最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波

1、最优估计第第8 8章章 线性连续系统线性连续系统卡尔曼滤波卡尔曼滤波l 离散系统取极限的推导方法l 卡尔曼滤波方程新息推导法l 线性连续系统滤波器的一般形式l 滤波的稳定性及误差分析研究连续系统的必要性研究连续系统的必要性：实际的物理系统往往是连续的，故离散系统的描述不能完全代替连续时间系统。)()()()(,0 )()(0 )()(0)()()()()()(0)()()()()(0)(00000tPtxVarttxEtt tvtxE twtxEvtwEttRvtvEtvEttQwtwEtwExxTTTTT，噪声统计特性：线性连续系统模型：线性连续系统模型：)()()()()()()()()(

2、tvtxtHtztwtGtxtAtx(8.1.1)问题：问题：最小的线性估计。使，状态估计求式，给定测量)()()() 1 . 1 . 8()()(0tXtXEPtXtttZTt48.1 离散系统取极限的推导方法离散系统取极限的推导方法推导方法思想：推导方法思想：当采样稠密或采样间隔趋于零时，取离散系统的极限，将离散系统的结果转化为连续系统的公式。步骤步骤1：建立：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述的等效离散线性系统数学描述步骤步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程 步骤步骤3： 对离散卡尔曼滤波公式取极限对离散卡尔曼滤波公式取极限 时当0t推导方法步

3、骤：推导方法步骤：步骤步骤1：建立：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述的等效离散线性系统数学描述)()()()()(),()(),()(ttvtxttHttztwttttxtttttxnn由 5.3 知，等效模型：tttttttAItttn)(G),()(),(其中，kjknnkjknntRVtVCovtQWtWCov)(),()(),(tjttktt00,利用离散线性系统卡尔曼滤波方程(132页)及下列等效关系：tttRRttQQttKKtttPPttttPPtttPPttHHtxxtttttzztttttxxkkkkkkkkkkkkkkkkk)(,)()(),(),(),()()

4、,(),(),(),(),(11| 1|1|11,1,得等效离散线性系统的卡尔曼滤波方程：步骤步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程 )( ),()()()()( ),()( txtttttHttzttKtxtttttx(8.1.3)1)()(),()()(),()(tttRttHtttPttHttHtttPttKTT(8.1.4),()(),(),(),(),(),(tttttQttttttttPttttttPTT(8.1.5),()()(),(tttPttHttKIttttP(8.1.6)步骤步骤3： 对离散卡尔曼滤波公式取极限对离散卡尔曼滤波公式取极限 时

5、当0t)( )()()()()( )()( txttAIttHttzttKtxttAIttx式，得：代入滤波方程将)3 . 1 . 8()(),(ttAItttn得：，并除以，将上式两端同减ttx)( )( )()()()( )()( )( txtAIttHttztttKtxtAttxttx-(8.1.8) 最优滤波方程)( )()()()( )()( txtHtztKtxtAtx取极限0t)(tK线性连续系统的卡尔曼滤波方程，是一个一阶微分方程。11)()(),()()(),()()(),()()(),()()(ttRtttHtttPttHttHtttPttttRttHtttPttHttHt

6、ttPtttKtKTTTT取极限0t)()()()(1tRtHtPtKT- 增益矩阵- 估计误差方差tttPttHttKtGtQtGtAttPttPtAtttPttttPTT),()()()()()()(),(),()(),(),(，得：将其代入)16. 8( ttGtQtGtAttPttPtAttPttGttQttGttAItttPttAItttPTTTT)()()()(),(),()(),()()()()(),()(),(式，得：代入，将)5 . 1 . 8()()()(),(ttGttttAItttn取极限0t)(),(),(lim0tPttPtttPt)()()()()()()()()

7、()()()()(1tPtHtRtHtPtGtQtGtAtPtPtAtPTTT黎卡提微分方程：11线性连续系统卡尔曼滤波求解公式线性连续系统卡尔曼滤波求解公式注：连续系统的卡尔曼滤波估计问题归结为求解微分方程问题； 矩阵黎卡提微分方程很难求解。)()()()(1tRtHtPtKT滤波增益方程：滤波增益方程：)()()()()()()()()()()()()(1tPtHtRtHtPtFtQtFtAtPtPtAtPTTT滤波误差方差矩阵黎卡提方程：滤波误差方差矩阵黎卡提方程：)( )()()()( )()( txtHtztKtxtAtx最优滤波方程：最优滤波方程：12线性连续系统卡尔曼滤波方程线性

8、连续系统卡尔曼滤波方程13两点说明：两点说明：是线性最小方差估计。即条件下的均值在是、ttttZtXEttXttZZtXtX00| )()|(,),()()(100)()()()(0)()()()(2tZtZEtZtZEtXtXEtZtXETTTT即也正交于估计量，估计误差正交于测量量正交投影性质，由线性最小方差估计的、框图如下：线性连续系统)()()()()()()()()(tvtxtHtztwtGtxtAtx)(tG)(tx)(tv)(tw)(0txs1)(tH)(tA+)(tz结构图如下：作用下的线性系统，其可视为一个滤波方程：)()()()()( )()( tztKtztKtxtAtx

9、)(tz+)(tA)(tK)( 0tx)(tH)( tx)( tzs1+168.2 卡尔曼滤波方程新息推导法卡尔曼滤波方程新息推导法新息的性质：新息的性质：新息是一个与测量噪声有相同统计值的白噪声过程。)()()()()()()()()(tvtxtHtztwtGtxtAtx系统模型：系统模型：新息：新息：的新成份。新息中包含为新息过程。定义方差估计，最小得到的区间的在为由设)()( )()()()()()( 00tztxtHtztztXZtttztxtt17推导过程推导过程步骤步骤1：构造估计量的函数形式：构造估计量的函数形式dzttxtztxtt)(),()( )()( 0*的线性函数：是假

10、定的最小方差估计。以得到，选择)(),(*txt)(),()()(),()()(),()()( *00sRstdsRtdszzEtsztxEttTttT)()()()( sxtxEsztxETT估计与测量的正交性)()()(),(1*sRsztxEtTttTdzRztxEtx0)()()()()( 1步骤步骤2：对上述函数关于时间求导：对上述函数关于时间求导ttTTdzRztxEtztRtztxEtx0)()()()()()()()()( 11ttTttTdzRztwEtGdzRztxEtAtztK00)()()()()()()()()()()()(11)()()()(tZtKtXtA)()(

11、)()()()(tXtHtZtKtXtA)()()()()()(tZtKtXtHtKtA步骤步骤3：确定增益阵：确定增益阵 K(t)()()()(1tRtztxEtKT)()()()()( )()()()()()()( )()()(tHtPtHtxtxEtHtxtxEtvtxtHtxtxEtztxETTTTTTT)()()()(1tRtHtPtKT步骤步骤4：求：求 P(t) 的导数的导数)()()(txtxEtPT0)()()()(0)()()()(tztzEtztzEtxtxEtztxETTTT)()()()(1tRtHtPtKT)()()()()()()()()()()()()(1tGt

12、QtGtPtHtRtHtPtAtPtPtAtPTTT与极限推导法的结果一致。)()()()()()()()()()()()()(1tGtQtGtPtHtRtHtPtAtPtPtAtPTTT21连续线性定常系统的卡尔曼滤波连续线性定常系统的卡尔曼滤波)()()()()()(tvtHxtztGwtAxtx若系统模型中的各参数为常数，即)()()()()()()()()()()()()(1tGtQtGtPtHtRtHtPtAtPtPtAtPTTT当估计过程达到稳态时，黎卡提微分方程中的与时间无关，其微分为零，则TTTGQGHPRPHPAAP101RHPKPT：差的稳态值，则增益为即为卡尔曼滤波误差方

13、其解)( )()( )( txHtzKtxAtx滤波方程为：例)()(01)()(10)(0010)(tvtxtztwtxtx二阶系统状态及观测方程：0001)0(var0)0()(2)()(cov)(4)()(cov0PxExtvtvtwtw，噪声及初值：求卡尔曼滤波方程及增益、方差矩阵方程。 00010)0(2)(4)(01)(10)(0010)(0PxtRtQtHtGtA，解 由已知：10104)(0110)(210100)()(0010)(10)(21)()( 01 )()()( 0010)( tPtPtPtPtPtPtKtxtztKtxtx由滤波公式，得：)()()()()()()(

14、)()()(2221121122211211tPtPtPtPtPtPtPtPtPtP，定义：)(214)()(21)()()(21)()(21)(2)()()()()(2121211221211222111222211211tPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtP则：0)0()(214)(0)0()()()(21)()(1)0()(21)(2)(2221222122112112212112111211PtPtPPtPtPtPtPtPPtPtPtP，将上式展开，有：解此非线性联立微分方程组，求得方差 P(t)后，得增益矩阵：)( 01 )(2)(2)()( 0010)( 1211

15、txtztPtPtxtx2)(2)(01)()()()(21)(121122211211tPtPtPtPtPtPtK和滤波方程：258.3 线性连续系统卡尔曼滤波器的一般形式线性连续系统卡尔曼滤波器的一般形式系统模型：系统模型：)()()()()()()()()()()(tvtxtHtztwtGtutBtxtAtxw(t) 和 v(t) 均为零均值白噪声过程，且)()()()()()()()()()()()(ttSvtwEttRvtvEttQwtwETTT建立与式(8.3.1)(8.3.2)等效的线性离散系统的数学模型： )()()()()(),()(),()(),()(ttvttxttHtt

16、ztwttttuttttxtttttxnn- (8.3.1)- (8.3.2)建立与式(8.3.1)(8.3.2)等效的线性离散系统的数学模型： )()()()()(),()(),()(),()(ttvttxttHttztwttttuttttxtttttxnn含控制项，过程噪声和观测噪声相关。)()(),()()(),()()(),(tOttGttttOttBttttOttAIttt 是零均值分段常值白噪声过程，其协方差阵分别为： , 2, 1, 0,),(),(0ktktttvtwnnkjnnkjnnkjnnttSvtwttRvtvttQwtw)()(),(cov)()(),(cov)()(

17、),(cov式中：将下列代换关系： 带入离散卡尔曼滤波公式(6.3.4a)(6.3.4e)，得： )/( )()()()|( )( tttxttHttzttKtttxttx(8.3.8a)( )()()()(),()( ),()|( txtHtztJtuttttxttttttx(8.3.8b)()(),()()(),()(11tRtStttttRttSttttJ(8.3.8c)1)()(),()()(),()(tttRttHtttPttHttHtttPttKTT(8.3.8d)()()(),()(),()()(),(),()()(),(),(tJttRtJtttttQttttHtJtttttP

18、tHtJttttttPTTT(8.3.8e),()()()(tttPttHttKIttP(8.3.8f)(8.3.8d)()()()()(),()()(),(lim)(lim)(1100tRtHtPttttRtttHtttPttHttHtttPtttKtKTTTtt(8.3.9)( )()()()()()( )()( )( lim)( 0txtHtztKtutBtxtAttxttxtxst(8.3.10)()()()()()()()()()(11tRtStGtHtPtRtStGtKtKTs(8.3.11)(8.3.8d)(8.3.8a)(8.3.6)、(8.3.8b) )( )()()()()

19、()()()( )()( )()()()( )()()()()()()()( )()( )( 11ttxtHtztRtStGtutBtxtAtxttHttzttKttxtHtztRtStGtutBtxtAtxttx(8.3.8a)(8.3.6)、(8.3.8b) (8.3.8e)(8.3.6)、(8.3.8c) (8.3.15)ttGtStRtStGtGtQtGtGtStRtHttPttPtHtRtStGtAttPttPtAttPtttPTTTTT)()()()()()()()()()()()(),(),()()()()()(),(),()(),(),(111)()()()()()()()()

20、()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(lim1110tPtHtKtGtQtGtGtStRtStGtGtStRtHtPtPtHtRtStGtAtPtPtAtPttPttPTTTTTt)()()()()()()()()()()(1tKtRtKtGtQtGtAtPtPtAtPTssTT(8.3.9)(8.3.11)(8.3.8f)31线性连续系统卡尔曼滤波的一般形式：线性连续系统卡尔曼滤波的一般形式：)( )()()()()()( )()( txtHtztKtutBtxtAtxs(8.3.16a)()()()()()(1tRtStGtHtPtKTs(8.3.1

21、6b)()()()()()()()()()()(1tKtRtKtGtQtGtAtPtPtAtPTssTT(8.3.16c)328.4 滤波的稳定性及误差分析滤波的稳定性及误差分析8.4.1滤波器的稳定性滤波器的稳定性)()()()()()()()()(tvtxtHtztwtGtxtAtx系统模型：)()()( )()()()( tztKtxtHtKtAtx滤波方程：)()()( )()( tztKtxtAtx)()()()(tHtKtAtA)( )()( txtAtx研究滤波的稳定性，只需研究滤波方程对应齐方程的稳定性。连续线性系统的能控能观性：连续线性系统的能控能观性：控的。则系统的状态时完

22、全能能控性矩阵满足：若对于任意初始时刻0),()()()(),(),(,000ttTTCdtGQGtttWt则系统一致完全能控。为任意时刻），有：（，若存在IttWItttC1010011),(00。则系统的状态完全能观，能观性矩阵满足：若对任意初始时刻0),()()()(),(),(0100ttTTOdtHRHtttWt的。则系统是一致完全能观，有：，对，任意时刻，若存在IttWItttO2020022),(00滤波稳定性定理滤波稳定性定理 。时，且当，成立，使得对所有的，进稳定，即存在，且在大范围内一致渐最优滤波一致渐进稳定能观的，则其致完全能控和一致完全如果线性连续系统为一0),(),(0000)(2002101tttecttttccttc稳定性定理表明，当测量时间足够长，滤波系统的最优滤波值最终与初始状态如何选取无关。可以证明，滤波估计误差的方差也将最终与初始误差方差阵的选取无关，而趋于稳态值。滤波增益矩阵也具有这种渐进特性。 例 系统的状态方程和观测方程如下： )()()()(00)()()(10)()(0010)()(212121212121tvtvt