七年级数学上册代数式(培优篇)(Word版含解析)

1、一、初一数学代数式解答题压轴题精选(难)1.如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路.(1)为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法：方法：请你从小明的两种求而积的方法中，直接写出含有字母a, b代数式的等式是：(2)根据(1)中的等式，解决如下问题：已知：a-b =5,a2 + b2 = 20*求助的值；己知：( - 2018/+(% 2020)2 = 12，求(九一 2019尸的值.【答案】(1) (a-b) 2： a2-2ab+b2； (a-b) 2=a2-2ab+b2(2)解：把典一 b =5,az + bz = 20代入(g - b)2 =

2、 a2 - 2Gb +b2 52 = 2O-2a&* ab = - 2. 5 原式可化为：fx-2019 + l； 2 + (x-2019-1)2 = 12(x - 2019)2 + 2(x - 2019) + 1 + (x - 2019)2 _ 2019) + 1 = 121 2&-2019尸=10&-2019)2 = 5【解析】【解答】解：(1)方法：草坪的面积=(a-b) (a-b) = ra_b； 2 .方法：草坪的而积=a，- 2ab + b5 ；等式为:(a - b)2 = a2 2ab + b2故答案为：a_b； 2 » 一加匕f l?：(0_匕

3、尸二标一2附+旅【分析】(1)方法是根据已知条件先表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式即 可得出答案：方法是正方形的而积减去两条道路的而积，即可得出剩余草坪的面积：根 据(1)得出的结论可得出(a-b)2 = a2-2abb2 ： (2)分别把a-b的值和 / ,户的值代入(1)中等式，即可得到答案：根据题意，把(x-2018)和(x-2020) 变成(x-2019)的形式，然后计算完全平方公式，展开后即可得到答案.2.如图，在数轴上点A表示数a,点C表示数c,且多项式C-3xy29 - 20的常数项是a, 次数是C.我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B

4、之间的 距离记作AB.(1)求a, c的值；(2)若数轴上有一点D满足CD=2AD,则D点表示的数为;(3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度.同时点A, C在数 轴上运动，点A, C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t 秒.若点A向右运动，点C向左运动，AB = BC,求t的值；若点A向左运动，点C向右运动，2AB-mxBC的值不随时间t的变化而改变，直接写 出m的值.【答案】(1)解：J多项式x3-3xy29 - 20的常数项是a,次数是c. /. a=-20zc =30_10(2) -70 或 3(3) 解： 如 下 图 所 示：J3-203

5、0当t=o时，AB=21 , BC=29. 下面分两类情况来讨论： a.点A , C在相遇前时，AC一-.点A, B之间每秒缩小1个单位长度，点B, C每秒缩小4个单位长度.在t=0时，BC -AB=8,如果8 JAB=BC,那么 AB-BC=0,此时 t= 4 - 13 秒，b.点 A, C 在相遇时，AB二BC,£一 4点A, C之间50每秒缩小5个单位长度，在t=0时，AC=50,5 秒，c.点A, C在相遇后，BC大于AC,不符合条件.综上所述，或10.当时间为t时，点A表示得数为-20+23 2点 B 表示得数为 1+3 点 C 表示得数为 30+31, 2AB-mxBC=

6、2 (1+t ) -(-20+2t)-m(30+3t)- (l+t)» =(6-2m)t+(42-29m), 当6-2m=0时，上式的值不随时间t的变化而改变， 此时 m=3.【解析】【解答解：(2)分三种情况讨论，回当点D在点A的左侧，-203<»,/ CD=2AD,/. AD=AC=50,点C点表示的数为-20-50=-70, 回当点D在点A, C之间时，.2030,/ CD=2AD, 156：.AD=3AC= 3 , 56 16点C点表示的数为-20+下=-, 回当点D在点C的右侧时，-2030ADACD与条件CD=2AD相矛盾，不符合题意， 16综上所述，D点

7、表示的数为-70或-7；【分析】（1）根据多项式x3-3*尸-20的常数项是a,次数是c.就可得出a、c的值。（2）分三种情况：当点D在点A的左侧；当点D在点A, C之间时；当点D在点C的右 侧时，根据CD=2AD,及点A、C表示的数，就可求出点D表示的数。（3）根据题意画出图形，当t=0时，AB=21, BC=29 ,分情况讨论：a.点A, C在相 遇前时；b.点A, C在相遇时，AB=BC ,分别求出符合题意的t的值即可；当时间为t 时，点A表示得数为-20+2t,点B表示得数为1+3 点C表示得数为30+3t,建立方程求 出m的值即可。3.已知整式P = x2+x- 1. Q=x2-x+

8、l, R=-x?+x+l,若一个次数不高于二次的整式可以 表示为aP+bQ+cR （其中a, b, c为常数）则可以进行如下分类若a=0, b=c=0,则称该整式为P类整式；若a。，bHO, c=0,则称该整式为PQ类整式；若a#0, b#0, cWO.则称该整式为PQR类整式：（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若，则称该整式为“R类 整式"，若，则称该整式为"QR类整式”：（2）说明整式x?-5x+5为"PQ类整式：（3） x?+x+l是哪一类整式？说明理由.【答案】（1）解：若a = b = O, MO,则称该整式为“R类整式若a=0

9、, b*0, c*0,则称该整式为“QR类整式故答案是:a=b=O, c#0： a=0> bwO, c*0 (2)解：因为-2P+3Q= - 2 (x2+x - 1) +3 (x2- x+1)=-2x2 - 2x+2+3x2 - 3x+3=x2 - 5x+5.即 x2 - 5x+5= - 2P+3Q,所以 x2 - 5x+5 是“PQ 类整式(3 )解：x2+x+l= (x2+x - 1) + (x2 - x+1) + ( - x2+x+l),该整式为PQR类整式.【解析】【分析】(1)根据题干条件，可得若a=b=0, cxO,则称该整式为“R类整 式"：若a=0, b/0,

10、cho,则称该整式为"QR类整式”.(2)根据“PQ 类整式”定义，由 X2 - 5x+5= - 2 (x2+x - 1) +3 (X2-X+1) = -2P+3Q, 据此求出结论.(3)由 X?+X+1= (X2+X - 1 ) + (X2 - X+1 ) + ( - X2+X+1 ) = PQR,据此判断即可.4.从2开始，连续的偶数相加时，它们的和的情况如下表：加数的个数n和s12 = 1x2224-4=6 = 2x332+4 + 6 = 12 = 3x442+4 + 6 + 8 = 20 = 4x552+4 + 6 + 8 + 10 = 30 = 5x6 从2开始，当n个连续

11、偶数相加时，它们的和S和n之间有什么关系？用公式表示出来, 并计算以下两题：< 1) 2a+4a + 6a + 100a：(2) 126a -b 128a 4- 130a +. + 300a.【答案】(1)解：依题可得：S=n(n+1).2a + 4a+6a + + 100a,= ax(2 + 4+6+ 100),= ax50x51,= 2550a.(2)解:2a+4a+6a+ +126a+128a+130a+ +300a,= ax(2 + 4+6+ 300),= axl50xl51,= 22650a.又2a+4a + 6a + 124a.= ax(2 + 4+6+ 124), = ax

12、62x63,=3906a,/. 126a + 128a + 130a +. J- 300a,= 22650a-3906a, =18744a.【解析】【分析】(1)根据表中规律可得出当n个连续偶数相加时，它们的和S = n(n + 1);由此计算即可得出答案.(2)根据(1)中公式分别计算出2a+4a+.+300a和2a+4a+.+124a的值，再用前面代 数式的值减去后面代数式的值即可得出答案.，5.某公司派出甲车前往某地完成任务，此时，有一辆流动加油车与他同时出发，且在同一 条公路上匀速行驶(速度保持不变).为了确定汽车的位置，我们用OX表示这条公路， 原点O为零千米路标，并作如下约定：速度

13、为正，表示汽车向数轴的正方向行驶；速度为 负，表示汽车向数轴的负方向行驶：速度为零，表示汽车静止.行程为正，表示汽车位于 零千米的右侧：行程为负，表示汽车位于零千米的左侧；行程为零，表示汽车位于零千米 处.两车行程记录如表：时间(h)057 x甲车位置(km)190-10流动加油车位置(km)170270由上面表格中的数据，解决下列问题:(1)甲车开出7小时时的位置为 km,流动加油车出发位置为 km；(2)当两车同时开出x小时时，甲车位置为 km,流动加油车位置为 km(用x的代数式表示)：(3)甲车出发前由于未加油，汽车启动后司机才发现油箱内汽油仅够行驶3小时，问：甲 车连续行装3小时后，

14、能否立刻获得流动加油车的帮助？请说明理由.【答案】(1)-90； -80(2) 190 - 40x； - 80+50x(3)解：当x=3时，甲车开出的位置是：190-40x=70 (km),流动加油车的位置是：- 80+50x=70 (km),则甲车能立刻获得流动加油车的帮助【解析】【解答】解：(1)根据题意得：甲车开出7小时时的位置为:190 - 7x (2004-5) =-90 (km),流动加油车出发位置为:270 - (270 - 170) +2x7=- 80 (km):故答案为：-90, - 80；根据题意得：当两车同时开出X小时时，甲车位置为：190 - 40x,流动加油车位置为：

15、-80+50X；【分析】（1）根据题意可知甲车开出5小时时的位置为-10,得到甲车的速度是 （190+10） +5,求出甲车开出7小时时的位置：根据流动加油车出发5小时的位置是170 和出发7小时的位置是270,得到流动加油车的速度是（270-170） +2：求出流动加油车出 发的位置：（2）根据题意当两车同时开出x小时时，甲车位置是190- 40X,流动加油车 位置是- 80+50X： （3）根据题意当x=3时，甲车开出的位置是70km,流动加油车的位置 是70km,得到甲车能立刻获得流动加油车的帮助.6 .阅读：将代数式x?+2x+3转化为（x+m） 2+k的形式（其中m, k为常数），则

16、 x2+2x+3=x2+2x+l - 1+3= （x+1） 2+2,其中 m=l, k=2.（1）仿照此法将代数式x?+6x+15化为（x+m） 2+k的形式，并指出m, k的值.（2）若代数式X? - 6x+a可化为（x-b） 2-1的形式，求b-a的值.【答案】（1）解：: x2+6x+15=x2+6x+32+6= （x+3） 2+6,m=3. k=6；（2）解：x2 - 6x+a=x2 - 6x+9 - 9+a= （x - 3） 2+a - 9= （x-b） 2 -b=3, a - 9= - 1,即 a=8» b=3»b - a= - 5【解析】【分析】（1）根据完全

17、平方公式的结构，按照要求x2+6x+15=x?+6x+32+6= （x+3） 2+6,可知m=3. k=6,从而得出答案.（2）根据完全平方公式的结构，按照要求x2-6x+a=x2-6x+9-9+a= （x-3） 2+a-9= （x-b） 2-l, 即可知b=3, a-9=-l,然后将求得的a、b的值代入b-a,并求值即可.注意完全平方公式： （a±b） 2=a2±2ab+b27 .某垃圾处理厂，对不可回收垃圾的处理费用为90元/吨，可回收垃圾的分拣处理费用也 为90元/吨，分拣后再被相关企业回收，回收价格如下表：垃圾种类纸类塑料类金属类玻璃类回收单价（元/吨）500800

18、500200据了解，可回收垃圾占垃圾总量的60%,现有A, B, C三个小区12月份产生的垃圾总量 分别为100吨,100吨和m吨。（1）已知A小区金属类垃圾质量是塑料类的5倍，纸类垃圾质量是塑料类的2倍%设塑 料类的质量为x吨，则A小区可回收垃圾有 吨，其中玻璃类垃圾有 吨（用含x的代数式表示）（2） B小区纸类与金属类垃圾总量为35吨，当月可回收垃圾回收总金额扣除所有垃圾处 理费后，收益16500元，求12月份该小区可回收垃圾中塑料类垃圾的质量。（3） C小区发现塑料类与玻璃类垃圾的回收总额恰好相等，所有可回收垃圾的回收总金额 为12000元，设该小区塑料类垃圾质量为a吨，求a与m的数量关

19、系。【答案】（1）60；60-8x（2）解：由题意得：塑料类和玻璃类垃圾总质量为：100x60%-35=25（吨），设塑料类垃圾 为X,则玻璃类垃圾为：25-x,得：800x+（25-x）x200+35x500-100x90=16500,26解得x=.（3）解：设玻璃类垃圾质量为y,则800a=200x,x=4af.纸类和金属类垃圾质量之和为：m-5a,/. （ m-5a） x500+800a+200x4a=12000/整理得：5m-9a=120.【解析】【解答】（1）设塑料类的质量为X吨，纸类垃圾为2x吨，金属类垃圾为5x,则A小区可回收垃圾为：100x60%=60（吨），玻璃类垃圾为：60

20、- （x+2x+5x） =60-8x.故答案为：60,60-8x.【分析】（1）设塑料类的质量为X吨，纸类垃圾为2x吨，金属类垃 圾为5x,因为可回收垃圾占垃圾总量的60%,则A小区可回收坨圾有60吨，玻璃类垃圾 为：60- （x+2x+5x）,即 60-8x.（2）先求出塑料类和玻腐类垃圾总质量，设塑料类垃圾为x,则玻喃类垃圾为25-x,然后 根据12月份总收益为16500元列方程，求出x即可.（3）根据塑料类与玻璃类垃圾的回收总额恰好相等把玻璃类垃圾质量用含a的代数式表 示，则纸类和金属类垃圾质量之和也可用含a的代数式表示，再根据可回收垃圾的回收总 金额为12000元列式，最后化简即可得出

21、a与m的数量关系.8.观察下表:序号1234图形X X y X XXXX y yXXy yX X X XyyyXJCyyyyyyX X X XJ J J J J y y y yXXy y y yXXy y y yJXf y y y jj j我们把表格中字母的和所得的多项式称为“特征多项式，例如:第1格的特征多项式”为 4x+y,第2格的“特征多项式为8x+4y,回答下列问题：（1）第3格的"特征多项式”为 第4格的“待征多项式”为,第n格的“特征多项式”为.（2）若第m格的“特征多项式”与多项式-24x+2y-5的和不含有x项，求此“特征多项式”.【答案】（1）12x+9y： 16x

22、+16y； 4nx+n2y（2）解：由（1）可得，第m格的“特征多项式”是4mx+m2y,（4mx+m2y）+（-24x+2y-5）=4mx+m2y-24x+2y-5=（4m-24）x+（m2+2）y-5,V第m格的“特征多项式”与多项式-24x+2y-5的和不含有x项，/. 4m-24=0,解得 m=6.此"特征多项式”是24x+36y.【解析】【解答】解：由表格可得：第3格的“特征多项式“为，第4格的“特征 多项式"为16x+16y ,第n格的"特征多项式"为4nx+n2y ,故答案为：12x+9y , 16x+16y , 4nx+n2y：【分析】（

23、1）根据表格中的数据找出规律即可解答本题：（2）根据（1）中的结果可以写 出第m格的“特征多项式”，然后根据“和不含有x项"可以求得m的值，从而可以写出此 "特征多项式9.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案.（1）第1个图案中有6根小棒：第2个图案中有 根小棒：第3个图案中有根小棒；（2）第n个图案中有多少根小棒？（3）第25个图案中有多少根小棒？（4）是否存在某个符合上述规律的图案，由2032根小棒摆成？如果有，指出是滴几个图 案：如果没有，请说明理由.【答案】（1）11: 16（2）解：由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2x5+2-1=

24、11根小 棒，第3个图案中有3x5+3-2=16根小棒，因此第n个图案中有5n+n- （n-D =5n棒根（3）解：令n=25,得出夕故第25个图案中有126根小棒（4）解：令5n+1 = 2032 ,得出n=406.2,不是整数，故不存在符合上述规律的图案， 由2032根小棒摆成【解析】【解答】（1）第2个图案中有11根小棒；第3个图案中有16根小棒：【分析】（1）（2）由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2x5+2- 1=11根小棒，第3个图案中有3x5+3-2=16根小棒，.由此得出第n个图案中有5n+n- （n- 1）=5n+l根小棒：（3）把数据代入（2）中的规律

25、求得答案即可；（4）利用（2）中的规 律建立方程求得答案即可.10.阅读材料：我们知道，4x-2x+x= (4 - 2+1) x=3x ,类似地，我们把(a+b)看成一 个整体，则 4 (a+b) - 2 (a+b) + (a+b) = (4 - 2+1) (a+b) =3 (a+b)."整体思想" 是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.尝试应用：(1)把(a- b) 2看成一个整体，合并3 (a-b) 2-6 (a - b) 2+2 (a-b) 2的结果是(2)已知 K-2y=4,求 3x2-6y-21 的值；拓广探索：(3)已知 a

26、-2b=3, 2b-c= - 5, c - d=10,求(a-c) + (2b - d) - (2b - c)的值.【答案】(1)- (a-b) 2(2)解：x2-2y=4,/.原式=3 (x2 - 2y) - 21=12 - 21= - 9：(3)解：-J a - 2b=3, 2b-c=-5, c - d=10,a - c= - 2, 2b - d=5,原式=-2+5 - ( - 5) =8.【解析】【解答解：(1) ,3 (a-b) 2-6 (a-b) 2+2 (a-b) 2= (3-6+2) (a-b)2= - (a - b) 2；故答案为：-(a - b) 2：【分析】(2)利用整体思

27、想，把(a-b) 2看成一个整体，合并3 (a-b) 2-6 (a-b) 2 + 2 (a-b) 2即可得到结果：(2)原式可化为3 (x2-2y) -21,把x2-2y=4整体代入即可： (3)依据a-2b = 3, 2b-c=-5, c-d = 10,即可得到a-c=-2, 2b-d=5,整体代入进行计 算即可.11.陆老师去水果批发市场采购苹果，他看中了 A, B两家苹果，这两家苹果品质一样， 零售价都我6元/千克，批发价各不相同.A家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的92%优惠：批发数量不超过2000千 克，按零售价的90%优惠；超过2000千克的按零售价的88%优惠.B家的

28、规定如下表：数量范围(千克)0500部分500以上15001500以上2500部分2500以上部分价格补贴零售价的95%零售价的85%零售价的75%零售价的70%(1)如果他批发700千克苹果，则他在A、B两家批发分别需要多少元？(2)如果他批发x千克苹果(1500<x<2000),请你分别用含x的代数式表示他在A、B 两家批发所需的费用：(3) A、B两店在互相竞争中开始了互忍，B说A店的苹果总价有不合理的，有时候买的 少反而贵，忽悠消费者：A说B的总价计算太麻烦，把消费者都弄糊涂了；旁边陆老师听 完，提出两个问题希望同学们帮忙解决：能否举例说明A店买的多反而便宜？B店老板比较聪

29、明，在平时工作中发现有巧妙的方法：总价二购买数量x单价+价格补 贴：注:不同的单价，补贴价格也不同：只需提前算好即可填下表：数量范围(千克)0500部分500以上15001500以上25002500以上部分价格补贴0元300【答案】(1)解：A家：700x6x92%=3864元, B 家：500x6x95%+200x6x85%=3870 元(2)解：A 家：6xx90%=5.4x,B 家：500x6x95%+1000x6x85%+ (x-1500) x6x75%=4.5x+1200(3)解：当他要批发不超过500千克苹果时，很明显在A家批发更优惠；当他要批发超过500千克但不超过1000千克苹

30、果时，设批发x千克苹果，则A家费用=92%x6x=5.52x, B家费用=6x95%x500+6x85%x (x-500) =5.1x+300,5006A家费用-B家费用=0.42x-300,要使A店买的多反而便宜即是0.42x-300>0,解得：x> 7 5006.当x>-F时，A店买的多反而便宜：当购买数量为1500以上2500时，B家需要的总价=500x6x95%+1000x6x85%+ ( x- 1500) x6x75%=4.5x+1200又:总价=购买数量X单价+价格补贴.价格补贴=1200元,当购买数量为2500以上部分时，B家需要的总价二500x6x95%+1000x6x85%+ (2500-1500) x6x75%+ (x-2500) x6x70%=4.2x+1950.价格补贴=1950元.【解析】【分析】(1)A家批发需要费用：质量x单价x92%： B家批发需要费用：500x单 价x95%+ (700-500) x单价x85%：把相关数值代入求解即可；(2)根据%家批发需要费 用：质量X单价x92%： B家批发需要费用:500X单价x95%+1000x单价X85%+ (x-1500) x单 价x75%”：(3)当他要批发超过500千克