人教版八年级下册数学第17章勾股定理单元练习卷含解析(1)

1、第17章勾股定理.选择题（共10小题）1下列每组数分别表示三根木棒的长度，首尾顺次相接可以构成直角三角形的一组是A. 4, 5, 6B. 1.5 , 2, 2.5C. 2，3，4D. 1，二，32.在 ABC中，/ A,Z B,Z C的对边分别是a,b, c,下列条件中，能判断厶 ABC是直角三角形的是（A. a= 2, b= 3, c = 4B. a： b： c=:;十；十C.Z A+Z B= 2/ CD.Z A= 2 Z B= 3 Z C3下列几组数中，是勾股数的有（5、12、13; 13、14、15; 3k、4k、5k （k为正整数）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组4.在平面直角

2、坐标系中，点 P （- 4, 3）至噸点的距离是（A. 3B. 4C. 5D.5.如图，线段 AB= .> CD=.那么，线段 EF的长度为（B. 2Z ACB= 90°, CDL AB于 D,若 AC= 2:，BO i.,则 CD为(D. 37.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形 G的边长是6cm则正方形A B, C, D, E, F , G的面积之和是（）A. 18cm2B. 36cm2C. 72cm2D. 108cm2& Rt ABC中，斜边BC= 2'，分别以这个三角形三边为边作正方形，则这三个正

3、方形的面积和为（）9.如图，在平面直角坐标系中，A（ 3，0），B（ 0, 2）,以点A为圆心，AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点 C,则点C坐标为（10.如图，一架梯子 AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为3A. ( .:, 0)B.(莎-3, 0)D. (3 - .: , 0)米，梯子滑动后停在 DE的位置上，测得 BD长为1米，则梯子顶端A下落了（）B. 2米C. 3米D. 5米二填空题（共5小题）11如图，以AB为斜边的Rt ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN正方形BCPQ正方形ACEF且边EF恰好经过点 N.若&=6，贝U $+&a

4、mp;=.（注:图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示 ABC的面积）12. 如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上， AOB是等边三角形，AB= 2，则点A的坐标为.13. 一轮船以16海里/时的速度从 A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距 海里.14. A ABC中, AB= AC= 10, BC= 16,则 BC边上的高长为 .15. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.如果直角三角形较长直角边为 a,较短直角边为b,若ab= 8，大正方形的面积为 25,则小正方形的边长为 .

5、1216.如图，在 ABC中，BE平分/ ABC交AC于E, DE垂直平分 AB于D.(1) 若/ C= 90°,/ A=;求证：BE+DE= AC;(2) 若厶ABC的周长是20,A BCE的周长是12,求AB的长.17勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中/ DAB= 90°,求证： a2+b2= c2证明：连结 DB过点D作BC边上的高 DF,贝U DF= EC=

6、b-aT S 四边形 adcb= Sa acd+Saabc= b +<:-I'- :|ab.1又 S 四边形 adc= Sa adb+Sa dcb= c2a (b- a)亠航尹=丄 c2+二 a2 2(b- a)2 , 2 2 a +b = c请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.2 2 2求证：a +b = c .将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中/ DAB= 90°.Ez>Hi18.如图.大正方形是由4个相等的直角三角形和一个小正方形拼成的.(1 )在左图中，已知AE= 3，AF= 4，求小正方形的面积;(2 )在右图中，已知AE= a, AF= b

7、 求大正方形的面积.19.如图，在 ABC中，AB= AC= 5cm BC= 6cm BDL AC交AC于点D.动点P从点C出发,按CAtBtC的路径运动，且速度为 2cm/ s，设出发时间为t.(1 )求BD的长；(2) 当 t = 3.2 时，求证：CPLAB(3) 当点P在BC边上运动时，若 CDP是以CP为腰的等腰三角形，求出所有满足条件的t的值；t的值有个.参考答案与试题解析.选择题（共10小题） 1下列每组数分别表示三根木棒的长度，首尾顺次相接可以构成直角三角形的一组是（ ）A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，:,3【分析】先判断能否组成三角形，再求出两小边的

8、平方和和最大边的平方，看看是否相 等即可.2 2 2【解答】解：A 4 +5工6 ,即以4、5、6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；2 2 2B 1.5 +2 = 2.5，即以1.5、2、2.5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；C 22+32工42,即以2、3、4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D 1+护-厂|3，即以1、.匚、3不能组成三角形，更不能组成直角三角形，故本选项不 符合题意；故选：B.2在 ABC中，/代/ B,Z C的对边分别是 a, b, c,下列条件中，能判断厶 ABC是直角三角形的是（）A. a= 2, b= 3, c = 4B. a： b：

9、c=】；： J，C.Z A+Z B= 2/ CD.Z A= 2 / B= 3/ C【分析】直角三角形的判定方法，大约有以下几种： 勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理； 三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据两种情况进行判断即可.【解答】解：A 22+32工42，不符合勾股定理的逆定理，不能够判断ABC是直角三角形,不符合题意；B （ ：'：） 2+ （ . '：） 2 =-7） 2,符合勾股定理的逆定理，能够判断ABC是直角三角形,符合题意；C Z A+Z B= 2Z C,此时Z C= 60。，不能够判断厶 ABC是直角三角形，不符合题意；

10、D 卞 2Z B= 3Z C 那么Z A=（罟厂、Z B=（晋）°、Z C=（罟） ABC不是直角三角形，不符合题意.故选：B.3下列几组数中，是勾股数的有（）5、12、13; 13、14、15;3k、4k、5k （k为正整数）：兰、2、？33A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组【分析】勾股数是满足2 2a +b =2c的三个正整数，据此进行判断即可.【解答】解：满足 a+b = C的三个正整数，称为勾股数，是勾股数的有5、12、13；3k、4k、5k （k为正整数） 故选：B.4.在平面直角坐标系中，点P （- 4, 3）到原点的距离是（A. 3B. 4C. 5【分析】根据勾股

11、定理可求点 P （- 4, 3）到原点的距离.【解答】解：点 P （- 4, 3）至噸点的距离为 （护十2 = 5,故选：C.5如图，线段 AB= .> CD= . 那么，线段 EF的长度为（A.广B.:【分析】由AB与CD的长，结合图形，利用勾股定理得到此图形是由边长为1的小正方形构成的，故 EF为直角边分别为 2和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求出EF的长.【解答】解：T AB=-, CD= I |=仃，图形中的网格是由边长为1的小正方形构成的,贝y ef=i .；=持.：'：.故选：C.B. 2Z ACB= 90°, CDL AB于 D,若 AC= 2:，

12、BC= i,则 CD为()D. 3【分析】在直角三角形 ABC中，由AC与BC的长，禾U用勾股定理求出 AB的长，再利用面积法求出CD的长即可.【解答】解：在 Rt ABC中, AC= 2BC= h,根据勾股定理得：AB= . N , = 3.-,/ ABC中, Z C- 90°, CDLAB,-SABC= :故选：B.CD=AC?BC=AB?CD 即 AQBC= ABCD7如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形 G的边长是6cm则正方形A B, C, D, E,F, G的面积之和是（）C. 72 cm2D. 108 cm【分析】

13、根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：正方形A, B, C, D的面积之和等于正方形 E, F的面积之和，正方形 E, F的面积之和等于最大正方形G的面积.【解答】解：由图可得， A与B的面积的和是 E的面积；C与D的面积的和是 F的面积;而E, F的面积的和是G的面积.即A、B、CD E、F、G的面积之和为 3个G的面积.2 2 G的面积是6= 36cm,2 A B C D、E、F、G的面积之和为 36 x 3= 108cm .故选：D.& Rt ABC中，斜边BC= 2 ；分别以这个三角形三边为边作正方形，则这三个正方形的C. 20D. 40【分析】求出 bC,根据勾股定理求

14、出 aC+aB = bC= 20，再根据正方形的面积公式求出即可.【解答】解： Rt ABC中，斜边BC= 2.= BC=（ 2 ,） 2= 20,由勾股定理得： aB+aC= bC= 20,这三个正方形的面积和为aB+aC+bC = 20+20= 40,故选：D.9.如图，在平面直角坐标系中,A (3, 0), B(0, 2),以点A为圆心，AB长为半径画弧,【分析】求出 OA OB根据勾股定理求出C.（-小爲0）D. （3-"迟，0）AB即可得出 AC求出OC长即可.【解答】解：点A, B的坐标分别为（3 , 0）,（ 0 , 2）, OA= 3 , OB= 2 ,在Rt AOB

15、，由勾股定理得： AB=,AC= AB=O&-3，点C的坐标为（3-L3, 0）, 故选：D.B与墙角C距离为3B. 2米【分析】DE的位置上，测得 BD长为1米，则梯子顶端A下落了（）【解答】C. 3米D. 5米根据梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理解答即可.解：在Rt ABC中, AB= 5m BC= 3m 根据勾股定理得 AC=/ab2-bc2 = 4 米，10. 如图，一架梯子 AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端Rt CDE中 ED= AB= 5m CD= BQDB= 3+1 = 4 米，根据勾股定理得 CE=| j ：= 3,所以 AE= AC- CE= 1

16、 米，即梯子顶端下滑了 1m故选：A.二填空题（共5小题）11. 如图，以AB为斜边的Rt ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN正方形BCPQ正方形ACEF且边EF恰好经过点 N.若&=6，则S+S5 = 6 .（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如 S3表示 ABC的面积）【分析】如图，连接 MQ作MG_ EC于G,设PC交BM于 TMN交 EC于 Q 证明 ABCMBQSAS,推出/ ACB=Z BQM 90°，由/ PQB= 90°，推出 M P, Q共线，由四边形CGM是矩形，推出 MG= PC= BC,证明 MG1Q BCT(AAS

17、,推出 MQ= BT,由 MN= BM,NQ= MT 可证 NQEP MTP 推出 S+S5 = S3 = 6,【解答】解：如图，连接 MQ作MGL EC于 G 设PC交BM于TMN交 EC于Q./ ABIM=Z CBQ= 90° ,/ ABC=Z MBQ/ BA= BM BC= BQ ABC MB( SAS ,/ ACB=Z BQIW 90° ,/ PQB= 90° , M P, Q共线,四边形CGM是矩形， MG= PC= BC/ BCT=Z MGQ 90°, / BT(+Z CBT= 90°, / BQ+/IZ CBT= 90°

18、 ,/ MQG / BTC MGO BCT( AAS , MQ= BT MN= BM NQ= MT 可证 NQE MTP- Si+S5= Sb= 6 ,故答案为6.12. 如图，在平面直角坐标系中，点 B在x轴上， AOB是等边三角形，AB= 2,则点A的坐标为 (1 ,.:.【分析】先过点 A作ACL OB根据 AOB是等边三角形，求出 OA OB 0G= BC / AOB=60°，再根据点B的坐标，求出 0B的长，再根据勾股定理求出AC的值，从而得出点A的坐标.【解答】解：过点 A作ACL 0B AOB是等边三角形， OA= OB OC= BC/ AOB= 60°,点B

19、的坐标为（2, 0）,:.OB= 2,OA= 2,OC= 1, AO :,点A的坐标是（1,：）.13. 一轮船以16海里/时的速度从 A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距20 海里.【分析】根据题意画出图形，根据题目中AB AC的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答.【解答】解：如图，由图可知 AC= 16X 1 = 16 （海里），AB= 12X 1 = 12 （海里），在Rt ABC中，BC= J肌2十缸护十I?2 = 20 （海里）故它们相距20海里.故答案为：20AD【分析】过A作ADL BC于D,由等腰三角形的性质

20、求出BD的长，根据勾股定理求出的长即可.【解答】解：过 A 作 ADL BC于 D,则 BD= 8,在 Rt ABD中, AB= 10, BD= 8,则 AD= i；： ； := 6.所以BC边上高的长的高为 6.故答案为：6.如则小果直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,若ab= 8，大正方形的面积为 25,正方形的边长为3 .【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,每一个直角三角形的面积为：二ab=二x 8= 4,2回2 4x.-ab+ ( a- b) = 25,2

21、2( a-b)= 25- 16= 9,. a b= 3,故答案是：3 三.解答题(共4小题)16.如图，在 ABC中，BE平分/ ABC交AC于E, DE垂直平分 AB于D.(1) 若/ C= 90°/ A=30°求证：BE+DE= AC;(2) 若厶ABC的周长是20, BCE的周长是12,求AB的长.EA= EB利用角平分线求出/ ABC最后用三角形内(2)利用角平分线定理判断出 DE= CE即可得出结论；AE= BE 又由 BCE(3 )由DE为AB的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质，可得的周长为12 ,可得AOBC= 12 ,继而求得答案.【解答】解：(1 )

22、DE垂直平分AB EA= EB/ ABE=Z A,/ A= 30°,/ ABE= 30°,:丄 ABC= 60°,/ C= 90°,A= 30°故答案为：30°(2) / C= 90°, CEL BC/ DE垂直平分AB DEL AB/ BE平分/ ABC DE= CE AC= AECE= B巳DE(3) T DE为AB的垂直平分线, AE= BE BCE的周长为12 , B(+BEnCE= B(+AE+CE= BGAC= 12cm/ ABC的周长为20 , ABhAGBC= 20 , AB= 20 - 12= 8.17 勾

23、股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中/ DAB= 90°,求证：a2+b2= c2证明：连结 DB过点D作BC边上的高 DF,贝U DF= EC= b- aS四边形ADC=Sa acd+Sabc=(b- a)又 s 四边形 ADC= Sa adb+Sa dcb=(b - a)2 . 2 2 a +b = c请参照上述证法，利用图 2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆

24、放，其中/ DAB= 90°.求证：a2+b2= c2.B圏？【分析】首先连结 BD过点B作DE边上的高 BF,贝U BF= b- a,表示出S五边形acbed两者(2 )在右图中，已知AE= a, AF= b,求大正方形的面积.相等，整理即可得证.【解答】证明：连结 BD过点B作DE边上的高BF,贝U BF= b-a,T S 五边形 acbe= Sa ac+Sa abe+Sa ade=122. 1又 S 五边形 acbes= Saacb+Saabd+S bde=ab-c2a (b- a),诗ab中2寺b=*ab+*c2+*a(b- a),-I22.2 2 a +b = c .Z&g

25、t;b迟F18.如图.大正方形是由4个相等的直角三角形和一个小正方形拼成的.(1 )在左图中，已知AE= 3, AF= 4，求小正方形的面积;【分析】(1)在直角 AEF中利用勾股定理求得 EF2，则小正方形的面积等于 EF2,据此 即可求解；(2)在直角 AEF中利用勾股定理求得 EF2,则大正方形的面积等于 EF,据此即可求解. 【解答】解：(1)在直角 AEF中，EF2= aE+A= 32+42= 25,则小正方形的面积是 25;(2)在直角 AEF中，EF2= aE+aF= a2+b2，则大正方形的面积是 a2+bl19.如图，在 ABC中，AB= AC= 5cm BC= 6cm BDL AC交AC于点D.动点P从点C出发, 按Ct At