第二章随机过程基本概念2.42.52.6

1、随机过程的基本概念随机过程的基本概念第二章第二章2022-1-182第二章随机过程的基本概念第二章随机过程的基本概念 2022-1-183),.,.,(11NNXttxxF设随机过程设随机过程X(t) 的的N维分布函数为维分布函数为),.,.,(11MMYttyyFY(t) 的的M维分布函数为维分布函数为 )(,.)(,)(,.)(),.,.,.,.,(11111111MMNNMMNNXYytYytYxtXxtXPttyyttxxF定义定义X(t) 和和Y(t) 的的N+M维联合概率分布函数为维联合概率分布函数为 2022-1-184MNMMNNXYMNMMNNXYyyxxttyyttxxFt

2、tyyttxxf1111111111.),.,.,.,.,(),.,.,.,.,(定义定义X(t) 和和Y(t) 的的N+M维联合概率密度为维联合概率密度为 ),.,.,(),.,.,(),.,.,.,.,(11111111MMYNNXMMNNXYttyyfttxxfttyyttxxf如果如果 则称则称X(t) 和和Y(t) 是相互独立的是相互独立的2022-1-185),.,.,.,.,(),.,.,.,.,(11111111ctctyyctctxxfttyyttxxfMMNNXYMMNNXY如果如果X(t) 和和Y(t) 的联合统计特性不随时间起的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称

3、点的平移而变化，则称X(t) 和和Y(t) 是严格联是严格联合平稳的，也称平稳相依。它们的任意合平稳的，也称平稳相依。它们的任意N+M维联合概率密度与时间起点无关维联合概率密度与时间起点无关2022-1-186dxdytytxxyftYtXEttRXYXY ),()()(),(212121互相关函数互相关函数)()()()(),(221121tmtYtmtXEttKYXXY互协方差函数互协方差函数)()(),(),(212121tmtmttRttKYXXYXY0),(21ttRXYX(t)和和Y(t)相互正交相互正交0),(21ttKXYX(t)和和Y(t)不相关不相关2022-1-18721

4、21 ),(),()()(ttRttRmtmmtmXYXYYYXX如果如果则称则称X(t)和和Y(t)是广义联合平稳的。是广义联合平稳的。2022-1-188)()()()(YXXYYXXYKKRR（1）联合平稳随机过程互相关函数性质联合平稳随机过程互相关函数性质2222|)(|)0()0()(2)0()0(|)(|YXXYYXXYYXXYKRRRRRR（2）2022-1-189)()()()()(YXXYYXZRRRRR（3）若）若X(t)和和Y(t)是联合平稳的，则是联合平稳的，则 Z(t)=X(t)+Y(t) 也是平稳的，且也是平稳的，且联合平稳随机过程互相关函数性质联合平稳随机过程互相

5、关函数性质YXYXZmmRRR2)()()(如果如果X(t)和和Y(t)不相关，则不相关，则)()()(YXZRRR如果如果X(t)和和Y(t)相互正交，则相互正交，则2022-1-1810第二章随机过程的基本概念第二章随机过程的基本概念 2022-1-1811dtetsStj)()(dtts )(信号信号s(t)的的频谱密度频谱密度（简称（简称频谱频谱）：）：)(S频谱存在的条件频谱存在的条件deStstj)(21)(信号信号s(t)用频谱表示：用频谱表示：2022-1-18122( )st dt 信号信号s(t)的的能量谱密度能量谱密度（简称（简称能谱密度能谱密度）：）：2| )(|S表示

6、单位频带内信号的能量表示单位频带内信号的能量能谱密度存在的条件能谱密度存在的条件dSdttsE22)(21)(Parseval 定理定理能量型信号能量型信号能量有限的信号能量有限的信号2022-1-1813功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号21lim( )2TTTPs tdtT 对随机过程而言，一般不满足频谱和能量谱存在对随机过程而言，一般不满足频谱和能量谱存在的条件，所以其频谱和能谱都不存在。的条件，所以其频谱和能谱都不存在。对随机过程引入功率谱的概念对随机过程引入功率谱的概念2022-1-1814功率谱的定义：功率谱的定义：TtTttxtxT0

7、)()(随机过程的样本函数及其截尾函数随机过程的样本函数及其截尾函数 2022-1-1815的傅里叶变换的傅里叶变换)(txTTTtjitjTiTidtetxdtetxX)()()(1( )( )2j tTiTixtXed2211lim( )lim( )22TTiiTiTTTTPx t dtxt dtTT211lim( )22TiTXdT211lim( )22TiTXdT 的平均功率的平均功率)(txi2022-1-18162)(21lim)(TiTiXTG令令dGPii)(21则则的功率谱密度的功率谱密度)(txi的平均功率的平均功率)(txi211lim( )22iTiTPXdT2022-

8、1-18172)(21lim)(TTXXTEGTTtjTdtetXX)()(定义随机过程的功率谱密度为：定义随机过程的功率谱密度为：功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。能谱密度：信号的能量按频率分布的情况能谱密度：信号的能量按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况2022-1-1818功率谱密度与相关函

9、数关系功率谱密度与相关函数关系deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(维纳维纳-辛钦定理辛钦定理条件条件: : 功率谱密度、自相关函数有意义功率谱密度、自相关函数有意义适用于任意随机过程（定义本身不要求必须是平稳过程）适用于任意随机过程（定义本身不要求必须是平稳过程）2022-1-1819性质：性质：对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；21( )lim( ) 02XTTGEXT( )( )jXXGRed ( )cos( )sinXXRdjRd 02( )cosXRd 2022-1-1820性质：性质：相关性与功率谱的关系为：相

10、关性越弱，功率谱越宽相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。平；相关性越强，功率谱越陡窄。1(0)( )2XXRGdP总的平均功率总的平均功率2022-1-18212022-1-1822000)(2)(XXGF物理功率谱（物理谱）定义：物理功率谱（物理谱）定义：00cos)(21)(cos)(4)(dFRdRFXXXX2022-1-1823例例2.182.18：已知谱密度为：已知谱密度为 求相关函求相关函数。数。9104)(242XG解：解：948/56148/929104)(22242XG由因式分解由因式分解222e由公式：由公式：)59(481)(3ee

11、RX2022-1-1824对于平稳随机序列对于平稳随机序列X(n)，如果其自相关函数满足，如果其自相关函数满足其功率谱密度其功率谱密度()=()()jjmXXXmGGeRm e mXmR|)(|1()()2jmXXRmGed功率有限功率有限21(0)( )()2XXRE XnGd 周期为周期为22022-1-1825Z变换形式：变换形式：mmXXzmRzG)()(jez )()(mRmRXX自相关函数是偶函数自相关函数是偶函数)()(1zGzGXX自相关函数自相关函数z变换的收敛域是一个包含单位变换的收敛域是一个包含单位圆的环形区域，即圆的环形区域，即aza110 a所以所以2022-1-18

12、26CmXXdzzzGjmR1)(21)(自相关函数用功率谱的自相关函数用功率谱的z反变换表示反变换表示其中其中C是收敛域内包含是收敛域内包含z 平面原点逆时针的闭合围线平面原点逆时针的闭合围线2022-1-1827平稳随机序列功率谱性质平稳随机序列功率谱性质（1）实的偶函数）实的偶函数*( )( )XXGG ()( )XXGG 自相关函数是偶函数，所以自相关函数是偶函数，所以)()(1zGzGXX（2）非负）非负( )0XG 2022-1-1828两个随机过程两个随机过程X(t)，Y(t)的互功率谱的互功率谱)()(21lim)(TTTXYYXTEGTTtjTdtetXX)()(TTtjTd

13、tetYY)()(其中：其中：若若X(t)及及Y(t)联合平稳，联合平稳， 绝对可积，有绝对可积，有)()(XYXYGR)(XYR互功率谱从频域上描述了两个随机过程的互相关特性。互功率谱从频域上描述了两个随机过程的互相关特性。2022-1-1829性质：性质：)()()(*YXYXXYGGG（1）互功率谱并非是非负的实偶函数互功率谱并非是非负的实偶函数)(ReXYG)(ReYXG)(ImXYG)(ImYXG与与是是 的奇函数；的奇函数；是是 的偶函数；的偶函数；与与（2）（3）)()()(2YXXYGGG2022-1-18302)(21lim)(TTXXTEG对平稳和非平对平稳和非平稳都适用稳

14、都适用其它定义其它定义: :1 12 2()121212(,)( , )jttXXGRt t edt dt 1)广义功率谱广义功率谱缺乏明确的物理意义缺乏明确的物理意义2022-1-18312) 时变功率谱时变功率谱( , )(, )jXXGtRtt ed 如果采用对称相关函数，即如果采用对称相关函数，即( , )(/2)(/2)XRtE X tX t 则上式定义的功率谱称为韦格纳则上式定义的功率谱称为韦格纳-威利威利(Wigner-Ville)谱，这种功率谱是实偶函数（因为相关函数谱，这种功率谱是实偶函数（因为相关函数是是 的偶函数）。的偶函数）。2022-1-18323) 对时变谱求时间平

15、均对时变谱求时间平均1( )lim( , )2TXXTTGGtdtT 等价于等价于1( )lim( , )2TXXTTRRt dtT ( )( )jXXGRed 2022-1-1833例例2.21： 噪声调制的振荡信号噪声调制的振荡信号 其中其中N(t)是平稳噪声，求是平稳噪声，求X(t)的功率谱的功率谱0( )( )cosX tN tt0000(, )()( )()cos()( )cos1( )cos(2)cos2XNRttE X tX tE N ttN ttRt 011( )lim(, )( )cos22TXXNTTRRtt dtRT 001( )( )()()4jXXNNGRedGG 2

16、022-1-1834第二章随机过程的基本概念第二章随机过程的基本概念 2022-1-1835n加性噪声独立于有用信号加性噪声独立于有用信号n噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声n噪声分类：确知噪声、随机噪声噪声分类：确知噪声、随机噪声n随机噪声分类随机噪声分类n单频噪声（外台，窄带）：并不总是存在单频噪声（外台，窄带）：并不总是存在n脉冲噪声（点火、闪电，幅度大、时间短，频带脉冲噪声（点火、闪电，幅度大、时间短，频带宽）：安静期长，对模拟话音影响不大，但对数字宽）：安静期长，对模拟话音影响不大，但对数字通信易造成误码，可使用纠错编码通信易造成误码，可使用

17、纠错编码 n起伏噪声（热、散弹、宇宙）：普遍存在不可避免，起伏噪声（热、散弹、宇宙）：普遍存在不可避免，可认为是一种高斯噪声，并且在相当宽的频率范围可认为是一种高斯噪声，并且在相当宽的频率范围内具有平坦的功率谱密度内具有平坦的功率谱密度 2022-1-1836平稳白噪声：随机过程平稳白噪声：随机过程X(t)均值为均值为0，自相关函数为，自相关函数为2)(0NGX)(2),(21021ttNttRX平稳白噪声功率谱密度：平稳白噪声功率谱密度：白噪声的功率谱密度和自相关函数白噪声的功率谱密度和自相关函数 2022-1-1837白噪声相关系数：白噪声相关系数：0001)0()()(XXXRRr010

18、0200300400500-3-2-10123x(n)2022-1-1838n带限白噪声带限白噪声00, |()20,NffPf 其他其他 000( )2Rf N Saf 002kRf时时，只有以频率只有以频率 2f0 对带限白噪声进对带限白噪声进行抽样时，各样值才互不相关行抽样时，各样值才互不相关2022-1-1839如果一个随机过程如果一个随机过程X(t)的任意的任意n 维分布都服从正态分布，维分布都服从正态分布，则称该随机过程为正态随机过程。则称该随机过程为正态随机过程。一维分布一维分布)(2)(exp)(21),(12211111ttmxttxfXN维分布11/2/211( )exp(

19、)()2(2 )xx m Kx mKTXNf 2022-1-1840平稳正态过程平稳正态过程 设设X(t)是正态随机过程，若有是正态随机过程，若有 则则X(t)称为称为广义平稳正态过程广义平稳正态过程。XXmtm)(2121),(),(ttRttRXX2022-1-1841性质：性质：1. 对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；2. 对于正态随机过程而言，不相关与独立等价；对于正态随机过程而言，不相关与独立等价；3. 一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。)()()(tStNtX21222( )1( , )exp22XxS tfx t（）4. 若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳正态白噪声。满足过程为平稳正态白噪声。满足 iixninnXtxftttxxxf,),(1212