中考解直角三角形知识点整理复习

1、中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、 直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：/C=90/ A+ZB=902、 在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、 勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为 c,那么 a2+ b2= c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 满足a2+b2=c2，那么这

2、个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1） 确定最大边（不妨设为 c）；（2） 若 c2= a2+ b2,则厶 ABC 是以ZC 为直角的三角形; 若 a2+ b2vc2,则此三角形为钝角三角形（其中 若 a2+ b2 c2,则此三角形为锐角三角形（其中4.勾股定理的作用:勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a, b, c 有下面关系：a2+ b2= c2,那么这个三角形是直角三角形。勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边c 为最大边）；c 为最大边）(1)(2)(3)(4)已知直角三角形的两边求第三边。

3、已知直角三角形的一边，求另两边的关系。用于证明线段平方关系的问题。利用勾股定理，作出长为n的线段考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在 ABC 中，ZC=90锐角 A 的对边与斜边的比叫做ZA 的正弦，记为sinA,即sin AA的对边斜边锐角 A 的邻边与斜边的比叫做ZA 的余弦，记为cosA，cos AA 的邻边斜边锐角 A 的对边与邻边的比叫做ZA 的正切，记为tanA，tan AA的对边A的邻边锐角 A 的邻边与对边的比叫做ZA 的余切，记为cotA，cotAA的邻边A 的对边b/人的管迪ZE的时边Ba 勾C2、 锐角三角函数的概念锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A 的锐角三

4、角函数3、 一些特殊角的三角函数值三角函数304560sina142灵222cosa迴422122tana迴31Vscota13-4、各锐角三角函数之间的关系（1） 互余关系:sinA=cos（90 A）, cosA=sin（90 A）；（2） 平方关系：sin2A cos2A 1（3）倒数关系:tan A?ta n（90 A）=1（4） 商（弦切）关系：tanA=sin Acos A5、锐角三角函数的增减性当角度在 090之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

5、（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在 RtAABC 中，/ C=90,ZA,ZB,ZC 所对的边分别为 a, b, c（1） 三边之间的关系：a2b2c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：/ A+ZB=90（3）边角之间的关系：正弦 sin，余弦 cos,正切 tan（4）面积公式:(hc为c边上的高）考点五、解直角三角形应用1、 将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、

6、代数和几何知识综合求解2、 仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。h（2）坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i -。坡度一般写成1: m的形式，如hi 1:5等。把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么i了tan。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法已知、解法三角类型、已知条件解法步骤RtAABCB1aAbC两边两直角边（如 a，b）由

7、tan A=辛，求/ A;ZB= 90 A, c=a2b2b斜边，一直角边（如 c，a）由 Sin A=-，求/ A;ZB= 90 A, b=Jc2-a2c边角一角边和一锐角锐角，邻边 （如/A, b）/ B= 90 A, a= b Sin A, c= cosA锐角，对边 （如/A, a）/ B= 90 A, b=, c=斜边，锐角（如 c,ZA）/ B= 90 A, a= c - Sin A,b= c cos A2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度数学模型所用 工具应测数据数量关系根据原理atana=,tan 3x1x2=a直角铅垂线2）测量底部可以到达的物体的高度数学模

8、型所用工具应测数据数量关系根据原理ai、镜子h皮尺镜子目高 ai水平距离 32水平距离 83h3I=,h=-a3a2a2反射定律a2a3h卜tai皮尺标杆标杆高 ai标杆影长 a2物体影长 a3ha3aia3,h 一aia：a：同一时刻物高与影 长成正比a3a?、a1Jh侧倾器咼 aih aitana-,a2矩形的性质和直角 三角形的边角关系aia?皮尺侧倾器水平距离 a2倾斜角ah 一 ai+a2tanahiah仰角a俯角B水平距离 aihih2tana , tan38I8Ihhi+h2ai(tana +tan3)矩形的性质和直角 三角形的边角关系忆hh2ai3）测量底部不可到达的物体的高度

9、（1）数学模型所用工具应测数据数量关系根据理论h-ir_a_ h3- x- -皮尺 侧倾 器仰角a俯角3高度 ahiatana ,tan3xxha+hia+aa(i+)矩形的性质和直 角三角形的边角 关系a乓*3 *k.%、%1俯角aatana , tan3x- - h ah俯角3高度测量底部不可到达的物体的高度（2）数字模型hia2所用 工具应测距离数量关系hhitana =tan3=a1xXa1tantan仰角a,-hi=tantan仰角3水平距离 aiaitan tan侧倾器咼 a2h=a2+hi=a2+tantantana =,tan3 =皮尺h=侧倾tana =,tan3 =、h=器

10、仰角a仰角3高度 a仰角atana=, tan3 =仰角3h=高度 a矩形的性质和直角三角形的边角关系根据原理第三部分真题分类汇编详解 2007-2012（2007） 19.（本小题满分 6 分）一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北。方向有一座小岛C,继续向东航行 60海里到达 B 处，测得小岛 C 此时在轮船的东偏北。方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近（参929考数据：。，。2）25510（2008） 19.（本小题满分 6 分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB 2米，BCD表示直角遮阳蓬，已

11、知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角为18.6，最大夹角为64.5.请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米（结果保留两个有效数字）(参考数据：sin18.60.32,tan 18.60.34,sin64.50.90,tan64.52.1)（2009） 19.（本小题满分 6 分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度他们首先从 A 处安置测倾器，测得塔顶 C 的仰角CFE 21，然后往塔的方向前进50 米到达 B 处，此时测得仰角CGE 37,已知测倾器高米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度.(参考数据：sin 37 3,tan 3

12、7 -,9sin 21 ,tan 213)54258（2010） 19.（本小题满分 6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB, AB= 80 米.为测量这座居民楼与大厦之间 的距离，小明从自己家的窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37大厦底部 B 的俯角为 48求小明家所在居民楼与大 厦的距离 CD 的长度.（结果保留整数）北第 19 题图（2012） 20. （8 分）如忆antmaAB的京耐（一建眦物当侏打地面的夹角是话 虬 教学楼在建 演物的墙上闻F商2米闌屯T总 面当光线与地闻史的览4亍 时*教“上槎购/龙地说上的誓 尸与闔甫有13米的距离乩匕附历年真题标准答案:（200

13、7） 19.（本小题满分 6 分）（结果精确到 0.1m .参考数据：sin40o, cos40o, sin35o, tan35o 解： 过 C 作 AB 的垂线， 交直线 设BD= x 海里，AB 于点 D,得到 RtAACD 与 RtABCD.B D（总考致躲tin2r： （1 亠亠CD在 RtABCD 中，tan/CB, / CD= x BDCD在 RtAACD 中，AD= AB+ BD= (60 + x)海里，tan / A=AD CD= ( 60 + x 厂.-答：轮船继续向东航行(2008) 19.(本小题满分2 x = (60+ x) 即2x - 60 x515 海里，距离小岛

14、C 最近. .6 分)解得，x= 15.6解：设 CD 为 x，在 RtABCD 中，BDC 18.6,BCCD, BC CD tan BDC 0.34x .在 RtAACD 中，ADC64.5,/ tan ADC AC ,.AC CD tan ADC 2.1xCD/tan BDC2 AB AC BC,答：CD 长约为米.2 2.1x0.34x.xQ1.14(2009) 19.(本小题满分6 分)解：由题意知CD丄AD,EF/AD CEF 90,设CEx,在RtACEF中，tan CFECE则EFCEx8x；3EFtan CFEtan 21在RtACEG中，tan CGECE则GECEx4x3

15、GE，tan CGEtan 37第 19 题图84-EF FG EG,8x 504x.33x 37.5, CDCE ED37.5 1.5 39(米).答：古塔的高度约是 39 米.(2010) 19.(本小题满分 6 分)解：设 CD= x.在 RtAACD 中，tan37ADCDAD3x.4在 RtABCD 中，tan48BDCD则1110- BDBDx11 x .10311 AD+ BD = AB,.3x80.410解得：x 43.6 分答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是 43 米.(2011) 19.(本小题满分 6 分)16即教学幡的高12m（2）由（l町棉、馆E.+13= 12 + 13 25.絡（R；51140*- XD = 5s