2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第4章　§4.4　简单的三角恒等变换（含解析）

第第页§4.4简单的三角恒等变换课标要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2．半角公式(不要求记忆)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).符号由eq\f(α,2)所在象限决定．常用结论1．二倍角公式的变形公式(1)1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2).(升幂公式)(2)1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2.(升幂公式)(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α).(降幂公式)2．半角正切公式的有理化taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×)(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z)．(√)(3)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(√)(4)sin2eq\f(π,12)－cos2eq\f(π,12)＝eq\f(\r(3),2).(×)2．cos15°等于()A.eq\r(\f(1＋cos30°,2)) B.eq\r(\f(1－cos30°,2))C．±eq\r(\f(1＋cos30°,2)) D．±eq\r(\f(1－cos30°,2))答案A解析因为15°是第一象限角，所以cos15°>0，由半角的余弦公式可知cos15°＝eq\r(\f(1＋cos30°,2)).3．若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)答案D解析由题意知，tanα＝－2，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,3).4．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＝－eq\f(\r(7),4)，则cos2θ的值为．答案eq\f(1,8)解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＝－eq\f(\r(7),4)，所以sinθ＝eq\f(\r(7),4)，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝eq\f(1,8).题型一三角函数式的化简例1(1)eq\r(1－sin40°)＋eq\r(\f(1－cos40°,2))的化简结果为()A．－sin20°B．－cos20°C．cos20°D．sin20°答案C解析原式＝eq\r(sin20°－cos20°2)＋eq\r(\f(1－1－2sin220°,2))＝|sin20°－cos20°|＋eq\r(sin220°)＝cos20°－sin20°＋sin20°＝cos20°.(2)化简：cos20°cos40°cos80°＝.答案eq\f(1,8)解析cos20°cos40°cos80°＝eq\f(sin20°cos20°cos40°cos80°,sin20°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°cos40°cos80°,sin20°)＝eq\f(\f(1,4)sin80°cos80°,sin20°)＝eq\f(\f(1,8)sin160°,sin20°)＝eq\f(1,8).积化和差、和差化积公式在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算．典例化简下列各式．(1)sin54°－sin18°＝；(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝.答案(1)eq\f(1,2)(2)－eq\f(1,2)解析(1)由和差化积公式可得，sin54°－sin18°＝2cos36°·sin18°＝2×eq\f(2sin18°cos18°cos36°,2cos18°)＝eq\f(2sin36°cos36°,2cos18°)＝eq\f(sin72°,2cos18°)＝eq\f(cos18°,2cos18°)＝eq\f(1,2).(2)由和差化积和积化和差公式可得，cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝2cos120°cos26°＋2×eq\f(1,2)(cos120°＋cos26°)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))cos26°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋cos26°＝－eq\f(1,2).思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1(1)已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，eq\f(16,3)cos2eq\f(θ,2)＝1＋cos2θ，则tanθ等于()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),2)C．－eq\f(3\r(5),5)D．－eq\f(2\r(5),5)答案B解析因为eq\f(16,3)cos2eq\f(θ,2)＝1＋cos2θ，将cos2eq\f(θ,2)＝eq\f(1＋cosθ,2)，cos2θ＝2cos2θ－1代入化简，可得3cos2θ－4cosθ－4＝0，解得cosθ＝2(舍去)或cosθ＝－eq\f(2,3)，又因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinθ＝eq\f(\r(5),3)，则tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(\r(5),2).(2)已知0<θ<π，则eq\f(1＋sinθ＋cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))＝.答案－cosθ解析原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(4cos2\f(θ,2)))＝coseq\f(θ,2)·eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(θ,2)－cos2\f(θ,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2))))＝eq\f(－cos\f(θ,2)·cosθ,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))).因为0<θ<π，所以0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，所以coseq\f(θ,2)>0.所以原式＝－cosθ.题型二三角函数式的求值命题点1给角求值例2黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，这个值被称为黄金比例．若t＝eq\f(\r(5)－1,2)，则eq\f(1－2sin227°,2t\r(4－t2))等于()A.eq\f(\r(5)＋1,4)B.eq\f(\r(5)－1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案D解析依题意，得t＝eq\f(sin36°,sin72°)＝eq\f(sin144°,sin72°)＝2cos72°，则eq\f(1－2sin227°,2t\r(4－t2))＝eq\f(cos54°,4cos72°\r(4－2cos72°2))＝eq\f(cos54°,4cos72°\r(4sin272°))＝eq\f(cos54°,4cos72°·2sin72°)＝eq\f(sin36°,4sin144°)＝eq\f(1,4).命题点2给值求值例3已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))等于()A．－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)答案D解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,2)))＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－2×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).命题点3给值求角例4已知α，β均为锐角，cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，则cos2α＝，2α－β＝.答案eq\f(1,7)eq\f(π,3)解析因为cosα＝eq\f(2\r(7),7)，所以cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,7).又因为α，β均为锐角，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，所以sinα＝eq\f(\r(21),7)，cosβ＝eq\f(13,14)，因此sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4\r(3),7)，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2).因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<eq\f(π,2)，又β为锐角，所以－eq\f(π,2)<2α－β<eq\f(π,2)，又sin(2α－β)＝eq\f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq\f(π,3).思维升华(1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可．(2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解．(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．跟踪训练2(1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))＝－eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,10)))＝.答案eq\f(7,25)解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))＝－eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2－1＝eq\f(7,25)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,10)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5)))＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5)))＝eq\f(7,25).(2)已知α为锐角，1＋eq\f(\r(3),tan80°)＝eq\f(1,sinα)，则α＝.答案50°解析因为1＋eq\f(\r(3),tan80°)＝eq\f(sin80°＋\r(3)cos80°,sin80°)＝eq\f(2sin80°＋60°,sin80°)＝eq\f(2sin140°,2sin40°cos40°)＝eq\f(sin40°,sin40°cos40°)＝eq\f(1,cos40°)＝eq\f(1,sin50°)＝eq\f(1,sinα)，所以sinα＝sin50°，又因为α为锐角，所以α＝50°.题型三三角恒等变换的综合应用例5若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且(1－cos2α)(1＋sinβ)＝sin2αcosβ，则下列结论正确的是()A．2α＋β＝eq\f(5π,2) B．2α－β＝eq\f(3π,4)C．α＋β＝eq\f(7π,4) D．α－β＝eq\f(π,2)答案A解析∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα≠0，∵(1－cos2α)(1＋sinβ)＝sin2αcosβ，∴2sin2α(1＋sinβ)＝2sinαcosαcosβ，即sinα(1＋sinβ)＝cosαcosβ.∴sinα＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，∴cos(α＋β)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴π<α＋β<2π，且－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)－α<0，∴α＋β＝eq\f(π,2)－α＋2π，解得2α＋β＝eq\f(5π,2).思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y＝asinx＋bcosx化为y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练3已知eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,3)，若a＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)，b＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2θ，c＝eq\f(1,cosθ)－cosθ，则a，b，c的大小关系是()A．c>a>bB．b>c>aC．c>b>aD．b>a>c答案C解析a＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝sinθcosθ，b＝eq\f(1,2)(1－cos2θ)＝sin2θ，c＝eq\f(1,cosθ)－cosθ＝eq\f(sin2θ,cosθ)＝sinθtanθ，又eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,3)，则sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))，且tanθ>1>sinθ>eq\f(\r(2),2)>cosθ>eq\f(1,2)，所以c＝sinθtanθ>b＝sin2θ>a＝sinθcosθ.课时精练一、单项选择题1．已知α为锐角，cosα＝eq\f(1＋\r(5),4)，则sineq\f(α,2)等于()A.eq\f(3－\r(5),8)B.eq\f(－1＋\r(5),8)C.eq\f(3－\r(5),4)D.eq\f(－1＋\r(5),4)答案D解析因为α为锐角，所以sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\r(\f(3－\r(5),8))＝eq\r(\f(\r(5)－12,16))＝eq\f(\r(5)－1,4).2．1＋tan22.5°等于()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(1＋\r(5),2)D.eq\f(1＋\r(2),2)答案A解析由tan45°＝eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝1，得2tan22.5°＝1－tan222.5°，所以(tan22.5°＋1)2＝2，又tan22.5°>0，所以1＋tan22.5°＝eq\r(2).3．已知eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝2，则tanθ等于()A.eq\f(4,3)B．－eq\f(2,3)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(2,3)答案C解析由eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),2cos2\f(θ,2))＝eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝taneq\f(θ,2)＝2，得tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(4,1－4)＝－eq\f(4,3).4．已知2cos(2α＋β)－3cosβ＝0，则tanαtan(α＋β)等于()A．5B.eq\f(1,5)C．－5D．－eq\f(1,5)答案D解析2cos(2α＋β)＝3cosβ，则2cos(α＋β＋α)＝3cos(α＋β－α)，则2cos(α＋β)cosα－2sin(α＋β)sinα＝3cos(α＋β)cosα＋3sin(α＋β)sinα，即－5sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β)cosα，所以－5tan(α＋β)tanα＝1，所以tanαtan(α＋β)＝－eq\f(1,5).5．已知tanα＝eq\r(2)，则eq\f(sin3α,sinα)－sin2α等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案B解析因为tanα＝eq\r(2)，所以eq\f(sin3α,sinα)－sin2α＝eq\f(sinα＋2α,sinα)－sin2α＝eq\f(sinαcos2α＋cosαsin2α,sinα)－sin2α＝cos2α＋2cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α＋2cos2α－sin2α＝3cos2α－2sin2α＝eq\f(3cos2α－2sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(3－2tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(3－2×\r(2)2,1＋\r(2)2)＝－eq\f(1,3).6．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)<α<eq\f(7π,4)，则sin2α＋sin2α等于()A.eq\f(16,25)B.eq\f(4,5)C.eq\f(37,50)D.eq\f(7,10)答案D解析由eq\f(17π,12)<α<eq\f(7π,4)，知eq\f(5π,3)<α＋eq\f(π,4)<2π，因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(4,5)，所以sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)－\f(4,5)))＝－eq\f(7\r(2),10)，而sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2))＝－eq\f(7,25)，所以sin2α＋sin2α＝－eq\f(7,25)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7\r(2),10)))2＝eq\f(7,10).二、多项选择题7．下列计算结果正确的是()A．cos(－15°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)B．sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,8)C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－eq\f(1,2)D．2sin18°cos36°＝eq\f(1,2)答案BD解析对于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以A错误；对于B，sin15°sin30°sin75°＝sin15°sin30°cos15°＝eq\f(1,2)sin15°cos15°＝eq\f(1,4)sin30°＝eq\f(1,8)，所以B正确；对于C,cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2)，所以C错误；对于D,2sin18°cos36°＝2cos72°cos36°＝2×eq\f(sin144°,2sin72°)×eq\f(sin72°,2sin36°)＝eq\f(sin36°,2sin36°)＝eq\f(1,2)，所以D正确．8．已知f(x)＝sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\f(1,4)，则f(x)的值不可能是()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－2D．2答案CD解析因为f(x)＝sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\f(1,4)＝sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)sinxcosx－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)×eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),4)sin2x－eq\f(1,4)＝eq\f(\r(3),4)sin2x－eq\f(1,4)cos2x＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，所以－eq\f(1,2)≤f(x)≤eq\f(1,2)，f(x)的值不可能是－2和2.三、填空题9．已知0<β<α<eq\f(π,3)，若α－β＝eq\f(π,6)，cos(2α＋2β)＝－eq\f(1,2)，则cosα＝.答案eq\f(\r(2),2)解析∵cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝－eq\f(1,2)，0<β<α<eq\f(π,3)，∴0<α＋β<eq\f(2π,3)，∴sin(α＋β)＝eq\f(\r(3),2)，∴α＋β＝eq\f(π,3)，又α－β＝eq\f(π,6)，∴α＝eq\f(π,4)，∴cosα＝eq\f(\r(2),2).10．若cos2α＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，α∈(0，π)，则sin2α＝，tanα＝.答案11解析由cos2α＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，得cos2α－sin2α＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)－sinαsin\f(π,4)))，即(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－sinα))，当sinα＝cosα时，α＝eq\f(π,4)，sinα＋cosα＝eq\r(2)；当sinα≠cosα时，sinα＋cosα＝eq\r(2).对sinα＋cosα＝eq\r(2)两边平方，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝2，化简得2sinαcosα＝1，即sin2α＝1，由2sinαcosα＝1，得eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝1，即eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝1，整理得tan2α－2tanα＋1＝0，解得tanα＝1.12．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝.答案eq\f(4－3\r(3),10)解析由题意得cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1－sin2θ,2)＝eq\f(1,10)，即sin2θ＝eq\f(4,5).因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)>0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以0<θ<eq\f(π,4)，0<2θ<eq\f(π,2)，所以cos2θ＝eq\f(3,5)，由两角差的正弦公式，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝sin2θcoseq\f(π,3)－cos2θsineq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4－3\r(3),10).四、解答题13．化简并求值．(1)2cos50°－eq\f(1,2tan50°)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,cos280°)－\f(3,cos210°)))·eq\f(1,cos20°).解(1)原式＝2cos50°－eq\f(cos50°,2sin50°)＝eq\f(4cos50°sin50°－cos50°,2sin50°)＝eq\f(2sin100°－cos50°,2sin50°)＝eq\f(2sin60°＋40°－sin40°,2cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°,2cos40°)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝eq\f(cos10°－\r(3)cos80°cos10°＋\r(3)cos80°,cos280°cos210°cos20°)＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°cos10°＋\r(3)sin10°,cos280°cos210°cos20°)＝eq\f(4sin20°sin40°,sin210°cos210°cos20°)＝eq\f(32sin220°cos20°,sin220°cos20°)＝32.14．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cosx，2\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))，记f(x)＝a·b，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)))