断裂力学讲义ch2-Griffith理论_new2_stup_210609018

1、第二章：第二章：GriffithGriffith理论理论热力学（回顾）热力学（回顾）Griffith理论理论能量释放率能量释放率GG的实验测量的实验测量柔度标定柔度标定Griffith理论在非理想脆性材料中的修正理论在非理想脆性材料中的修正一些讨论一些讨论热热 力力 学学热力学第一定律：热力学第一定律：系统又有往能量极小演化的趋势系统又有往能量极小演化的趋势似乎有矛盾，怎么回事？似乎有矛盾，怎么回事？热力学第零定律：热力学第零定律：若两个热力学系统均与第三个系统处于热平衡状态，此两个系统也必互相处于热平衡。对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。热平衡的标志为系统的各个部分温度相等温度相等m

2、echextradUQWWU是状态量，是状态量，Q、Wmech、Wextra是过程量（路径依赖）是过程量（路径依赖）热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况下的发展方向热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况下的发展方向q 热能区别于其他能量形式热能区别于其他能量形式q 很多能量都最终耗散转化为热能很多能量都最终耗散转化为热能q 事实上系统演化是一个熵增的过程事实上系统演化是一个熵增的过程热力学第二定律：热力学第二定律：不可能把热量从低温物体传递到高温物体不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响。而不产生其他影响。Clausius不可能从单一热源吸收能量，使之完全变不可能从

3、单一热源吸收能量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。为有用功而不产生其他影响。Kelvin-Planck0totalS引入引入S熵熵QTdS封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。能量最小原理：能量最小原理：,U S V达到平衡状态达到平衡状态 min Umin H min F min G能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。,H S PUPV,F T VUTS,G T PUPVTS内能内能焓焓Helmholtz自由能自由能Gibbs自

4、由能自由能Legendre变换变换Adrien-Marie LegendreLouis Legendre200 year portrait debacle在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。 f x g ppdf dxLegendre变换变换 *maxxL f xg ppxf xpxf x*where0dpxf

5、 xdxGriffith理论理论Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft

6、 Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in1920. In 1917, together with G.I. Taylor, he published a pioneering paper on the use of soap films in solving torsion problems, and in 1920 he published his famous paper on

7、the theory of brittle fracture. He then worked on the design theory of gas turbines. Griffith was Head of the Engine Department of the Royal Aircraft Establishment in 1938 and joined Rolls Royce as research engineer in 1939. He worked first on conceptual design of turbojet engines and later on verti

8、cal takeoff aircraft design. He retired in 1960 but continued working as a consultant for Rolls Royce. He died on 13 October 1963.Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Vol. 10, (Nov., 1964), pp. 117-136/stable/769315Griffith理论理论椭圆孔的应力分布（弹性力学解）椭圆孔的应力分布（弹性力学解）21Aab12

9、Aa2ba2forAaaCharles Inglis, 1913C.E. Inglis, Stress in a plate due to the presence of cracks and sharp corners, 1913.尖锐的裂纹尖锐的裂纹Griffith理论理论A.A. Griffith, Phenomena of rupture and flow in solids, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A221, 163-198 (1921).Energy balance conceptDif

10、ference in elastic energy between the cracked sheet and the uncracked sheetCracked sheet has the free surfacePlane strainTotal energyg g Surface energy224a BUaBEg 22Ea BUE 4SUaBgHomework（作业题）（作业题）0dUda2cEagEquilibrium condition220cd Uda?Crack growth will be unstable!随后深入讨论稳定性！随后深入讨论稳定性！作作 业业 题题1.阅读阅

11、读Griffith的论文。根据如下两个公式回答的论文。根据如下两个公式回答Inglis的解与的解与Griffith理论之间的关系，并说明哪个解更复合实际情况，为什么？理论之间的关系，并说明哪个解更复合实际情况，为什么？同时给出在什么情况下两者是基本一致的？同时给出在什么情况下两者是基本一致的？max12a2 EagInglis的解的解Griffith的解的解作作 业业 题题2.如下图所示，在楔形处插入高如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为的方形木块，楔形的杨氏模量为E，表面能为，表面能为g g，求解裂纹起裂时的临界条件，即，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g g

12、)，并判，并判断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的能量即可，计算能量时不需考虑力能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑的做功，仅需将悬臂段考虑成梁，计算其弯曲能即可）成梁，计算其弯曲能即可）封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。能量最小原理：能量最小原理：,U S V达到平衡状态达到平衡状态 min Umin H min F min G能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述能量最小原理

13、是热力学第二定律的另一种表述。,H S PUPV,F T VUTS,G T PUPVTS内能内能焓焓Helmholtz自由能自由能Gibbs自由能自由能220,0SSUUVV熵不变Legendre变换变换状态函数状态函数Legendre变换变换Adrien-Marie LegendreLouis Legendre200 year portrait debacle在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。 Legendr

14、e变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。 f x g ppdf dxLegendre变换变换 *maxxL f xg ppxf xpxf x*where0dpxf xdx断裂过程中的能量平衡及转化断裂过程中的能量平衡及转化QdUddUWTeWedUdQdUTTdUQ考察一个断裂过程中的能量平衡考察一个断裂过程中的能量平衡外界对系统做的功外界对系统做的功系统的弹性应变能增加系统的弹性应变能增加系统新增表面能系统新增表面能断裂过程中系统产生的热断裂过程中系统产生的热系统内部热能增加系统内部热能增加传出系统的热量传出系统的热量0 QdUT0ddUWee

15、GBdaWdUd热力学第二定律要求热力学第二定律要求由由( (* *) )式得式得B B: :试件厚度试件厚度( (* *) )断裂的驱动力断裂的驱动力断裂阻力断裂阻力2dB daggedUWGBda断裂是一个材料生成新表面的过程断裂是一个材料生成新表面的过程! !阻力：表面能阻力：表面能驱动力驱动力eGBdaWdUd单位面积表面能，或表面张力单位面积表面能，或表面张力G 裂纹前进单位面积的机械能量减少裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为称为能量释放率能量释放率。Irwin G.R. Onset of fast crack propagation in high strength steel

16、and aluminum alloys. Sagamore Research Conference Proceedings, Vol. 2, 1956, pp. 289-305.George Rankine Irwin下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功的交换，即和外界功的交换，即eGBdaWdUd上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及判断准则。判断准则。0W 一个典型例子：一个典型例子：Griffith脆断理论脆断理论问题：多长的裂纹会自动扩展？问题：多长

17、的裂纹会自动扩展？eGBdaWdUdgaB4g0W表面能表面能外界对系统做功外界对系统做功位移固定边界位移固定边界单位面积表面能单位面积表面能如何计算弹性应变能的改变如何计算弹性应变能的改变dUe？计算弹性应变能计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理（有限板情形），采用叠加原理为什么可以用叠加原理为什么可以用叠加原理? ?上下的叠加哪个正确上下的叠加哪个正确? ?为什么为什么? ?/EL(a)(b)(c)/EL(a)(b)(c)宏微观断裂力学宏微观断裂力学其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用

18、叠加原理若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理? ?/EL(a)(b)(c)( )( )( )abc ( )( )( )abc ( )( )( )abcuuu( )( )( )abcttt( )( )( )abcfff如何检查叠加是否正确？如何检查叠加是否正确？ 线性系统（线弹性、小变形、小转动）线性系统（线弹性、小变形、小转动） 检查以下等式是否都满足检查以下等式是否都满足假设假设(b)为应变能零状态为应变能零状态,要求解要求解(a)状态能量状态能量,先转换成求先转换成求(c)状态能量，及裂纹张开所需的应变能。状态能量，及裂纹张开所需的应变能。对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？对

19、于一般的问题能用叠加来计算能量吗？ 若不能若不能,为什么这里可以？为什么这里可以？ /EL(a)(b)(c)计算弹性应变能计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理（有限板情形），采用叠加原理对于无限大板（La），参见随后的作业题3/EL(a)(b)(c)计算弹性应变能计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理（有限板情形），采用叠加原理通过计算做功来计算能量差异通过计算做功来计算能量差异2u2u状态（a）和（b）之间的差异（让裂纹闭合所做的功）状态（b）和（c）之间的差异/EL(a)(b)(c)计算弹性应变能计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理（有限板情形），采用叠加原理上

20、面是位移边界作业题作业题4. 4. 如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹板的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无板的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无限大板的情况。限大板的情况。gaB42218eUa B edUddada22gEacraEcrg2平面应变平面应力， ,1/ 2EEE最一般形式最一般形式对于位移固定加载的系统对于位移固定加载的系统临界裂纹长度临界裂纹长度临界应力临界应力eGBdaWdUd裂纹扩展的临界状态对应于裂纹扩展的临界状态对应于0W考虑考虑Griffith裂纹（如右图）的情况裂纹

21、（如右图）的情况，平面应力，平面应变1343结合作业题，简单讨论尺度效应最一般形式最一般形式eGBdaWdUdedUddada对于位移固定加载的系统对于位移固定加载的系统裂纹扩展的临界状态对应于裂纹扩展的临界状态对应于0W对于位移固定加载的系统，对于位移固定加载的系统，可以用可以用总能量表面能弹性应变能总能量表面能弹性应变能作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。裂纹扩展需满足裂纹扩展需满足edUddada+0edUda+etotUU0edUdaedUddada位移固定边界位移固定边界下裂纹扩展的临界状态下裂纹扩展

22、的临界状态 裂纹扩展的驱动力裂纹扩展的阻力裂纹扩展的驱动力裂纹扩展的阻力随裂纹扩展释放的应变能生成新表面需要能量随裂纹扩展释放的应变能生成新表面需要能量A代表面积，代表面积，G量纲为量纲为J/m2(N/m)，代表，代表广义能量力广义能量力A是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半1eeUUGABa ,eUA固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化方向？如何确定固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化方向？如何确定G？能量释放率：能量释放率：注意到eGBdaWdU0W0W 位移固定位移固定,eUA载荷固定（力固定）载荷固定（力固定）eWdUGBda临界状态

23、临界状态WP+eeeeGB aPUPPUPPUPU 0P1ecPPPUUGABa,ceUA PPU1eeUUGABa 位移固定位移固定载荷固定（力固定）载荷固定（力固定）图示能量改变图示能量改变基于基于Legendre变换的理解变换的理解eUPG A,eeUAUa将将Ue转换为另外一个函数以转换为另外一个函数以P为自变量为自变量将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。,ceUA PUPeAUPeUGA 1eeUUGABa g2AGc能量释放率能量释放率材料对裂纹临界

24、扩展的抗力材料对裂纹临界扩展的抗力理想脆断理想脆断Gc随随a的变化称为材料的的变化称为材料的断裂阻力曲线断裂阻力曲线Griffith起裂准则起裂准则daddadUecGG=cG G不起裂不起裂临界状态临界状态对于平衡态静止裂纹对于平衡态静止裂纹裂纹扩展的稳定性条件裂纹扩展的稳定性条件cGGaacGGaacGGaa稳定裂纹稳定裂纹随遇裂纹随遇裂纹失稳扩展失稳扩展更准确的应该是？更准确的应该是？ 断裂阻力曲线断裂阻力曲线Gc=ConstGc=R(a)外加载荷外加载荷 1 1 2 2 3 3当裂纹足够小时，裂纹扩展总是不稳定。对长裂纹而言，裂纹扩展初期是稳定的，但随着载荷的增大，将变得不稳定。长长/

25、 /短裂纹的扩展稳定性？短裂纹的扩展稳定性？ 示示 例例Gc一般情形一般情形考虑更一般的情况，包含试验机和试件两个系统。下面的例子考虑更一般的情况，包含试验机和试件两个系统。下面的例子试件子试件子系统与外界会有功系统与外界会有功的交换，但是若将试验机和试件视为一个总系统，的交换，但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先仍研究没有功交换的情形。首先仍研究没有功交换的情形。 MTCaCP aCMC与裂纹有关的试件柔度与裂纹有关的试件柔度试验机柔度试验机柔度整个加载系统的总弹性能为整个加载系统的总弹性能为 MTTtotaleCaCPU22121dadCBPaUBAUGTTtotaletotale21

26、2能量释放率能量释放率能量释放率与加载方式无关！能量释放率与加载方式无关！G的实验测量的实验测量柔度标定柔度标定为什么为什么? ?222222dadCCCdaCdBPaGMT稳定裂纹随遇平衡失稳扩展aGPBdadCCCdaCdcM222222裂纹扩展的稳定性讨论裂纹扩展的稳定性讨论裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！0MCMCCM值越大，越容易实现裂纹失稳扩展值越大，越容易实现裂纹失稳扩展刚度无穷大，刚性加载，控制位移加载刚度无穷大，刚性加载，控制位移加载控制载荷加载控制载荷加载MMCPP MC0P 理解理解pcGgg 2pgFF塑 性 区GriffithGriff

27、ith理论在非理想脆性材料中的修正理论在非理想脆性材料中的修正Irwin（1948，1957）和）和Orowan（1948）每单位裂纹长度扩展时在断裂过程每单位裂纹长度扩展时在断裂过程区内消耗的塑性变形功区内消耗的塑性变形功塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小裂纹长度或其他特征长度尺寸）尺寸远小裂纹长度或其他特征长度尺寸）裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变形功裂纹尖端的塑性变形功塑性功的大小足以表征材料的断裂性能塑性功的大小足以表征材料的断裂性能材料常数？材料常数？ Egon Orowan一一 些些 讨讨

28、 论论 什么是表面能？什么是表面能？ 裂纹长度裂纹长度a是是否单调增的？否单调增的？ 如何理解能量释放率如何理解能量释放率G与加载方式无关（广义构型力与加载方式无关（广义构型力、能量平衡）？能量平衡）？ Legendre变换和状态函数的选择变换和状态函数的选择？ 是否存在一个特征尺度（尺寸效应）？是否存在一个特征尺度（尺寸效应）？什么是表面能什么是表面能(Surface energy)(Surface energy)？在Griffith理论里有一个表面能的概念。其解释是生成单位面积新表面所需要的能量。主要以下几个问题：1、表面能跟什么有关？ 可以肯定的是跟材料性质有关，如铝、铁应该有不同的表面

29、能。还有其他因素吗？跟材料的杨氏模量会不会有关系？2、怎么能得到一种材料的表面能？如果要通过实验得到材料的表面能，能否通过断裂力学的方法得到？ 除了这个还有其他方法吗？3、如果一个材料是各向异性的，比如杨氏模量有E1、E2。那么如果利用Griffith理论，是不是应该得到具有方向性的表面能？什么是表面能什么是表面能(Surface energy)(Surface energy)？Surface energy VS. Surface tensionSurface energy VS. Surface tensionSurface tension form force:The force, F,

30、involved in stretching a film is F = gLThis means g= F/L i.e. force/unit length; Units: N/m or mN/mSurface energy from work:The work, dW, involved in increasing the surface by a length dx is, dW = dG = g L dx = g dAThis means, g = dG/dA i.e. free energy/unit area; Units: J/m2 = N/mSurface tension an

31、d surface energy are interchangeable definitions with the same units.什么是表面能什么是表面能(Surface energy)(Surface energy)？Experimental measurement for SolidThe surface energy of a solid is usually measured at high temperatures. At such temperatures the solid creeps and even though the surface area changes,

32、the volume remains approximately constant. If g g is the surface energy density of a cylindrical rod of radius r and length l at high temperature and a constant uniaxial tension P, then at equilibrium, the variation of the total Gibbs free energy vanishes, so0GP lAP lAgg 222422ArrlAr rr ll r 22202Vr

33、 lVrl rrlrr ll 2Plr lrg variation of area variation of volume Surface energyOnly for isotropic solidsIn the case of single-crystal materials, anisotropy in the surface energy leads to faceting. The shape of the crystal (assuming equilibrium growth conditions) is related to the surface energy by Wulf

34、f construction.什么是表面能什么是表面能(Surface energy)(Surface energy)？CalculationsDuring the deformation of solids, surface energy can be treated as the “energy required to create one unit of surface area”, and is a function of the difference between the total energies of the system before and after the defor

35、mation, so0dEEAg12slabslabbulkbulkNEENgIn the ab initio calculations, formation energy of the crystalline solid can be calculated by,Eslab is the total energy of a symmetric slab (i.e. one with inversion symmetry, and where both sides of the slab have been relaxed), Ebulk is the total energy of a bu

36、lk unit cell, Nslab is the number of atoms in the slab, and Nbulk is the number of atoms in the bulk unit cell.断裂力学中的尺度效应断裂力学中的尺度效应载荷与裂纹几何参数组合载荷与裂纹几何参数组合 VS VS 纯粹的材料纯粹的材料参数组合参数组合载荷参数载荷参数 VS VS 纯粹的材料参数组合纯粹的材料参数组合相似性？相似性？存在一个材料内禀的特征尺度！存在一个材料内禀的特征尺度！断裂力学中的尺度效应断裂力学中的尺度效应Gao and Ji内禀特征长度内禀特征长度缺陷不敏感性缺陷不敏感

37、性/ /容容忍性忍性Flaw Insensitivity/ToleranceGriffithGriffith律律从从GriffthGriffth断裂到材料的理论强度的转变断裂到材料的理论强度的转变22122hGEg221fEhg0,fhmaxthcr22th41Ehg裂纹初始扩展裂纹初始扩展Buehler M. IWNM, 2004 当当hhhhcr cr ，材料呈现为缺陷不敏感性，材料呈现为缺陷不敏感性，在缺陷附件没有明显的应力集中。材在缺陷附件没有明显的应力集中。材料断裂时，裂尖应力均匀，达到理论料断裂时，裂尖应力均匀，达到理论强度。断裂强度不依赖结构尺寸。强度。断裂强度不依赖结构尺寸。缺

38、陷不敏感性缺陷不敏感性/ /容忍性容忍性Qin Z, and Buehler M. ACS Nano, 5:3034 (2011). Ackbarow T, Sen D, Christian Thaulow C, and Buehler M. Plos One, 4:e6015, (2009). 蛋白质折叠、蛋白质折叠、a a- -b b转变或滑移转变或滑移a a螺旋的蛋白质网络的断裂应变对于结构缺陷不敏感。螺旋的蛋白质网络的断裂应变对于结构缺陷不敏感。生物材料中缺陷不敏感性生物材料中缺陷不敏感性/ /容忍性容忍性机制：裂纹的扩展被内在的缺陷所抑制或阻止机制：裂纹的扩展被内在的缺陷所抑制或阻止

39、缺陷尺寸缺陷尺寸Bennison SJ, Padture NP, Runyan JL, and Lawn BR. Phil. Mag. Lett., 64:191, (1991). 利用压痕引入缺陷利用压痕引入缺陷陶瓷中缺陷不敏感性陶瓷中缺陷不敏感性Kumar S, Haque A, and Gao H. APL, 94:253104, (2009). 试样：试样：长100 m ，宽3.5-5 m ，厚80-125 nm ，平均晶粒尺寸50 nm缺陷：缺陷： U型，半径50 nm大多数试样从远离缺陷的地方发生断裂。大多数试样从远离缺陷的地方发生断裂。纳晶薄膜中缺陷不敏感性纳晶薄膜中缺陷不敏感性

40、小小 结结v 在一个断裂过程中，外界做的功一部分用于改变系统的应变能，在一个断裂过程中，外界做的功一部分用于改变系统的应变能，一部分用于生成新表面的一部分用于生成新表面的表面能表面能，剩下的就是最终变成热。，剩下的就是最终变成热。v 能量释放率能量释放率，裂纹扩展单位面积时势能的减少。，裂纹扩展单位面积时势能的减少。能量释放率与能量释放率与加载方式无关加载方式无关，但裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！，但裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！v G的实验测量的实验测量柔度标定。柔度标定。v Griffith理论在非理想脆性材料中的理论在非理想脆性材料中的修正。修正。v 内能、总势能、内能、总势能、Legendre变换，以及如何判断一般情形下的变换，以及如何判断一般情形下的演化过程演化过程。作作 业业 题题3.如下图，一无限大板（平面应变情况）含有一中心裂纹，长为如下图，一无限大板（平面应变情况）