数学分析极值与条件极值PPT课件

1、第一节第一节 极值与最小二乘法极值与最小二乘法xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxyyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz第1页/共29页说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.

2、0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 第2页/共29页定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx000000(,) ,(,) ,(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy时, 具有极值则: 1) 当2) 当3) 当时, 没有极

3、值.时, 不能确定 , 需另行讨论.20ACB 时取极小值;0A 时取极大值;0A20ACB20ACB第3页/共29页二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 稳定点，偏导数不存在的点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据第4页/共29页第二节第二节 条件极值与拉格朗日乘数条件极值与拉格朗日乘数法法三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问

4、题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz第5页/共29页,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有第6页/共29页引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyf

5、F0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF第7页/共29页例例1. 求求 满足约束条件满足约束条件的最大值。的最大值。8Vxyz2221, ,0 xyzx y z解：作拉格朗日函数：解：作拉格朗日函数：222( , , )8()L x y zxyzxyz令令820 xLyzx820yLxzy820zLxyz2221xyz13xyz即，稳定点：即，稳定点：111(,)333第8页/共29页由实际问题知所求最大值必存在，而稳定点又唯一，因此唯一的稳定点就是最大值点。故球内接长方体中以正方体的体积最大。第9页

6、/共29页例例2. 求在求在 约束条约束条件件( , , )f x y zxyz1111, ,0 x y zxyzr下的极小值；下的极小值；并证明不等式：并证明不等式：131113()3, ,0 xyzx y zxyz第10页/共29页解：作拉格朗日函数：解：作拉格朗日函数：111( , , )()L x y zxyzxyz令令20,xLyzx20,yLxzy20,zLxyz1111,xyzr3xyzr即，稳定点：即，稳定点：(3 ,3 ,3 )rrr第11页/共29页下面判别稳定点是极值点下面判别稳定点是极值点记记1111( , , )F x y zxyzr则则2310zzrF (3r,3r

7、,3r)z 故方程故方程11111111( , , )0 ()F x y zxyzrxyzr在稳定点在稳定点 附近可唯一确定可微数附近可唯一确定可微数(3 ,3 ,3 )rrr( , )zz x y第12页/共29页令令( , )( , , ( , )g x yf x y z x y现在用二元函数取极值的充分条件判别现在用二元函数取极值的充分条件判别是是 的极值点。的极值点。(3 ,3 )rr( , )g x y由约束条件得：由约束条件得：2222,zzzzxxyy 从而从而2gzyzyzxyyzxxx2gzxzxzxyxzyyy第13页/共29页22322322,gzyzyzzyzyxxxx

8、xx2222322gzzyzzzzzzyzx yyxxyyxxy 23232gxzyy故故 在在 点有点有( , )g x y(3 ,3 )rr111221222270aaDraa1160ar. 因此因此 在在 取极小值取极小值 , ( , )g x y(3 ,3 )rr这等价于这等价于 在在 取极小值取极小值 ( , , )f x y z(3 ,3 ,3 )rrr3(3 ,3 ,3 )(3 )frrrr第14页/共29页分析约束集 1111, , , ,0Dx y zx y zxyzr是一无界集。当 在 内远离原点时，函数将 趋于正无( , , )x y zD穷。因此，函数 的唯一极小值点是

9、函数的 最小值点，即 ff3(3 ) , ( , , ),xyzrx y zD1111()rxyz代入得， 131113()3, ,0 xyzx y zxyz第15页/共29页推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F第16页/共29页内容小节1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件

10、判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法第17页/共29页设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F第18页/共29页习题例例1.1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻

11、点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233第19页/共29页在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CB

12、A31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC第20页/共29页例例2.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz第21页/共29页例例3 3.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则

13、高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233第22页/共29页例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincos

14、sin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面第23页/共29页cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x第24页/共29页例例5.要设计一个容量为0V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz第25页/共29页补充题已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为 (x , y), 210310