2024春新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3第2课时平面与平面垂直的性质分层演练含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章立体几何初步A级基础巩固1.若平面α⊥平面β,直线a∥平面α,则()A.直线a⊥平面β B.直线a∥平面βC.直线a与平面β相交 D.以上都有可能解析:因为直线a∥平面α,平面α⊥平面β,所以直线a与平面β垂直、相交、平行都有可能.答案:D2.如图所示,三棱锥P-ABC中,若平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC解析:因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因为平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以PD⊥平面ABC.答案:B3.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是()A.m∥nB.n⊥mC.n∥αD.n⊥α解析:已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β.答案:B4.如图所示,沿Rt△ABC的中位线DE将△ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE,则平面ABC与平面ACD的关系是垂直.⇒解析:因为AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,所以AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC.因为CD⊥BC,AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD.因为BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.5.如图所示,已知平面α,β,α⊥β,在α与β的交线上取线段AB=4cm,AC,BD分别在α和β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=3cm,BD=12cm,求CD的长.解:如图所示,连接BC.因为α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,所以BD⊥平面α.因为BC⊂α,所以BD⊥BC.在Rt△BAC中,BC=AC2+在Rt△DBC中,CD=BC2+所以CD长为13cm.B级实力提升6.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B都是定点,则动点C运动形成的图形是()A.一条线段 B.一条直线C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,但要除去A和B两点.答案:D7.如图所示,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是45°.解析:如图所示,过点A作AO⊥BD于点O.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD,所以∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.因为∠BAD=90°,AB=AD,所以∠ADO=45°.8.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=120°,平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=2a,E为PA的中点.求证:平面EDB⊥平面ABCD.证明:如图所示,连接AC,设AC∩BD=O,连接EO,则EO∥PC.因为PC=CD=a,PD=2a,所以PC2+CD2=PD2,所以PC⊥CD.因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,所以PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.因为EO⊂平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.9.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,侧面SAB⊥底面ABCD,BC=3,AD=1,M是棱SB上靠近点S的一个三等分点.求证:(1)平面SBC⊥平面SAB;(2)AM∥平面SCD.证明:(1)四棱锥S-ABCD中,因为侧面SAB⊥底面ABCD,侧面SAB∩底面ABCD=AB,AB⊥BC,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面SAB.因为BC⊂平面SBC,所以平面SBC⊥平面SAB.(2)取棱SC上靠近点S的一个三等分点N,连接MN,DN,如图所示.因为SMSB=SNSC=所以MN∥BC,且MN=13因为AD∥BC,所以MN∥AD.因为BC=3,AD=1,所以AD=13BC=MN所以四边形MNDA是平行四边形,所以AM∥ND.因为AM⊄平面SCD,ND⊂平面SCD,所以AM∥平面SCD.C级挑战创新10.探究性问题如图所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面相互垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,AD=3,EF=2.(1)求证:AE∥平面DCF;(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°?(1)证明:如图所示,过点E作EG⊥CF于点G,连接DG.由题意,得四边形BCGE为矩形.因为四边形ABCD为矩形,BE∥CF,所以AD∥EG,AD=BC=EG,所以四边形ADGE为平行四边形,所以AE∥DG.因为AE⊄平面DCF,DG⊂平面DCF,所以AE∥平面DCF.(2)解:如图所示,过点B作BH⊥FE,交FE的延长线于点H,连接AH.因为平面ABCD⊥平面BEFC,AB⊥BC,平面ABCD∩平面BEFC=BC,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面BEFC.因为BH⊥EF,所以AH⊥EF,所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角.在Rt△EFG中,因为EG=AD=3,E