《初中数学总复习资料》必备数学第一部分第五章第2节

1、第一部分教材梳理第第2节与圆有关的位置关系节与圆有关的位置关系第五章图形的认识（二）第五章图形的认识（二）知识梳理知识梳理概念定理概念定理 1. 点和圆的位置关系（三种）点和圆的位置关系（三种）（1）点在圆外圆外.（2） 点在圆上圆上.（3）点在圆内圆内.设o的半径为r，点p到圆心的距离op=d，则有：（1）点p在圆外 dr.（2）点p在圆上 d=r.（3）点p在圆内 dr.注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位置关系.2. 直线和圆的位置关系（三种）直线和圆的位置关系（三种）（1）相离：一条直线和圆没有没有公共点.（2

2、）相切：一条直线和圆只有一个只有一个公共点，此时叫做这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线切线，唯一的公共点叫切点切点.（3）相交：一条直线和圆有两个两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线割线.设o的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则有：（1）直线l和o相离 dr.（2）直线l和o相切 d=r.（3）直线l和o相交 dr.3. 切线（1）判定定理：经过半径的外端外端并且垂直垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）切线的主要性质：性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线和圆只有一个一个公共点.切线和圆心的距离等于等于圆的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点必过切点.经

3、过切点且垂直于切线的直线必过圆心必过圆心.4. 三角形的内心和外心三角形的内心和外心（1）三角形的内心：与三角形各边都相切各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线角平分线的交点，叫做三角形的内心.它到三角形各边各边的距离相等.（2）三角形的外心：经过三角形各顶点各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.它到三角形各顶点各顶点的距离相等.方法规律方法规律 与切线有关问题常作的辅助线和解题思路与切线有关问题常作的辅助线和解题思路（1）连接圆心和直线与圆的公共点证明该半径与已知直线垂直，则该直线为切线.（2）过圆

4、心作这条直线的垂线段证明这条垂线段和半径相等，则该直线为切线.（3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90角，由此可展开其他问题的计算或证明.中考考点精讲精练中考考点精讲精练考点考点1点、直线和圆的位置关系点、直线和圆的位置关系(5年未考)典型例题典型例题1. o的半径为5 cm，点a到圆心o的距离oa=3 cm，则点a与圆o的位置关系为 ( )a. 点a在圆上 b. 点a在圆内c. 点a在圆外 d. 无法确定2. (2016湘西州)在rtabc中，c=90，bc=3 cm，ac=4 cm，以点c为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则c与直线ab的位置关系是 ( )a. 相交 b. 相

5、切 c. 相离 d. 不能确定ba3. 如图1-5-2-1，o=30，c为ob上一点，且oc=6，以点c为圆心，半径为3的圆与oa的位置关系是 ( )a. 相离 b. 相交c. 相切 d. 以上三种情况均有可能c4. (2015贵港)如图1-5-2-2，已知p是o外一点，q是o上的动点，线段pq的中点为m，连接op，om若o的半径为2，op=4，则线段om的最小值是 ( )a 0 b 1 c 2 d 3b考点演练考点演练5. 已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为 ( )a. 相离 b. 相切c. 相交 d. 无法确定6. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为

6、8 cm，则该圆的半径是 ( )a. 5 cm或11 cm b. 2.5 cmc. 5.5 cm d. 2.5 cm或5.5 cmcd7. 若o的半径为5 cm，点a到圆心o的距离为4 cm，那么点a与o的位置关系是 ( )a. 点a在圆外 b. 点a在圆上c. 点a在圆内 d. 不能确定8. 在平面直角坐标系中，m(2，0)，圆m的半径为4，那么点p(-2，3)与圆m的位置关系是 ( )a. 点p在圆内 b. 点p在圆上c. 点p在圆外 d. 不能确定cc考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为选择题或者填空题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握点的位置，可以确定该点到圆心的距离与

7、半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系. 注意以下要点：设o的半径为r，圆心o到直线l的距离为d. 直线l和o相交 dr;直线l和o相切 d=r;直线l和o相离 dr. 考点考点2切线的判定和性质切线的判定和性质5年4考：2013年(解答题)、2014年(解答题)、2016年(解答题)、2017年(解答题)典型例题典型例题1. (2017自贡)如图1-5-2-3，ab是o的直径，pa切o于点a，po交o于点c；连接bc，若p=40，则b等于 ( )a. 20b. 25c. 30d. 40b2. (2017宿迁)如图1-5-2-4，ab与o相切于点b，bc为o

8、的弦，ocoa，oa与bc相交于点p. (1)求证：ap=ab；(2)若ob=4，ab=3，求线段bp的长. (1)证明：证明：oc=ob，ocb=obc. ab是是o的切线的切线,obab. oba=90. abp+obc=90. ocao，aoc=90. ocb+cpo=90. apb=cpo，apb=abp. ap=ab. 3. (2017宁波)如图1-5-2-5，在rtabc中，a=90，bc= ，以bc的中点o为圆心作圆，分别与ab，ac相切于d，e两点，则 的长为 ( )a. b. c. d.b224. 如图1-5-2-6，已知o的直径ab=10，弦ac=6，bac的分线交o于点d

9、，过点d作deac交ac的延长线于点e. (1)求证：de是o的切线. (2)求de的长. (1)证明：如答图证明：如答图1-5-2-2，连接，连接od.ad平分平分bac，dae=dab. oa=od，oda=dao. oda=dae. odae. deac，odde. de是是o切线切线. (2)如答图如答图1-5-2-2，过点，过点o作作ofac于点于点f，af=cf=3. of= = =4. ofe=def=ode=90，四边形四边形ofed是矩形是矩形. de=of=4. 考点演练考点演练5. 如图1-5-2-7，ab是o的直径，pa切o于点a，连接po并延长交o于点c，连接ac，a

10、b=10，p=30，则ac的长度是 ( )a. b. c.5 d. a3525256. 如图1-5-2-8，o的直径为ab，点c在圆周上(异于a，b两点)，adcd. (1)若bc=3，ab=5，求ac的值；(2)若ac是dab的平分线，求证：直线cd是o的切线. (1)解：解：ab是是 o的直径，的直径，c在在 o上，上，acb=90. 又又bc=3，ab=5，由勾股定理由勾股定理,得得ac=4. (2)证明：如答图证明：如答图1-5-2-3，连接，连接oc,ac是是dab的角平分线，的角平分线，dac=bac. 又又addc，adc=acb=90. adcacb. dca=cba. 又又o

11、a=oc，oac=oca. oac+obc=90，oca+acd=ocd=90. dc是是o的切线的切线. 7. 如图1-5-2-9，点a，b，c在o上，abc=29，过点c作o的切线交oa的延长线于点d，则d的大小为 ( )a. 29 b. 32 c. 42 d. 58b8. 如图1-5-2-10，已知o的半径为5，pa是o的一条切线，切点为a，连接po并延长，交o于点b，过点a作acpb交o于点c、交pb于点d，连接bc，当p=30时，(1)求弦ac的长；(2)求证：bcpa.(1)解：如答图解：如答图1-5-2-4，连接，连接oa.pa是是o的切线，的切线，pao=90. p=30，ao

12、d=60. acpb，pb过圆心过圆心o，ad=dc. 在在rtoda中，中，ad=oasin60=ac=2ad= . 35(2)证明：证明：acpb，p=30，boa=90+30=120. bca=60. pac=bca. bcpa. 考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握切线的性质和切线的证明方法. 注意以下要点：(1)切线的性质；(2)常用证明方法是连接切点和圆心作直径构造直角三角形来证明切线与直径垂直. 考点考点3三角形的内心与外心三角形的内心与外心(5年未考)典型例题典型例题1. (2017台湾)如图1-5-2

13、-11，o为锐角三角形abc的外心，四边形ocde为正方形，其中e点在abc的外部(a，e，d三点不在同一条直线上)，判断下列叙述正确的是 ( )a.o是aeb的外心，o是aed的外心b.o是aeb的外心，o不是aed的外心c.o不是aeb的外心，o是aed的外心d.o不是aeb的外心，o不是aed的外心b2. (2017眉山)如图1-5-2-12，在abc中，a=66，点i是内心，则bic的大小为 ( )a. 114 b. 122 c. 123 d. 132c考点演练考点演练3. 如图1-5-2-13为44的网格图，点a，b，c，d，o均在格点上，点o是 ( )a. acd的外心 b. ab

14、c的外心c. acd的内心 d. abc的内心b4. 如图1-5-2-14，o是abc的内心，过点o作efab，与ac,bc分别交于点e,f，则 ( )a. efae+bf b. efae+bfc. ef=ae+bf d. efae+bfc考点点拨：考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握三角形内心和外心的概念. 注意以下要点：(1)三角形的内心到三角形三边的距离都相等；(2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离都相等. 广东中考广东中考1. (2017广州)如图1-5-2-15，o是abc的内切圆，则点o是abc的 ( )a. 三条边的垂直平

15、分线的交点b. 三条角平分线的交点c. 三条中线的交点d. 三条高的交点b2. (2015广州)已知o的半径为5，直线l是o的切线，则点o到直线l的距离是 ( )a. 2.5 b. 3 c. 5 d. 103. (2014广东)如图1-5-2-16，o是abc的外接圆，ac是直径，过点o作odab于点d，延长do交o于点p，过点p作peac于点e，作射线de交bc的延长线于点f，连接pf.(1)求证：od=oe；(2)求证：pf是o的切线. c(1)(1)证明：证明：peacpeac，odabodab，pea=90pea=90，ado=90ado=90. .在在adoado和和peopeo中，

16、中， ado=peo, ado=peo, aod=poe, aod=poe, oa=op, oa=op,poepoeaod(aas).aod(aas).od=oe.od=oe.(2)(2)证明：如答图证明：如答图1-5-2-51-5-2-5，连接，连接apap，pc.pc.oa=opoa=op，oap=opa.oap=opa.由由(1)(1)得得od=oeod=oe，ode=oed.ode=oed.又又aop=eodaop=eod，opa=ode.apdf.opa=ode.apdf.acac是直径，是直径，apc=90apc=90. .pqe=90pqe=90.pcef.pcef.又又dpbfdpbf，ode=efc.ode=efc.oed=cefoed=cef，cef=efc.cef=efc.ce=cf.ce=cf.pcpc为为efef的中垂线的中垂线.epq=qpf.epq=qpf.pec=apc=90pec=apc=90,epc=eap.,epc=eap.cpf=eap.cpf=opa.cpf=eap.cpf=opa.opa+opc=90opa+opc=90，cpf+opc=90cpf+opc=90. .oppf.pfoppf