高三数学 44数系的扩充与复数的引入复习

1、.1第四第四节节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入.2基础梳理基础梳理1.复数的概念及分类(1)概念:形如a+bi(a,bR)的数叫复数,其中a,b分别为它的 和 .(2)分类 实数:若a+bi为实数,则 ， 虚数:若a+bi为虚数,则 ， 纯虚数:若a+bi为纯虚数,则 ，(3)相等复数:a+bi=c+di a=c,b=d(a,b,c,dR).实部虚部b=0b0a=0且b0.32. 复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ;(3

2、)乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;(4)乘方:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n;(5)除法: _. （c+di0).12()()()()zabiabi cdizcdicdi cdi(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(bc+ad)i22(ac+bd)+(bc-ad)icd.43. 复平面的概念建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. 叫做实轴, 叫做虚轴.实轴上的点都表示 ;除原点外,虚轴上的点都表示 .复数集C和复平面内 组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以 为起点的向量组成的集合也是一一对应的.4

3、. 共轭复数把 相等, 的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、bR)的共轭复数记作 ,即 = (a,bR).zzx轴y轴实数纯虚数有序实数对(a,b)原点实部虚部互为相反数a-bi.55. 复数的模向量 的模叫做复数z=a+bi(a,bR)的模(或绝对值),记作 或 ,即|z|=|a+bi|= .6. 复平面内两点间距离公式两个复数的 就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,d为点Z1和Z2的距离,则d= .OZ 22ab|z|a+bi|差的模|Z2Z1|.6基础达标基础达标 (选修2-2P110练习2改编)i是虚数单位,则

4、. 43ii2655i44 312426:3339 155iiiiiiii 解析.72. 复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应点在虚轴(除原点)上，则a= .0解析：根据条件，得a2-2a=0且a2-a-20，解得a=0.3. (2011广东东莞五校联考)复数 的共轭复数为 .512i1-2i解析： = =1-2i，512i5 1214i .84. (2010重庆)已知复数z=1+i,则 = .解析： -1-i=1-i-1-i=-2i. 21i-2i21zi5. (选修2-2P105习题2改编)已知z是纯虚数, 是实数,那么z= .2zz-2i解析：由题意设z=ai(aR且a0)，是

5、实数，则a+2=0，a=-2，z=-2i.221221112zaiiaaiiii .9题型一复数的概念经典例题经典例题【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?分析：复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.10解：z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;(5)由 解得0m3,当m(0,3)时,z对应的点在

6、第三象限.m(m-3)0(m+2)(m-3)0.(2)由(1)得,条件a=b0和a=-b0都可以作为z为纯虚数的充分不必要条件.2200abaa0aba .12题型二 复数代数形式的运算【例2】计算:6123()132iiii分析：熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和(1i)2=2i, 等运算结果,能使运算更加便捷.11iii.13解：原式=266(1)( 23 )2( 32 )( 23 )231ii ii ii iiii .14变式2-1(2010全国改编)复数 .34i解析：23()1ii2223(3)(1)()12(1 2 )34 .iiiiii .15【例3】已知1+i是方

7、程x2+bx+c=0（b,cR）的一个根.(1)求b,c的值;(2)试说明1-i也是方程的根.题型三复数相等的条件分析：把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.解:(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,(1+i)2+b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0,解得,b,c的值为b=2,c=2.b+c=02+b=0b=2c=2.16(2)由方程x22x+2=0,把1 i代入方程左边, 得x22x+2=(1i)22(1i)+2=0, 即方程成立, 1 i也是方程的根.17变式3-1已知aR，复数、满足关于x的方程x2+2x+a=0,求|+|.解：aR,方程x2+2x+a=0为实系数一元二次方程，可以用来判定方程有无实根.(1)当=44a0,即a1时，方程的根、为实数；由求根公式计算得,|+|0,|+|当0a1时，|+|=2;当a0时，|+|= .=2a2(| |+| |)222+2( + )22422aa 44a.18链接高考链接高考(2010北京)在复平面