2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1.7定积分的简洁应用内容标准学科素养1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积；2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题；学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值.培育直观想象训练逻辑思维提升数学运算授课提示：对应学生用书第29页[基础相识]学问点一定积分在几何中的应用eq\a\vs4\al(预习教材P56－58，思索并完成以下问题)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？提示：求由曲线围成的面积，要依据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．学问梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)＞0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝_eq\i\in(a,b,)_f(x)dx.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)＜0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－_eq\i\in(a,b,)_f(x)dx.(3)如图，当x∈[a，b]时，若f(x)＞g(x)＞0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝_eq\i\in(a,b,)_[f(x)－g(x)]dx.学问点二变速直线运动的路程eq\a\vs4\al(预习教材P58，思索并完成以下问题)变速直线运动的路程和位移相同吗？提示：不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．学问梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用eq\i\in(t1,t2,)v(t)dt求解．(2)当v(t)＜0时，求某一时间段内的位移用eq\i\in(t1,t2,)v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－eq\i\in(t1,t2,)v(t)dt.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即S＝_eq\i\in(a,b,)_v(t)dx.学问点三变力做功问题eq\a\vs4\al(预习教材P59，思索并完成以下问题)恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？提示：与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a到x＝b(a＜b)，可以利用定积分得到W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.学问梳理假如物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，那么变力F(x)所做的功为_eq\i\in(a,b,)_F(x)dx.[自我检测]1．由直线x＝0、x＝eq\f(2π,3)、y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形的面积等于()A．3 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,2)解析：答案：A2．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为()A.eq\f(1,3)gteq\o\al(2,0)B．gteq\o\al(2,0)C.eq\f(1,2)gteq\o\al(2,0)D.eq\f(1,6)gteq\o\al(2,0)解析：假如变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是eq\i\in(a,b,)v(t)dt，答案：C3．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积是eq\f(2,3)，则c＝________.解析：由x2＝cx3，得x＝0或x＝eq\f(1,c)，答案：eq\f(1,2)授课提示：对应学生用书第29页究一求图形面积[例1]求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．[解析]画出图形如图中阴影部分所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－x2，,y＝2x2－4x))得x1＝0，x2＝2，故阴影部分的面积S＝eq\i\in(0,2,)[(2x－x2)－(2x2－4x)]dx＝eq\i\in(0,2,)(6x－3x2)dx＝(3x2－x3)|eq\o\al(2,0)＝4.方法技巧(1)对于简洁图形的面积求解，我们可干脆运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标，再确定被积函数，一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分问题了．留意区分定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零，而平面图形的面积总是非负的．(2)图形面积需分割求解的解题技巧由两条或两条以上的曲线围成的较为困难的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线可能不同．求解时，依据图形，求出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，留意在每个区间上被积函数均是“上减下”．跟踪探究1.求由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3，x轴，y轴所围成的平面图形的面积．解析：作出曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y＝x2＋1))得第一象限中交点的横坐标为1，故所求面积S＝S1＋S2＝eq\i\in(0,1,)(x2＋1)dx＋eq\i\in(1,3,)(3－x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x))|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,2)x2))|eq\o\al(3,1)＝eq\f(10,3).探究二定积分在物理中的应用[例2]一点在直线上从时刻t＝0(单位：s)起先以速度v(t)＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求：(1)该点在t＝4s时的路程；(2)该点在t＝4s时的位移．[解析](1)由v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，得当0≤t≤1或3≤t≤4时，v(t)≥0；当1≤t≤3时，v(t)≤0，所以在t＝4s时的路程为s＝eq\i\in(0,1,)(t2－4t＋3)dt－eq\i\in(1,3,)(t2－4t＋3)dt＋eq\i\in(3,4,)(t2－4t＋3)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2＋3t))|eq\o\al(1,0)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2＋3t))|eq\o\al(3,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2＋3t))|eq\o\al(4,3)＝4(m)．(2)在t＝4s时的位移为s1＝eq\i\in(0,4,)(t2－4t＋3)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2＋3t))|eq\o\al(4,0)＝eq\f(4,3)(m)．方法技巧(1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先推断速度v(t)在时间区间内是否为正值；若v(t)＞0，则运动物体的路程为s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt；若v(t)＜0，则运动物体的路程为s＝eq\i\in(a,b,)|v(t)|dt＝－eq\i\in(a,b,)v(t)dt；②留意路程与位移的区分．(2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移；②利用变力做功的公式W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx计算；③留意必需将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪探究2.一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力­位移曲线如图所示．求该物体从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处力F(x)做的功．解析：由力­位移曲线可知F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10，0≤x≤2，,3x＋4，2＜x≤4.))因此该物体从x＝0处运动到x＝4处力F(x)做的功W＝eq\i\in(0,2,)10dx＋eq\i\in(2,4,)(3x＋4)dx＝10x|eq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x2＋4x))|eq\o\al(4,2)＝46(J).授课提示：对应学生用书第30页[课后小结]对于简洁图形的面积求解，我们可干脆运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标；(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．留意区分定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．[素养培优]忽视路程与位移的区分而致误易错案例：一辆汽车以32m/s的速度行驶在马路上，到某处须要减速停车，设汽车以加速度a＝－8m/s2匀减速刹车，则从起先刹车到停车，该汽车行驶的路程为()A．128m B．64mC．32m D．80m易错分析：路程是