Option Pricing

1、Option Pricing: A Simplified Approach的读书报告约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）的论文期权定价：一种简化方法提出了二项式模型（Binomial Model）。（以下内容为结合Option Pricing: A Simplified Approach及查找资料后整理出的内容）一、期权定价的方法 （1）BlackScholes公式 （2）二项式定价方法 （3）风险中性定价方法 （4）鞅定价方法等 二、期权定价模型与

2、无套利定价 期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时，此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。从Black-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价本质上就是无套利定价。 三、B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 (一)B-S模型有5个重要的假设 1、金融资产收益率服从对数正态分布； 2、在期权有效期内，无风险利率和

3、金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 (二)B-S定价公式 C=SN(D1)-LE-TN(D2) 其中: D1=1NSL+(+22)TT D2=D1-T C期权初始合理价格 L期权交割价格 S所交易金融资产现价 T期权有效期 r连续复利计无风险利率H 2年度化方差 N()正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0

4、必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。 第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100365=0.274。 B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 (一)B-S模型有7个重要的假设 1、股票价格行为服从对数正态分布模式； 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证

5、券完全可分割； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会； 7、证券交易是持续的； 8、投资者能够以无风险利率借贷。 (二)B-S定价公式C = S * N(d1) Le rTN(d2) 其中: C期权初始合理价格 L期权交割价格 S所交易金融资产现价 T期权有效期 r连续复利计无风险利率H 2年度化方差 N()正态分布变量的累积概率分布函数 ，在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须

6、转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。 第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则。 B-S定价模型的推导与运用(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是: EG = Emax(St L,O) 其中，EG看涨期权到期期望值 St到期所交易金融资产的市场价值 L期权交割(实施)价 到期有两种

7、可能情况: 1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(St L,O) = St L 2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有: max(St L,O) = 0 从而: 其中:P：(St > L)的概率ESt | St > L：既定(St > L)下St的期望值将EG按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格: C = Pe rT(ESt | St > L L)这样期权定价转化为确定P和ESt | St > L。 首先，对收益进行定义。与利率一

8、致，收益为金融资产期权交割日市场价格(St)与现价(S)比值的对数值，即收益 = lnSt / S = ln(St / L)。由假设1收益服从对数正态分布，即ln(St / L)，所以ElN(St / S = t，St / S可以证明，相对价格期望值大于et，为:ESt / S = et + 2T2 = erT从而，t = T(r 2)，且有t = T 其次，求(St > L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06 > x = 1 N(x )其中: ：正态分布随机变量 x：关键值 -的期望值 -的标准差 所以:P = Pr06St > 1 = P

9、r06lnSt / s > lnLS = :LN lnLS (r 2)TTnc4 由对称性:1 N(d) = N( d)P = NlnSL + (r 2)TTarS。 第三，求既定St > L下St的期望值。因为ESt | St > L处于正态分布的L到范围，所以， ESt | St > = SerTN(d1)N(d2) 其中: 最后，将P、ESt | St > L代入(C = Pe rT(ESt | St > L L)式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) Le rTN(d2) (二)看跌期权定价公式的推导 B-S模型是看涨期权的定价公式，

10、根据售出购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为: S + Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) T 移项得: Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) T S， 将B-S模型代入整理得: 此即为看跌期权初始价格定价模型。 (三)B-S模型应用实例 假设市场上某股票现价S为164，无风险连续复利利率是0.0521，市场方差2为0.0841，那么实施价格L是165

11、，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下: 求d1: =0.0328 求d2: 查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120N(-0.06)=0.4761 求C: C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803 因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。 四、二项期权定价模型（binomal option price model，SCRR Model，BOPM） 二项期权定价模型概

12、述 二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。 二叉树思想 1：Black-Scholes方程模型优缺点： 优点：对欧式期权，有精确的定价公式； 缺点：对美式期权，无精确的定价公式，不可能求出解的表达式，而且数学推导和求解过程在金融界较难接受和掌握。 2

13、：思想： 假定到期且只有两种可能，而且涨跌幅均为10%的假设都很粗略。修改为：在T分为狠多小的时间间隔t，而在每一个t，股票价格变化由S到Su或Sd。如果价格上扬概率为p，那么下跌的概率为1-p. 3：u,p,d的确定： 由Black-Scholes方程告诉我们：可以假定市场为风险中性。即股票预期收益率等于无风险利率r，故有： Sert = pSu + (1 p)Sd（23） 即：erDelta t=pu+(1-p)d=E(S)（24) 又因股票价格变化符合布朗运动，从而 （25） =>D(S) = 2S2t； 利用D(S) = E(S2) (E(S)2 E(S2) = p(Su)2 +

14、 (1 p)(Sd)2 =>2S2t = p(Su)2 + (1 p)(Sd)2 pSu + (1 p)Sd2 =>2t = p(u)2 + (1 p)(d)2 pu + (1 p)d2（26） 又因为股价的上扬和下跌应满足：ud=1（27） 由（24），（26），（27）可解得： 其中：a = ert。 4：结论： 在相等的充分小的t时段内，无论开始时股票价格如何。由（28）（31）所确定的u,d和p都是常数。（即只与t,r有关，而与S无关）。 五、风险中性定价理论(Risk-Neutral Valuation) 风险中性定价理论概述 风险中性理论（又称风险中性定价方法 Risk

15、 Neutral Pricing Theory ）表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。 关于这个原理，有着一些不同的解释，从而更清淅了衍生证券定价的分析过程。首先，在风险中性的经济环境中，投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；其次，正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴现率也恰好等于无风险利率，所以基础

16、证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅（Martingle）。或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法（Martingale Pricing Technique）。六、鞅定价方法(Martingale Pricing Technique/martingale pricing theory/theory of martingale pricing) 鞅定价方法概述 股票价格的随机过程可以表示为： WP 表示在概率测度P下的布朗运动。上述公式可以转化为风险中性概率测度Q下的随机过程： 其中：。 比较上述两个公式可以发现，原来的已经被无

17、风险利率r 取代，波动率 并未受到影响。 在风险中性概率测度Q下，股票价格的动态过程变为： 因此，相应的其动态过程可表示为： 在定价股票期权时，须计算EQST | ST > K ，它表示在到期日T，股价S_T大于执行价格K 的期望。 利用Girsanov 定理，经过一系列推导，可以得到： EQST | ST > K = SErTN(d1) 其中，标准正态分布的累积概率。 计算出EQST | ST > K 后，然后再依据买、卖权以及其它相应的条件比较容易的得到股票期权的价格。 鞅的解析 鞅这个术语早在20 世纪30 年代首先由Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国概

18、率学家列维(Levy，1934)。但是真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)，他于1953 年的名著随机过程一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而且在决策和控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展。 鞅在20 世纪70 年代末期被引入金融经济学用来描述资产的价格运动过程，最早出现在Pliska&Kreps。由于较多地借助测度论，鞅显得更加抽象，但是令人惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析(例如期权定价)变得更加简洁和优雅；并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大

19、的运算能力，而这对于实际工作又是至关重要的。 “鞅”一词来源于法文martingale 的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。但这都没有说明它在金融学中的确切含义。鞅究竟是什么呢?简单的说，鞅是“公平”赌博(fair game)的数学模型。那么什么又是公平的赌博呢?假设一个人在参加赌博，他已经赌了n 次，正准备参加第n +1 次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用Xn表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有 E(Xn | Xn 1) = Xn 1 成立，即赌博的期望

20、收获为0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统计上是公平的。 在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把X 设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而EXn就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在20 世纪80 年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。七、对B-S模型的检验批评与发展B-S模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并

21、从完善与发展B-S模型的角度出发，对之进行了扩展。 1977年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)奇拉斯(chiras)曼纳斯特(manuster)麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法： 1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。 2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。 3.对临近到期日的期

22、权的估价存在较大误差。 4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。 对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面： 首先，对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿(merton)约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括