圆锥曲线中的最值求解策略

1、圆锥曲线中的最值求解策略圆锥曲线中的最值问题既是高考考查的重点又是难点，在解法上常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.在形式上又可分为如下几种情况：一、求圆锥曲线上一点到定点距离（或过定点弦长）的最值问题.例1：（08上海）已知双曲线，是上的任意点.设点的坐标为，求的最小值.设的坐标为，则 .， 当时，的最小值为， 即的最小值为. 评析：求圆锥曲线上一点到定点距离的最值通常采用转化为某一字母的二次函数求解.例2：（06全国）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求

2、的最大值解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因为|y|1,a1, 若a, 则|1, 当y=时, |PQ|取最大值;若1a2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x02.（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解析：（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦

3、”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P（x0,0）在直线l上，所以-ym而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.()由()知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理得 （）则是方程（）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为03,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即

4、=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-1)0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，所以0l23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2 x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.评析：本题的关键是先求出相关弦AB的长的表达式，借助函数关系，求出函数最值，注意把握好自变量的取值范围.备选已知抛物线C （1）若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；（2）若M(m,0)是轴上的一定点，Q是（1）所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值

5、？若有，求出其值；若没有，说明理由解析：由抛物线,得焦点F(1,0),准线： = -1 (1)设P，则B，椭圆中心O,则|FO|BF|=e,又设点B到的距离为,则|BF|=e,|FO|BF|=|BF|,即，化简得P点轨迹方程为y2=1(1) (2)设Q(x,y),则|MQ|= ()当m1,即m时，函数t=(m)2+m在(1，+)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值 ()当m1,即m时，函数t=2(m)2+m在=m处有最小值m,|MQ|min=二、求有关线段长或面积的最值.例5：（07陕西）已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l

6、与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.解析：方法一（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值方法二：以上同解法一，=而.当且仅当，即时等号成立.， 即，当时，综上所述评析：本题的两种解法在求解最值时均采用了重要不等式求最值.例6：已知双曲线C：，O为坐标原点，点A为右顶点，若双曲线C的右支上的点Q到点B距离的最小值为.（1）求的取值范围；（2）在线段AB上是否存在一点D，它在直线上的射影为点P，使得？若存在，

7、试指出双曲线C的右焦点F分向量所成的比；若不存在，请说明理由；（3）当为定值时，过点B作一直线与双曲线C的右支交于不同的两点，且与直线，分别交于M、N两点，求OMN周长的最小值.解析：（1）设Q，则， =，当时，在时，取得最小值，所以对称轴得 ，结合已知得.（2）点D在直线上的射影为点P，=0，又，OAPOPD，得而，故存在点D，又所以右焦点F分向量所成的比为.（3）设直线的方程为：，且方程与方程联立得，与方程联立得，OMN周长为而OMN周长为令则，所以所以当时，即时，OMN周长有最小值，最小值为.评析：本题在求解最值时，先采用换元法来降低运算，在运用函数的单调性求最值.若采用导数则运算就复杂

8、多了.要注意解析几何运算的合理性.例7：（08全国）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点求四边形面积的最大值解析：方法一：设，其中，DFByxAOE且满足方程，故根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为 方法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为，当时，上式取等号所以的最大值为评析：解析几何中的最值问题是高考中常考常新的题型，本题解法二求四边形面积最值利用点坐标整体运算求解.例8（05全国）、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最大

9、值解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+21=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则从而亦即(1)当0时，MN的斜率为，同上可推得 故四边形面积令=得=2当=1时=2，S=且S是以为自变量的增函数，当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=.S=|PQ|MN|=2综合知四边形PMQN的最大值为2，最小值为.评析：本题在求解最值时，先采用换元将运算降低，然后借助函数单调性求解.备选（07全国）已知椭圆的左、右焦

10、点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为求四边形的面积的最小值证明：（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为例10：（06全国）已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值.解：()由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21

11、)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1) 所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为0()由()知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且当1时，S取得最小值4总结：通过以上几例可以看出求三角形面积或四边形面积的最值通常是建立某个参数的函数关系，或借助重要不等式求解或进行换元之后借助函数单调性求解.在解题时应切实掌握好弦长公式以点到直线间距离公式.备选设F是抛物线G:x2=4y的焦点.（）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：（）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、