线性代数知识点归纳同济_第五版

1、v1.0可编辑可修改线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义1行列式的计算:（定义法）Dnai1ai2a21a22iI*HIIan1an2IIIa1na2nxq4ann（1）闷叫禺|阪jripn思考题*用定义计算行列式0 12-1-10 1 2003-2031-1r ' 2134 ） = 1-2（2143） = 2-2 r（24l3） = 31 r I 2431 ） = 4故 Z?=-3 + 2-12 + 9 = -4 （降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数

2、余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零ai1 Aj1 ai2 Aj2ainAjn0, i j.3-521例设D=1-11301-53,刀的（£力尤的余子式和2-1-3代数余子式依次记求41 + 4a +乂 Mq + M* + M、+ Mq *0 -51 3M、 + M選 + Mg +=州-4 + 4i - 竝1-5211-521-110-5+-1 i 0 -5I131313 13-1 -4 -1 -34*0 0 （化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上兀素的乘积例计算刀=33I-13-3bii0b220

3、IIIbnnbnn1 -53-31 -53 -31 -53 -3010-550 2-110 111-5-5)0 16 -10 1100-2300-23021-9110 1110 2-111-11-53-30111=(500_ 2300-3-101U0-55LI71 1 1丙+1十+1D =电 + 互- + q» 把第1行的一 1倍加到第2把新的第2行的一I倍加到第3伉以此类推直到把新的第行的一1倍加到第n行，便得范德霄布列式1 1 1所勺丁叩?巧r耳二 n a-号）詰-1_J?-11例计算行列式若A与B都是方阵（不必同阶）A OAO BO BO A=AB O=B o,则A OAB(1

4、)mnABB2-100-1300001100-25例计算2-100-1300001100-25解2-111-13-2557 35ai nain关于副对角线:a2na2n 1n( 1)1)Fama2naMan111 11 1X1X2Xn2X1|iX22 11 XI11n 1X1X1 I1和O范德蒙德行列式:1 jan1XiXji n第9页3共33页v1.0可编辑可修改abb III bbabba b型公式：bb*1a 11II bn 1a (n 1)b(a b)pbbb 1.! *1 a（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法f歹I计算H阶廿列式.1+ 现'"

5、V户1 J )（递推公式法）对n阶行列式Dn找出Dn与Dn ,或Dn , Dn 2之间的一种关系一一称为递推公式，其中Dn, Dn 1，Dn 2等结构相同，再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法（拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算（列|计算厅列式几三<7-i第4页4共33页 Z7-F 亠 Zt ''12v1.0可编辑可修改0-100000T-1昭 q + .10（数学归纳法）例 计算ri阶行列式x0A- o用数学归纳当口二2时第9页7共33页Dy =1.r+坷flx&n 二 k 时.有

6、D* - 十坷.十+ -八十珏-1+ 业则当口 = kT时，把刀他按第一列展开，衍D“= xD打 +-班.+ 坷+ + $_丫+ 碍)+ J、-3> 昭“ h -_rr +育詁+ 存巾此，対忏意的正聲教m右2 " + *' + + an2. 对于n阶行列式A，恒有：E A n ( 1)$ n k，其中Sk为k阶主子式;k 13. 证明A 0的方法： 、A |A ； 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax 0，证明其有非零解; 、利用秩，证明r(A) n ； 、证明0是其特征值.Aij ( 1)i jM4.代数余子式和余子式的关系：Mj (1)Ajv1.0可编辑可修改第二部分

7、矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1.矩阵的定义 由m n个数排成的m行n列的表Aai1ai2a21a22I*a1na2nk称为m n矩阵.am1am2W amn第7页洪33页记作：A aij mn 或 Amn同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等：两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）b. 数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作 A或A ，规定为 A （ aj.c.矩阵与矩阵相乘：设A (aij)ms，B(bij)sn，则 C AB(Cij)mn其中b1ja.Cj(ai1 ai2 | 0 a

8、is )ai1b1 jai2b2j|b2j注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式ABABBA0 A不成立.0或 B=0分块对角阵相乘:An,BBnABAi1B1A22B2An阳A：b. 用对角矩阵 乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的（行行向量;a00a2IIIIII00III00IIIamb22IIfbm2Hlbinb2n4ibmna1b)2a2b211a?b22amm1ambm2Hia1l na2b2nia bmmnv1.0可编辑可修改C.用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的(列)向量.d.b11bl2b21b22IIb1na10ajaAia2

9、bl2a2b22Iamb1namb2nibm1血 | bmn00 IIIamIIIambmn两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘第9页13共33页方阵的幕的性质：AmAn Am n， (Am)n (A)mna.b.矩阵的转置：把矩阵 A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做对称矩阵和反对称矩阵：A是对称矩阵 A A分块矩阵的转置矩阵:伴随矩阵：A*AjAA A A AE,分块对角阵的伴随矩阵:A是反对称矩阵<=> AatbtCTdtA的转置矩阵，记作at .at .At.AiAI2IAnAnA2iA22A2nIllA1.*BA*ABAj为A 中各个元素的代数余子式1)mn

10、 A B.mn ”(1) B A矩阵转置的性质：(at)t a(AB)T btatat|IA(A1)T (AT)1(at)(A)t矩阵可逆的性质：(A1)1 A1 1 1(AB)B AAIA1/n1、k/nk、1. k(A ) (A )A伴随矩阵的性质：(A)|An2A(AB) B AAlIAn1(A1)(A) 1 什(Ak) (A )kn若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1|ab| a|b|Ak|IAkAA A A A E (无条件恒成立)2.逆矩阵的求法 方阵A可逆A 0.伴随矩阵法 A1a b1 d bc d ad bc c a主换位 副 |变号初等变换法(A：E)

11、初等行变换 (EA 1)1 22例求212的逆矩阵2 21解13r2r12223132122100119999r312120102 2g:99912 b12210011999122121299A9所以212212999221221999p -i -r例3.设A= 11-2的行最简酷矩阵为F,求艮 井求一个可逆矩阵FM吏得PA=F,<4 -6 2；2-1-1110L1(g 二1101 0z斤 W4-6厶0° Jfl0-1一J3q号血 、1-13-2 -11。00103丿1*门21 -2 ! 0 -3 m I -44-21 -2 00 L0-rr-33 I >P1-ip=3-

12、2 一 1Io0°JO -8分块矩阵的逆矩阵：A1A11ABBB 1BA1A1CA11 1A 1CB 1A1OA1OBOBCBB 1CAOBv1.0可编辑可修改第i0页0共33页aia2i iai1a；a；a3a3配方法或者待定系数法iaiia；(逆矩阵的定义AB BA E A i B )ia3例 设方阵A满足矩阵方程A2 A 2E 0,证明A及A 2E都可逆，并求A i及A 2E1解由A2 A 2E 0得A E A E ,故A可逆，且A i2-A E .2由 A2 A 2E 0也可得(A 2E)(A 3E) 4E 或(A 2E)i-(A 3E) E,故A 2E可逆，且4i iA 2

13、E (A 3E).43. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0 ;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零当非零行的第一个非零元为 i,且这些非零元所在列的其他元素都是0时,称为行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式rirj (G5)E(i, j)iE(i,j)E(i, j)|E(i, j) iri k ( Cik )E(i(k)Ei(k) i Ei(i)|Ei(k)| krirjk( Ci Cj k)E(i,j(k)Ei,j(k) i Ei,j( k)Ei,j(k)|

14、i矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对A施行一次初等 变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 困乘A ;对A施行一次初等0列变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵(右右乘A.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵5. 矩阵的秩|关于A矩阵秩的描述： 、r(A) r， A中有r阶子式不为0，r i阶子式(存在的话)全部为0； 、r(A) r， A的r阶子式全部为0; 、r(A) r， A中存在r阶子式不为0;矩阵的秩的性质:v1.0可编辑可修改 AO r(A) > 1; A O r(A) 0; 0 < r(Am n) < min ( m,

15、n) r(A) r(AT) r(ATA) r(kA) r(A)其中 k 0 若Am n,B. s,若r(AB) 0r(A) r(B) nB的列向量全部是Ax 0的解第21页2共33页若 r(Am n) nAB O B OAB AC B C若 r(Bns) nr(AB) r(B)B在矩阵乘法中有右消去律 r(AB) w min r(A),r(B) 若P、Q可逆，则r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ); 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩Ax 只有零解r(AB) r(B)A在矩阵乘法中有左消去律r(AB) w r(A)r (B), max r(A),r(B) w r(A, B) w r(A) r

16、(B)AOOAACr小r(A)r(B), r cr(A) r(B)OBBOOBO等价称OrA与唯一的OrO为矩阵A的等价标准型.O若 r(A) r的秋，并求/的一个求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法最髙阶非零子式.解：第一步先用忸等行变换把矩聲化成彳亍阶梯形矩阵.32050、rl6-4-14、3-236-10 I31-1A Rte2015-300 04-8第11页1共33页6-4-14丿0 000)行阶梯形矩阵有3个非零行，故砂 =332 53-2 620 50 11 = -2 611=16 丰 05因此这就是/的一个最高阶非零子式.6矩阵方程的解法(|A 0):设法化成(I) AX B 或

17、(II) XA BA(I)的解法：构造(A-B)初等行变换(EX) (II)的解法：构造卅初等列变换B(II)的解法：将等式两边转置化为atxt Bt，用 的方法求出xt，再转置得Xf =dWi一护(i-P求解方程AX=B,其中A =12_2B =20434丿5 j(2】-311:fl-29o1 2 -22Q->0-315-1C1 32050 05 Jf 12_22O'(100-42 A->01001->01001r,001一34 J卫01#Tl32tli ! A-E t 应A从也 II2鸡;J第三部分线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量

18、组的秩4. 向量空间5. 线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2 ）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组1, 2，川，n，若存在一组数 佥匕,川,k使得k1 1 k2 2kn n ，则称是1, 2,|, n的线性组合,或称称 可由1, 2,川，n的线性表示.线性表示的判别定理：可由1, 2,川，n的线性表示由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:、a1 X a2 X2321X1 a?2 X 2%I 32nXb1b2有解3m1 X1am2 X2IIIanm X、31132131232231

19、na2nxiX2b1b2Ax3m 1am2川3mnXmbm、ai日2| anXiX2（全部按列分块，其中b15 )；Xnbn、ax32 X2III3n Xn（线性表出）<=>、有解的充要条件:r(A)r（A, ） n （ n为未知数的个数或维数）v1.0可编辑可修改法2证明向量於能由向量组% %盘3线性表示，并求出表示式.解：向量力能由线性表示当且仅当应0 =感£力)因为"="6 =苍 所以向量力能由务如码线性表示* 所以 =(3r + 2)叭 + (2c T)ea3.2.设Am n，Bn s，A的列向量为 i,2则 AB Cm sb*i1,2, nb

20、22bisb2sIG, G，卅,cs02川bns，(i 1,2 ,|,s)A 1, 2, sA 1, A 2, A sC|,C2 11, CsC|,C2 ,| | ,Cs 可由1, 2 , n线性表示为Ax c的解B为系数矩阵即：C的列向量能由A的列向量线性表示，同理:C的行向量能由B的行向量线性表示，a11 a12ai n1q即：a21a2214a2n24*C21an1an211 11 1amnnCma11 1ai2 2illain2qa21 1 a22 2a2n 2C2lb lHlam1 1am2 2IIIamn 2CmA为系数矩阵向量血能由 向量組債 线性表示线性方程组 Ax= b 冇解

21、H爪命=n向量组能 血向量组丄 线性表示审陆方和组AXB有解W岗历应讯Q向暈纽A与 向量组丘 等价皿4 =琨劭=风属助3.线性相关性定义：给定向量组圧 叭、宀如果徉在不令为零的实 数瓯尙，砥，使得舟町卡焉昭+才“朋=0 (零向量)则祢向重组d是线性用关的，否则称它是线性无关的+向量组朋元齐次线性方程组A. % %,aAx 0匸二爲 < 無线性相关有非零斛判别方法:法1对丁向呈殂。2“4” k】+為住+矗 =0 的线性相关性等价齐次线性方禅组&冶十斫术上+十斫丿”二。|幻占十日22込卄十如<©=° i A i » « a-lPa必+ 4

22、站+ 十= 0是否有非零解(D齐次线性方程组有非冬解Q向量组线mux；：(2)齐次线性方程组只有寄解o向量纽线性无关-关于向量组%, a.，,am,设矩阵A = (a. g a第15页5共33页(l)r(j4) <mo向最组碣心,钱性相关;(/) = m o向量组务,勺,暫纟戈性无关.法3定理3向量纽q a（nZ2）线性相关的充分必要条件 是该向暈纠中至少有个向暈可由其余向量线性表示.推论设孑帀个力维向量a,=（毎卫门，*务）（心L2,由住S.心构成的打阶彳1'列式ZMO o向量组%.耳线性无关;D = 0 u向量组ai9a29,a线性相关线性相关性判别法（归纳）向量组线性无关性

23、的判定（重点、难点）向量组/： % %线性无关匸如果昴飾+為的+応#0零向呈）,则必有 厠元齐次线性方程组r=0只有零解.輛 矩阵A-阪軌召的秩等于向量的个数廃. 向量组/中任何一个向量都不能由其余搠一1个向量线 性表示.v1.0可编辑可修改?线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合 ,零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关（向量个数变动） 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关 （向量维数变动） 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 向量组1, 2, , n中任一向量i（

24、1 < i < n）都是此向量组的线性组合,则 可由1, 2, n线性表示，且表示法唯一 解法2：转化为矩阵的秩的问题.q 0 r已知岭=1 1 0 P记作B=AKW 1 J右1，2， n线性无关，而 1，2， n，线性相关例：已知向量组务岭的线杵.无关.a试证明向量组%虬鸟级性无关.解法L转代洵齐次线性方程组的问题”1 0 1；已知（4边血爪*，引砒1 1 °,记作4血1° 1 1 丿设 Jtr-0 ,则- 0 .因为向最组血临屿线性无关.所以zt-o.X |K|-2 0.那么Ar-0只有零解x- 0 .从而向量组知外鬲线性无关.4. 最大无关组相关知识燧大无

25、关组荐柱甸量鮒川斗我牛向量嗎-仍.磅楠址竝；硯.旳-雀性怎关，（2） A中ft一向祁pJtll砧靑示一 喇輛昂即”“足向俎野I*的-1向量空闾的基设卩均向录空昧 若卉r牛冋hi旳.亠一切庐气IL满足 ar线性无笑; P中任 向暈都町山s七.町缭性衣示 则称向呈纽齋”厨卽“F就称为向蜀空的一个基-基础解系林齐次线性方程纽血=0的 组解向鞍 务島-生満足 :k-r： >.心（2） Ax = M）任一解都可Hg©& 线性表示“ 则称 %吗称対加=Wj个旱础解系*向量组的秩|向量组1，2，|，n的极大无关组所含向量 的个数，称为这个向量组的秩记作r（ 1，2，|，n）矩阵等价|

26、 A经过有限次初等变换化为B.向量组等价1， 2， ，n 和 1，2，n可以相互线性表/示 ?己作：1， 2，n ”1，2， n矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数因为prj-2/0,所以z可逆，“=叭、 又向戢组%血线性无关，财3， 从而州3）氛向暈组%2、线性无关. 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 ，且不改变行（列）向量间的线性关系 向量组1，2，s可由向量组1，2，n线性表示，且S n，则1，2，s线性相关第27页洪33页向量组1, 2,s线性无关，且可由1, 2s) r( 1, 2, n),则两向量组等价;向量组1, 2, , s可由向量组1, 2,

27、 , n线性表示,且r( 1, 2 任一向量组和它的极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定 若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等A的行向量线性无关;设A是m n矩阵,若r(A) m，5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Axa11a12illai nX1A a21a22a2nX2A-11111+ ,x11am1am2III+amnx(1)解得判别定理向量式b2其中IbmX1 1X2 2Xn n1j，j 12，川,nImj定理：鱷兀线性方程组 无解的充分必耍条件是冷; 有唯一解的充分必耍条件是巒=2町=“ 有无限多

28、解的充分必要条件是尿筍血4囱<乩(2)线性方程组解的性质:(1)1, 2 是 Ax的解,12也是它的解是Ax的解,对任意k, k也是它的解1,2,k是Ax的解,对任意k个常数齐次方程组1 , 2，川，k，1 12 2 k k也是它的解是Ax的解，是其导出组Ax 的解，是Ax的解1, 2 是 Ax的两个解,12是其导出组Ax的解2是Ax的解,则1也是它的解12是其导出组Ax1, 2,k是Ax的解,则221 11 2的解k k也是Ax的解k k是Ax 0的解III判断1, 2,|,S线性无关;1, 2川s都是Ax的解;片艇2：克求出基再写出通解.的基础解系的条件:422310-1rf 0J1

29、-301-1-S0018页哄33页 #二s n r(A)每个解向量中自由未知量的个数棊础解系的求解4-1竝+再一 2禺=0例；求齐次线性方稈tn宀旳43书 -彫()的搖础解驀.斗 一 JT；- S-Tj + 7场=0方法h先求出通解，再从通解或得堆础解聚.-彌+仁“ 逅=Xr,r巧+ 2_ra - 3jrt = 0'+丿方捏组的任意一个解都可以驶示为亠易的块性蛆合一 的四牛分毘卞成比例所以d%线性无关- 所以丄勾是原方程组的基础解系(4)求非齐次线性方程组Ax = b的通解的步骤(1)将增广矩阵(A b)通过初等行变换化为 阶梯形矩阵； 当r(A b) r(A) rn时，把不是首非零元

30、所在列对应的n r个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得Ax b的一个特解0；(4) 不计最后一列，分别令一个自由元为1,其余自由元为零，得到Ax 0的基础解系 1, 2,., n-r；(5) 写出非齐次线性方程组Ax b的通解X 0 k1 1 k2 2 . kn r nr其中k1,k2,.,kn r为任意常数.v1.0可编辑可修改例求下述方程组的解X|x2X3X4X57,3x12x3x4 3X52,第41 520共33页2x2 x3 2x4 6x5231L i11117解/A (A,b)3121320212623230 0 10原方程组等价于方程组X11X3212X32x5X4X2X43X

31、5X3100令x40 ,1 ,0 .X5001由于r(A) r(A) 25，知线性方程组有无穷多解92232求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系9求特解：令x3 x4 x5 0,得x1-,x221202121311,20,300100019 22323 2故特解为0 .2 .0012029 2121323 2所以方程组的通解为x k111k2 0k300,( k1, k2, k3为任意常数)00000010(5)其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一"若 是Ax的一个解，1, ,|, s是Ax的一个解 1, ,|, s,线性无关AV Ax 与Bx同解（代B列向量个数相同）rr

32、（A） r（B）,且有结果：B 它们的极大无关组相对应，从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系V矩阵Amn与Bl n的行向量组等价齐次方程组 Ax 与Bx 同解 PA B （左乘可逆矩阵 P ）；矩阵Amn与Bl n的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵 Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.标准正交基n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.向量a1,a2,T,an 与11, b2,T,bn的内积n(,)aha2b2 刑Ob与正交（，）

33、0.记为:向量a，a2,T,an 的长度 n_| | .( , ) a2 ,-ai2a；卅 a；i 1M1是单位向量1 |，）1.即长度为1的向量2.内积的性质：正定性：(,)0,且 ( , ) 0对称性：(,)(,)线性性：(12，）（1， ） （2(k)k(,)3. 设A是一个n阶方阵，若存在数 和n维非零列向量x,使得（）是矩阵A的特征多项式(A) O12|ntr A， tr A称为矩阵A的迹n各元素.上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的若A 0,则0为A的特征值，且Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.r(A) 1 A一定可分解为 A= °2 bi,a1

34、b2,川，bn、A2 (a1bi a?b2 川 anbn)A,从而 A的特征值an为：i tr A aQ a?b2 川 and,23 川 n 0.O a1,a2j|,an T为A各行的公比，b，b2J|,bn为A各列的公比.若A的全部特征值1, 2，川，n , f(A)是多项式，则：若A满足f(A) OA的任何一个特征值必满足f( i) 0 f(A)的全部特征值为 f( 1), f ( 2),川，f( n) ； I f(A) f ( i)f( 2)|f( n). A与At有相同的特征值，但特征向量不一定相同4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A的特征方程 A E 0，求出特征值 根据(

35、A iE)x 0得到A对应于特征值i的特征向量设(A iE)x 0的基础解系为 1, 2,| n ri,其中ri r(A iE). 则A对应于特征值i的全部特征向量为k1 1 k2 2 | kn r n n , 其中k1, k2, |, kn斤为任意不全为零的数2 1 1例求A 020的特征值和全部特征向量413解第一步：写出矩阵 A的特征方程，求出特征值21(2(2)2( 1) 0A E 0241解得特征值为11, 232.第二步：对每个特征值代数齐次线性方程组(AE)x 0,求其非零解，即对应于特征值的全部特征向量当1时，齐次线性方程组为(A E)x 0,系数矩阵111101A E0300

36、104140001得基础解系:P 0 ，故对应于特征值1的全部特征向量为 k1P1 (k 0).12时，齐次线性方程组为(A 2E)x 0,系数矩阵411411A 2E00000041100001得基础解系:P21，P3014故对应于特征值2的全部特征向量为k2F2 k3F3，其中k2,k3不全为零.5.|A与 B相似| P 1AP B1 1A与B正交相似 P AP BA可以相似对角化A与对角阵(P为可逆矩阵)(P为正交矩阵)相似(称是A的相似标准形)6. 相似矩阵的性质: E A E B ,从而 代B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.O 是A关于0的特征向量P1是B关于0的特征向量 tr

37、 A tr B A B 从而AB同时可逆或不可逆 r(A) r(B)若A与B相似，则A的多项式f (A)与B的多项式f (A)相似.7. 矩阵对角化的判定方法n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，P 1AP为对角阵，主对角线上的元素为 A的特征值.设i为对应于i的线性无关的特征向量，则有:A可相似对角化P 1APn r( iE A) ki，其中匕为i的重数 A恰有n个线性无关的特征向量O：当i 0为A的重的特征值时，A可相似对角化i的重数 n r(A) Ax基础解系的个数.若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化.

38、8.实对称矩阵的性质: 特征值全是实数，特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；O：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量若A有重的特征值，该特征值i的重数=n r( iE A)； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似有相同的特征值9.正交矩阵 AAt E正交矩阵的性质： A A 1 ； aat ata e ； 正交阵的行列式等于 1或-1 ； A是正交阵，则A , A 1也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行(列)向量

39、都是单位正交向量组10.求正交矩阵把实对称絹阵化为对角阵的方法； r解特征方程a-Ae = o,求出对称阵.4的全部不同的特征值石2,对每个特征值求出对应的特征向量即求齐次线性方程组（= 0的基础解系。3将JH于毎个人的待征向最先正交化'再单位化。这样共可得到"个两两正交的单位待征向量坯，弘,4.以和弘，皿 为列向量构成正交矩阵丁 =有 T4T = A1 2 0例实对称阵A2 22，求正交阵Q ,使得Q 1AQ为对角阵.023120解|aE222(1)(2)(5)023所以A的特征值为1 1， 22，35当二 11时,解(AE)x0，得基础解系为X(2,2,1)T当二 22时

40、，解（A2E)x0，得基础解系为X2(2,1,当35时，解（A5E)x0，得基础解系为X3(1,2,2)令y%2 2("，y2X2(2, 1,y3X30TX22)T12 2 t(3, 3,3)2令Q （%肆2小）-3121T，贝y Q 1AQ Q AQ3311.施密特正交规范化1 1正交化2 2（2,1）1（1, 1）（3，1）（3，2 ）331 2（1,1） （2,2）单位化：11匚232 - 3 二技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量v1.0可编辑可修改第四部分二次型1.1.2.3.二次型及其矩阵形

41、式二次型向标准形转化的三种方式正定矩阵的判定二次型f (X1,X2J|,Xn)a11 a12CnX1a21 a22a2nX2ID HlIIIan1an2annXnnaijXiXj(X1,X2|,Xn)j 1xtAx其中A为对称矩阵,(X1,X2|,Xn)TA与B合同ctac b .（A, B为实对称矩阵，C为可逆矩阵正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差2 p r （ r为二次型的秩） 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等 两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价 两个矩阵合同的必要条件是：r（A） r（B）疋.2. f(X1,

42、X2 ,/正交变换陋） xtAx经过（合同变换可逆线性变换Cy化为fd2标准形.1正交变换法用正交变换化二次型为标准形（规范形）的具体 步骤1将一次韭衷成矩師悒式/ =戒出A：2.求出且的所有特征值备® 人：、求出对应j；特征值的特江向T二岛一点：*将特征向吊环杂乙匸交化.单位化羯"备皿.记尸=（久洛皿）：彳作上处变换工二/鷺则得/的林准形f = Aj? + ' + 心'：配方法第28 52哄33页v1.0可编辑可修改(1) 若二次型含有 Xi的平方项，则先把含有 Xi的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形(2)若二次型中不含有平方项，但是aj0( i j),则先作可逆线性变换第4