 上题中哪些量是变形，哪些量是位移？二者上题中哪些量是变形，哪些量是位移？二者是否相等？是否相等？2. 若上题中若上题中B截面处也有一个轴向力作用如图，截面处也有一个轴向力作用如图，还有什么方法可以计算各截面处的位移？还有什么方法可以计算各截面处的位移？l1 =300l2=200F=40kNC BA BCF=40kN 例：例：图示圆截面杆，已知图示圆截面杆，已知F = 4kN ，l1 = l2 = 100mm ，E = 200GPa 。为保。为保证构件正常工作，要求其总伸长不超过证构件正常工作，要求其总伸长不超过l = 0.10mm 。试确定杆的直径。试确定杆的直径 d 。 解：解： A

8、B 段的轴力段的轴力 BC 段的轴力段的轴力 N12FF N2FF 杆件总长度改变量杆件总长度改变量 N1 1N2 2121122228412F lF lFlFlFllllEAEAE dE dE d 1212FlllE d 33319312124 10100 108.7 10 m200 100.1 10FldEl 3.3 桁架节点位移分析与小变形概念桁架节点位移分析与小变形概念桁架的变形通常用节点的位移表示，桁架的变形通常用节点的位移表示，它也是解静不定问题的基础它也是解静不定问题的基础按原结构尺寸求内力，切线代圆弧计按原结构尺寸求内力，切线代圆弧计算位移，保证工程精度的简化处理算位移，保证工

9、程精度的简化处理C1、怎样画小变形放大图？、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量求各杆的变形量Li ，如图；，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。变形图近似画法，图中弧之切线。小变形放大图与位移的求法小变形放大图与位移的求法ABCL1L2P1L2LC2、写出图、写出图2 2中中B点位移与两杆变形间的关系点位移与两杆变形间的关系1BxL 解：变形图如图，解：变形图如图， B点位移至点位移至B点，由点，由图知：图知：21cotsinByLL ABCL1L21L2LBxByBP例例ABAB长长2m, 2m, 面积为面积为200mm200mm2 2。A

10、CAC面积为面积为250mm250mm2 2。E E=200GPa=200GPa。F F=10kN=10kN。试求节点。试求节点A A的位移。的位移。 0yFkN202sin/1FFFN解：解：1 1、计算轴力。（设斜杆为、计算轴力。（设斜杆为1 1杆，水杆，水平杆为平杆为2 2杆）取节点杆）取节点A A为研究对象为研究对象kN32.173cos12FFFNN 0 xF0cos21NNFF0sin1FFN2 2、根据胡克定律计算杆的变形。、根据胡克定律计算杆的变形。1mmm101102001020021020369311111AElFlNA AF F1NF2NFxy30300 0mm6 . 0

11、m106 . 01025010200732. 11032ElFlN斜杆伸长斜杆伸长水平杆缩短水平杆缩短3-3 3-3 拉拉( (压压) )杆内的应变能杆内的应变能 应变能应变能弹性体受力而变形时所积蓄的能量。弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 单位：单位：WV mN1J1应变能的计算：应变能的计算：能量守恒原理能量守恒原理焦耳焦耳J弹性体的弹性体的功能原理功能原理F l1l l拉拉 (压）杆在线弹性范围内的应变能压）杆在线弹性范围内的应变能 外力功：外力功： lFW21)(EAFll WV 杆内应变能：杆内应变能：lF 21EAlF22EAlF22NF l1l lF l

12、F l)(EAFll WV lF 21llEA2)(2或或F l1l lF lF l应变能密度应变能密度VVv应变能密度单位：应变能密度单位：3m/Jv杆件单位体积内的应变能杆件单位体积内的应变能 两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀分布的。分布的。AllF 2121E2222E)(EF F ll1思考：思考：1、应变能的计算不能使用力的叠加原理。想一、应变能的计算不能使用力的叠加原理。想一想原因是什么？想原因是什么？2、如果杆件因为荷载或截面尺寸连续改变等原、如

13、果杆件因为荷载或截面尺寸连续改变等原因而发生不均匀轴向变形，比如等直杆受自重因而发生不均匀轴向变形，比如等直杆受自重荷载作用时，如何计算杆件的应变能？荷载作用时，如何计算杆件的应变能？qxxF)(NEAxxFV2d)(d2NllEAxxFVV02N2d)(dFN(x) FN(x) +d FN(x) lBA qxBqqldxFN(x)J67.64mmN1067.64)mm25(4)MPa10210()mm102()30cos2N1010()cos2(22323323221NEAlPEAlFV解：解：例例 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点结点

14、A的位移的位移 A 。已知已知 P =10 kN, 杆长杆长 l =2m，杆径，杆径 d =25mm, =30，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E =210GPa。cos22N1NPFFFABC 12)(mm293. 1N10100mmN1067.642233PVA21VPAJ67.64mmN1067.643V而而FABC 122.10 拉伸、压缩的超静定问题拉伸、压缩的超静定问题F中国知网中国知网cnki：http:/ 温度应力和装配应力温度应力和装配应力 温度应力温度应力 温度变化温度变化构件变形（膨胀，收缩）构件变形（膨胀，收缩）温度应力温度应力 变形：变形： 杆件伸长量：杆件伸长量：

15、几何方程：变形协调关系几何方程：变形协调关系TT 热胀系数，温度变化lTl 装配应力装配应力 加工误差加工误差装配应力装配应力2.13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算 剪切和挤压剪切和挤压 连接件：连接件： 铆钉、销钉、铆钉、销钉、螺栓、键等螺栓、键等。 连接件受力以后产生的变形主要是剪切变连接件受力以后产生的变形主要是剪切变形。形。 剪切受力特点：剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。力合力大小相等、方向相反且作用线很近。 变形特点：变形特点：位于两力之间的截面发生相对位于两力之间的截面发生相对错动。错动。 剪切面剪切面: 发生错动的面。发生错动的面。剪切的概念剪切的概念刘刘 5单单 3孙孙 52.2 直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 2.2，2.32-22.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 2.22-32.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能 2.4，2.52-62.5 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能 2.4，2.52-62.7 失效、安全因数和强度计算失效、安全因数和强度计算 2.