5.题型十三第23题圆的综合题

1、题型十三第23题圆的综合题(2010 2019.23)【题型解读】 圆的综合题近10年每年必考，分值均为 8分.涉及三角形：相似三角形 (5次)；锐 角三角函数(3次)；全等三角形(1次,2012年19题考查相似三角形，故23题考查全等三角形)；特殊四边形判定(2018.23).设问形式：证明角或线段相等；证明线段平行；切线的判定；计算线段长、 线段比例关系；求正切值等.【满分技法】 链接至P106-P108 “满分技法”.1 .如图，点D是 ABC中AB边上一点，以 AD为直径的。与BC相切于点C,连接CD.(1)求证：/ BCD = /A;(2)若。的半径为3, AC=2CD,求BC的长.

2、第1题图2 . (2019西安交大附中模拟)如图，AB是。的直径，点C在。0上，AD平分/ CAB, BD是。的切 线，AD与BC相交于点E,与。相交于点F,连接BF.(1)求证：BD = BE;(2)若 DE = 2, BD = V5,求 AE 的长.3 .如图，AB为。的直径，AD、BE为。的弦，延长AD、BE交于点C,且AB=AC,过点B作。O 的切线交AC的延长线于点F.(1)求证：BE=CE;(2)若 BF = 4, CF = 2,求 AD 的长.4 .如图，在 RtABC中，以AB为直径的。O交斜边BC于点巳过点E作。的切线交 AC边于点D.求证：(1)CD=AD;(2)CA2=C

3、E CB.第4题图5 .如图，AB是。的直径，点 C为。上一点，CN为。的切线，OMLAB于点O,分别交 AC、CN于D、M两点.(1)求证：MD = MC;(2)若。的半径为5, AC=4j5,求MC的长.I第5题图6 .如图， ABC为。的内接三角形， ABC的外角平分线 BD交。O于点D, DE与。相切，交CB的延长线于点E.(1)求证:AC/DE;(2)若/A = 30°, BE=1,求 DE 的长.H E第6题图7 .如图，O。是 ABC的外接圆，过点 A作。的切线交BC的延长线于点 D.(1)求证：/ CAD = Z B;93.(2)若AC是/ BAD的平分线，sinB=

4、- , BC = 2,求。O的半径.5第7题图8. (2019广东省卷节选)如图，在 ABC中，AB=AC,。是 ABC的外接圆，过点C作/ BCD = Z ACB 交。于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF = AC,连接AF.求证:ED = EC ;(2)求证:AF是。O的切线.9. (2019西安莲湖区模拟)如图，OA和OB是。的半径，OA=2, OA,OB, P是OA上任意一点，BP 的延长线交。于点C,过点C作。的切线交OA的延长线于点 D.(1)求证：DP = DC;(2)若OP=PC,求PC的长.第9题图10. (2019 黄冈)如图,RtMBC 中,/ACB=90

5、°,以AC为直径的。交AB于点D,过点D作。的切线交BC于点E,连接OE.(1)求证： DBE是等腰三角形;(2)求证： COEACAB.第10题图11 .如图，在 RtABC中，/C = 90°,点D、E分别在边 AC、BC上，DE / AB, DCE的外接圆。O 与AB相切于点F.(1)求证：CDCB=CACE;(2)若BE=5, O O的半径为4,求CD的长.第11题图12 . (2019西工大附中模拟)如图，以 ABC的边AC为直径的。恰为 ABC的外接圆，/ ABC的平 分线交。于点D,过点D作DE / AC交BC的延长线于点 E.求证：DE是。的切线；(2)若

6、AB = 445, BC=2，5,求 DE 的长.b E第12题图参考答案题型十三第23题圆的综合题1. (1)证明：如解图，连接 OC. BC与。相切于点C, OCXBC.BCD + Z OCD = 90°.AD为。O的直径，ACD=90° .A+Z ODC= 90°, .OC=OD, ./ OCD = Z ODC. ./ BCD = Z A;第1题解图(2)解：. / BCD = Z A, / B=/ B, . BCDA BAC.也=BC=CD=tanA=CD=1BC BA AC ta AC 2'设 BD = x,贝U BC=2x,.BC_ 2x 1&

7、#39;Ab=6 + x =2'解得x = 2,BC=4.2. (1)证明： BD是O O的切线， ./ ABD =90°,. D + Z BAD =90° .AB是。O的直径， ./ C=90°, ./ AEC+Z CAE = 90°,.AD是/ CAB的平分线， ./ CAD = Z DAB, ./ AEC=Z D. . / AEC=Z DEB , ./ DEB = Z D,BD= BE;(2)解：.AB是。O的直径， ./ AFB = 90°, BFXDE.由(1)得 BD= BE1 - DF = EF = DE= 1.在 RtA

8、BFD 和 RtAABD 中,cosD =DF=BD, BD AD-BD=>/5, g BD2 c-ad= dF=5,AE=AD-DE = 5-2 =3.3. (1)证明：如解图，连接 AE. AB= AC,. .ABC是等腰三角形.AB是。O的直径， ./ AEB = 90°,即 AEXBC, .E为BC边的中点，BE=CE;第3题解图(2)解：如解图，连接BD,设。的半径为r.BF为。O的切线， ./ ABF = 90° .在 RtABF 中，AB2+BF2=AF2,即(2r)2 + 42=(2r+2)2,3解得r = 2.AB= AC = 2r=3, AF=2r

9、+2=5.AB是。O的直径， ./ ADB = Z ABF =90° .又. / BAD = Z FAB, RtAABDRtAAFB. *AB即5弯9.ad.4. 证明：(1)如解图，连接 OE, / BAC= 90°, AB 为。O 的直径, .AC为。O的切线，DE为。O的切线，DE= DA, OELDE, ./ OED=90°,. / 1+Z 2= 90°, .OB=OE, ./ 2= / B,.1+Z B = 90°,/ B+Z C=90°,1=/ C,.CD=DE, .CD = AD;第4题解图(2)如解图，连接AE, .A

10、B为。O的直径， ./ AEB = 90°, ./ AEC=90°, . / ACE=Z BCA, RtACAERtACBA,CA_CE "CB=CA, .CA2=CE CB.5. (1)证明：如解图，连接 OC, . CN为。O的切线， OCXCM, Z OCA+Z ACM = 90°,又 OMXAB, ./ AOD=90°OAC+Z ODA =90°, ,.OA=OC, ./ OAC=Z OCA, ./ ACM = Z ODA, 又. / ODA = Z CDM , ./ ACM = Z CDM , .MD = MC;第5题解图(

11、2)解：由题意可知 AB=5X2=10, AC = 475,.AB是。O的直径， ./ ACB=90°, 在 RtACB 中，BC = 1AB2 AC2 = 102- ( 475) 2 =2乖, . Z AOD = Z ACB=90°, / A= / A,AODA ACB, OD_AO OD_ 5,CB = AC，即 2<5=4季5解得OD = 5,5设 MC=MD=x,则 OM = x+2在RtOCM中，由勾股定理得 OM2=MC2+OC2,即(x+|)2 =x2+52,一 15解得x*即 MC = 154 -6. (1)证明：如解图，连接 OD,.DE与。O相切,

12、 ODXDE, .OB=OD, ./ ODB = Z OBD ,BD是/ ABE的平分线， 即/ ABD = Z DBE, ./ ODB = Z DBE,OD / BE, BEX DE,即 DEICE,.AB是。O的直径， ./ C=90°, ACXCE,AC / DE ;第6题解图(2)解：.在 RtAABC 中，/ A = 30 °, ./ ABC=90°-Z A=60°, ./ ABE = 180°-Z ABC=120°,又 BD平分/ ABE, 1 ,一 ./ DBE = 2/ ABE = 60 , 在 RtADBE 中，DE

13、 = BE tan DBE = 1 X tan60 =事.7. (1)证明：如解图，连接 AO并延长，交。O于点E,连接EC. .AD是。O的切线， ./ EAC+Z CAD = 90°,又AE是。O的直径， ./ ACE=90°, ./ AEC+Z EAC = 90°, ./ AEC=Z CAD.又. / AEC = Z B, ./ CAD = Z B;第7题解图(2)解：: AC是/ BAD的平分线，BAC=Z CAD.由(1)知，Z B= / CAD, ./ B=Z BAC,BC= AC=2.又.在 RtACE 中，sinZ AEC = sinB = 3,5

14、AC 2 10AE=AE sin/AEC 33'5 .O O的半径为5. 38. 证明：(1)如解图， AB= AC,Z 1 = / 3.1=/ 2, / 2= / 3.3= / 4,2= / 4,ED= EC;£ /I第8题解图(2)如解图，连接OA、OB、OC, . OB=OC, AB = AC, AO是BC的垂直平分线， AO± BC. 由(1)已证/ 2=7 3, AB / DF .AB= AC=CF, 四边形ABCF是平行四边形，AF / BC,AO± AF, . OA为。O的半径, . AF是。O的切线.119. (1)证明：如解图，连接 OC

15、, .CD是OO的切线，OCD= 90°, ./ OCP+Z DCP=90°, .OAXOB, ./ BOA=90°,. B+Z OPB=90°, .OB=OC, ./ B=Z OCP, ./ OPB=/ DCP,又. / OPB = / DPC, ./ DPC = / DCP,DP= DC;第9题解图(2)解:.OP = PC, ./ POC=/ PCO,由(1)知/ B=Z OCP, ./ B=Z OCP=/ POC,/ B+Z BOP+Z POC + Z OCP=180°, / BOP=90°, ./ B=Z OCP=/ POC

16、=30°, ./ DCP = 60°, DP= DC, . DPC为等边三角形，DP= CD = PC=OP,在 RtOCD 中，OC=OB=OA=2,PC=CD = OC - tan30=赳33 .10.证明：(1)如解图，连接 OD,DE是。O的切线， ./ ODE = 90°,在 RtAOCE 和 RtA ODE 中，OC = ODOE = OE RtA OCERt ODE (HL),DE= CE, ./ ECD = Z CDE.AC是。O的直径， ./ CDA = 90 ° , ./ CDB=90°,.Z B+Z ECD=90°

17、;, Z CDE + Z BDE = 90°, . / ECD = Z CDE, ./ B=Z BDE,BE=DE, . DBE是等腰三角形；第10题解图(2) .BE=DE=CE, 点E是BC的中点， .OE是4ABC的中位线，OE / AB, ./ CAB=Z COE,又. / OCE = Z ACB, COEA CAB.11. (1)证明：DE/AB, ./ CED = Z B.又/ C=Z C, CDEA CAB,.CD CECA= CB'CD CB=CA CE;(2)解：如解图，连接 OF,过点E作£6，人8于点6, .AB为。的切线，切点为点 F,OF± AB,OFG = Z EGF = 90° DE / AB, ./ FOE=180°/ OFG = 90°,又 OE = OF,，四边形OEGF为正方形，EG= OF = 4, DE=2OE = 8, . / CED = Z B, / C=/ EGB,CDEA GEB,CD DE 目口 CD 8-GE =即，即丁=5，cdT5第11题解图12. (1)证明：如解图，连接 OD,.AC为。O的直径，ABC=90°, BD 平分/ ABC,一1 , 一 ./ ABD=2/ ABC=45 , ./ AOD = 2ZABD= 90°,