数值分析试题答案

1、一、填空题(20分)(1) ,h(x),是以°丄,"为插值节点的Lagrange插值基函数，则X %(%)=“ (2)设 f(x) = x3+x-,则 差 商 /0,1,2,3 = ,/0,1,2,3,4 =.(3) 设/(x)可微，则求方程x = fx)的牛顿迭代格式是.(4) 已知/(0) = 1, f(3) = , f(4) = ,则过这三点的二次插值基函数/i(x)=,/°3,4 =,插值多项式 P2(x)= ,用三点式求得广(羽=.(5)数值求論初值為题的二阶龙格一库塔公式的局部截断误差为 二、计算题(每小题15分,共60分).已知一元方程x3-3x-1

2、.2 = 0.(1) 求方程的一个含正根的区间；(2) 给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；(3) 给出在有根区间的Newton迭代法公式.2.用n“0的复化梯形公式计算心时，(1) 试用余项估计其误差；(2) 用n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值.3用列主元消去法解线性方程组2Xj + 3x2 + 4x3 = 6, 3x, + 5x2 + 2x3 = 5, 4X + 3x2 + 30jc3 = 32.4.确定求积公式中待定参数儿的值° = 0,1,2),使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积 公式的代数精度.三、证明题(10分)/(-v) Ca,b,Mlt

3、 =max|/'(h"(x)X. 1cos，攵=1,厶，222n作节点，证明Lagrange插值余项有估计式四、程序题(10分)讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛, 比较哪种方法收敛快其中'30 -2A =0 2 1-2 1 2 _数值分析模拟题二参考答案填空题(每小题4分，共20分)(1) I (2)1，0；柿广1777203(4) 心一4), ,1 + x + 吃一3).；312151260(5) 迭代矩阵，x 严=*(8 + 垮)x严=丄(4 +屮)5二、计算题(每小题15分，共60分):L(1) /(0) =

4、 -1.2<0,/(2) = 1.8>0, /(力连续，故在(0,2)内有一个正根. 2 1(2) x = yJ3x+.2 ,(px) = (3x + 1.2)3 , max I(px) l<< 1 , 所 以r(0.2)二1.23兀田=#3俎+1.2收敛.广(劝=3宀3,甘兀_迂芸殳3兀-32.(1)误差 1/?(/)15 丄X10-2(2)«0.746.2346、433032、<43 3032、3525T3525T3525433032,、2346丿<2346,<433032、"433032>011/4-41/2-19T01

5、1/4-41/219<o3/2-11io丿02/114/11,"433032、T0 11 -82 -38,0 0 1 2 丿解:4x, +3x2 +30x3 = 32,| = 13,1 lx2 - 82x3 = -3& => 禺=& 分别将/（x） = l，x,F,代入求积公式，可得14A）=A =- A =-/1令= 时求积公式成立，而fW = 4时公式不成立，从而精度为3.三、证明题（10分）（1）R（Q =nlnM nn（x_A.）<Ln（v_Ai）a+b b_u+12 2（忑）2- |cos n0 <max a<xih|g）| <忆（b®n!2%四、（10分）0Bj =0-100丄223£20A|刀-0-10A丄2232 122即Jacobi迭代收敛"300_-1_002 _1301210_002 _Bg =02000-10000-1-1120001100