2017房山区高三数学(理)二模试题

1、房山区2017年5月高三二模试卷高三数学（理）试卷 第1页（共5页）高三数学（理）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分 （选择题 共40分）、选择题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)集合A3x0,集合B x Z x则AU B(2)2,(B)2, 1,0,1,2(C)x 0urnuur已知向量BA (2,0), BC/1 3勺(D)3x3花(B)一42冗(D )3(3)在区间2,3上随机选取一个实数x,则事件" |x 1| 1”发生的

2、概率为(4)1335(B)2523设z为复数，则 “ z 2i ”是“4”的(5)（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件执行如图所示的程序框图，若输出（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件i的值为4 ,则判断框不能 填入的一个条件是开始是输出i结束高三数学(理)试卷 第3页(共5页)(A) S 0(B) S 1(C) S3(D) S42222P(m,n)的轨迹为(6)已知椭圆 4 1与双曲线 L 1有相同的焦点，则动点9 m4 n(A)椭圆的一部分(C)抛物线的一部分(B)双曲线的一部分(D)直线的一部分110g4 X|,已知f(X)0 x< 2,若方程f (x) k (k为

3、常数)有三个不同的实数根a,b,c,则x 2.k的取值范围是(C)(0,1)(D) (0,2)(8)在考试测量中，难度是指题目的难易程度，它是衡量试题质量的一个重要指标之一，其计算方法为 全体参加测试考生在该题的平均分与试题满分的比值.一般来说，全卷得分高的考生，在某道题目 上的得分率也应较高.如图是某次数学测试中的第17题和第18题的难度曲线图，满分均为13分.图中横坐标G1G7是将全体参加测试的学生按由低到高的成绩升序排列后，根据人数平均分为七组，纵坐标为该组考生在第17题和第18题的平均难度，则下列说法正确的是(A )18题没有考生得13分(B)每个学生第17题和第18题的得分都不相同(

4、C)第17题的得分标准差大于第 18题的得分标准差(D)第18题比第17题更能区分不同组学生数学成绩的高低第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。x3t x'_ 2 cos (9)直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点坐标为 .y 1ty .2 sin(10)函数f (x) cosx sin2 x的最小值为 .(11)右数列 an 满足：a1 1 , an 1 3an (n N)则 a3 ；前6项和0 .y x(12)若变量x, y满足 x y 3,且z x 2y的最小值为 6,则k . y k(13)九章算术是我国古代数学名著，其中提到的“堑堵”是指

5、底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”是指底面为矩形，有一侧棱垂直于底面的四棱锥.已知，在堑堵ABC AB1cl中，AC BC,则从A,B,C, A, Bi,Ci这6个顶点中任选5个顶点构成的几何体中，阳马的个数 为.高三数学(理)试卷 第7页(共5页)(14)某班举行数、理、化三科竞赛，要求每人至少参加一科，最多参加两科.已知参加数学竞赛的有 人，参加物理竞赛的有 18人，参加化学竞赛的有 21人，其中参加数学、物理两科的有加物理、化学两科的有 6人，则只参加物理竞赛的人数为；这个班级最少有208人，参人.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(

6、15)(本小题13分)在 ABC 中，已知 sin2A 2sinBcosA.(I)判断 ABC的形状;(n)求 J2sinA cos(B )的最大值.4(16)(本小题13分)从2018年起，北京市中考考试科目调整为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生物(化学)、体育九门课程，语数外为必考科目，其他科目除体育外实行选考.物理、生物(化学)、历史、地理、思想品德5门考试科目原始分满分均为100分，学生可以选择其中 3个科目参加考试，且物理、生物(化学)须至少选择一门,所选3科的成绩由高到低分别按照 100%、80%、60%的系数折算为实际分数. 某校为了调查学生对物理、 历史、地理3

7、门课程的选择倾向， 随机抽取50名初二年级学生，得到如下数据表:倾向“物理”倾向“历史”倾向“地理”合计男生165425女生413825合计20181250(I)请问北京市 2018年中考一共有多少种不同的选考科目的组合;(n)在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“物理”与倾向“地理”的学生中抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记X为3人中倾向“地理”的女生人数，求 X的分布列及数学期望；.(出)若从该校任选一名男生，则他倾向选择“物理”的概率最大，选择“地理”的概率最小.你认为这种说法是否正确，并说明理由.(17)(本小题14分)如图，正方形 ABCD与梯形MADP所在的平面

8、互相垂直，已知AD PD 2MA.(I)求证：MB 平面PDC ;(n)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值；高三数学(理)试卷 第4页(共5页)MA / PD , AD PD ,(m)在线段 PC上是否存在点 N ,使得平面MBD 平面NBD ?若存在，求出PN的值，若不存在,PC说明理由.(18)(本小题14分)设函数 f(x) xlnax x2 1(0 a 2).(i)若曲线y f (x)在点(e,f(e)处切线的斜率为2 2e,求a的值；(n)求f(x)的单调区间；(出)若 a 2, g(x) kx(k 0),x,x2 1,2，者B 有 f(x1) g(x2)成立，求 k 的最小值.(

9、19)(本小题13分)2已知椭圆C： y2 1,过点D(1,0),且不 经过点M (1,1)的直线与椭圆交于 P, Q两点，直线4,MQ与直线x 4交于点E ,直线PE与直线MD交于点N .(I)求椭圆C的离心率，并求左、右顶点的坐标；(n)求证： EMN的面积为定值.(20)(本小题13分)a ba b已知1,2,L ,n的子集X满足：任给a,b X ,若二b Z ,则=b X ,则称X为“好子集”，22记A(n)为1,2,L ,n的好子集的个数.(I)求A(2) , A(3)并分别列举出这些好子集；(n)求证：1,2,L ,n 2中包含1且包含n 2的好子集个数为 A(n 2) 2A(n

10、1) A(n)；(出)证明： A(100) A(98) 2A(99) 6.房山区2016年高三二模测试 高三数学（理）参考答案 、选择题（每小题5分，共40分）(9) (1,1)5(10)4(11) 9； 364(12)2(13) 4解答题（14） 4; 33（共6小题，共80分)题号12345678答案BCBADCBD、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分,第二空2分）(15)(本小题13分)解：(I)由 sin2A 2sin BcosA,得 2sin AcosA 2sin BcosA 即 2cos A(sin A sin B) 0,cosA因为00或 sin A sin B ,

11、 A ,0 A B所以ATAB2 ABC为直角三角形或者等腰三角形()若.2 sin A cos(B )B ,无最大值;2.2 sin A cos(B )4、2sinA cos(A -)42 2 sin A逝sinA 22 sin Acos（B 一）的最大值为42sin A2-cosA2sin( A ) 4（16）（本小题13分）解：（I） 一共有9种不同的选考科目的组合12女生（n） 8人中倾向“地理”的学生有 8 3人，其中男生1人,32X可能取值为0,1,2P(X0)C；5C； 14P(X1)C62C2C31528P(X2)C6C22C83328X的分布列如下表:E(X) 05 1 15

12、 2142833284(ID)若认为正确，理由：根据表中数据,需说明1654一一 ，随机抽样可用样本的252525X012p|5153142828频率分布估计总体的分布;若认为错误，理由:5 , 42与3差别较小,2525由事件的随机性，选择“地理”概率不一定最小(17)(本小题14分)解：(I )证明：法一：正方形ABCD ,又 MA / PDAB / CD1-1MA I AB A,PD IDC D平面MAB /平面PDCMB 平面 MAB, MB平面PDCMB 平面PDC法二：取PD中点E,连接CE, ME分分MA / PD , PD 2MA , MA /四边形ADNM为平行四边形ME /

13、 AD 且 ME = ADDE 且 MA = DE ,正方形ABCD ,AD / BC 且 AD = BC ,高三数学(理)试卷 第7页(共5页)ME / BC 且 ME = BC1 分四边形BCEM为平行四边形，MB / CE1 分CE 平面PDC , MB 平面PDCMB /平面PDC1分（n） 平面 ABCD 平面 MADP ,面 ABCD I 平面 MADP AD ,又 PD AD,PD 平面 ABCD, PD DC又正方形ABCD, AD CD1分以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示1分设 AD 2,则 P(0,0,2)，B(2,2,0) ,

14、 M (2,0,1) , C(0,2,0),uuuuuuinPB (2,2, 2) , DMuuur(2,0,1), DB (2,2,0)设平面MBD的法向量为rn (x, y, z),则r uiuurn DM 0 2x z 0r uur 即n DB 0 2x 2y 0r令 x 1 ,得 n (1, 1, 2)设直线PB与平面MBD所成角为sinuruuur cos n,PB（若结果错误，有 cosuiur(m)设 N(x,y,z) ,PNr uuun PBiruuun,PBuurPC( 0uuur PBrn r-nuuu PB -uutrPB给1分；结果正确无公式不扣分）1)N(0,2 ,2

15、 2 )HJLT设平面 NBD 的法向量 n (x,y,z), DN (0,2 , 2 2 ) ,DB (2,2,0)n DN2 y (2 2 )z 0n DB2x 2y 0r令 y 1 n (1,1,),因为平面MBD平面NBDir r，所以n n 01 分1分-1分(1, 1, 2) (1,1, ) 012PN 1存在N, PC 2(18)(本小题14分)解：(I) f (x) In ax 1 2x因为曲线yf(x)在点(e, f (e)处切线的斜率为2 2e1分1分所以 f (e) In ae 1 2e 2 2e所以In ae 1,解得a 1(n) f(x)定义域为 0, f (x) I

16、n ax 1 2x11 2x令 g(x) In ax 1 2x,则 g(x) 2 x x1 2x1令g (x) 0 ,解得0 ,得x x2g(x)与g (x)在0,上的情况如下:x(0,-)212(1,)2g (x)+0g(x),a In -2由 0 a 2,得 0 a 1,则 g(x)max 0,即 f(x) 0,2所以f(x)的单调递减区间为(0,),无单调递增区间 1分(出)当 a 2 时，x1,x21,2 ,都有 f(x1) g(x2)成立，即 f(x)max g(x)min .1 分由(n)得，f (x)在1,2上单调递减，f(x)max f(1) In 21 分高三数学(理)试卷

17、第15页(共5页)k 0时，g(x) kx在1,2上单调递增，g(x)min k所以ln2 kk的最小值ln 2(19)(本小题13分)解：x2(l)由椭圆C:4y2 1知椭圆a 2, b 1,椭圆C的离心率为e c 走a 2左、右顶点的坐标分别为 (2,0) , (2, 0)(n)当P, Q两点的坐标分别为(2,0) , (2,0)时,2分直线MQ的方程为y2,点E(4, 2),直线直线PE与直线MD :依题意可设PQ的方程为1交于点N(1, k(x 1),1).1PE的方程为y -(x 2),31分2代入xy24一 2 2(8k )设 P(xi, y).21 得(4k2221)x 8kx

18、4(k1) 0则 xx224(4kQ%, 8k221)4(k1) 0y?),24k2 1X1X224(k1)直线MQ的方程为y4k y 1令x 4得点E(4,又23(y2 1)(x 1),x2直线PE的方程为y113(x1)，2)，1分高三数学(理)试卷第11页(共5页)PE与直线MD : x1交于点N(1, 1).卜面证明N(1, 1),P(。yj, E(4,3(72x2干 1)三点在一条直线上Q x11 , y1 k(x11), y2心 1)(20)解：(I)3(y2 1)k k - 1PN EN(X1 11x1 1X1X1X2 EMN的面积为(本小题13分)A(2)A(3)(n)一方面,X24k(x1 1) 1X1 1x2 1X22k(x2 1) 1 2X2 1x1 x2 2(X11)(X2 1)(X1X2) 18k24k2 14(k2 1) ( 8k2 )4k2 1 4k2 1MN 42 3 3是定值.4,好子集为7,好子集为，1,1,2 , 1,2;2 ， 3 ， 1,2 , 2,3,1,2,31,2,L ,n2的好子集可以分成两类：包含1和不包含1.因为1,2,L1,2,L ,n1,2,L ,n1,2,L ,n,n 2的不包含1的好子集中每个元素均减去1,即为1的好子集，1,2,L ,n 1的好子集中每个元素均加上1,即为2的不包含1的好子集，所以，1,2,L ,n