专训2探究二次函数中存在性问题（精编版）

1、专训 2探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分 析、归纳、演算、推理找出最后的答案常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题探索与特殊几何图形有关的存在性问题1. 【 2017 ·内江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ax2 bx c(a 0)与 y 轴交于点 c(0 ，3)，与 x 轴交于 a ， b 两点，点b 的坐标为 (4， 0)，抛物线的对称轴方程为x1.(1) 求

2、抛物线对应的函数表达式(2) 点 m 从 a 点出发，在线段ab 上以每秒3 个单位长度的速度向b 点运动，同时点n从 b 点出发，在线段bc 上以每秒1 个单位长度的速度向c 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设mbn的面积为s，点 m 的运动时间为t( s)，试求 s 与 t 的函数关系式，并求s 的最大值(3) 在点 m 运动过程中，是否存在某一时刻t，使 mbn 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由(第 1 题)1探索与周长有关的存在性问题2. 如图，在直角坐标系中，点a 的坐标为 ( 2， 0)， ob oa ，且 aob 120 °. (

3、1)求点 b 的坐标(2) 求经过 a， o， b 三点的抛物线对应的函数表达式(3) 在(2) 中抛物线的对称轴上是否存在点c，使 boc 的周长最小？若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由(第 2 题)2探索与面积有关的存在性问题3【2017 ·深圳】 如图，抛物线y ax2 bx 2 经过点 a( 1， 0)， b(4 ， 0)，交 y 轴于点 c.(1) 求抛物线对应的函数表达式(用一般式表示 )2(2) 点 d 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点d 使 sabc 3s abd ？若存在，请直接写出点 d 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 将直线 bc 绕点 b

4、顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点e，求 be 的长(第 3 题)3答案1 解： (1) 点 b 的坐标为 (4， 0)，抛物线的对称轴方程为x 1， a( 2， 0) 把点 a( 2， 0)，b(4 ， 0)， c(0， 3)的坐标分别代入y ax2 bx c(a 0)，834a 2b c 0，得 16a 4b c 0，解得a ，34b ，c 3，c 3.x该抛物线对应的函数表达式为y 382 3x 3.4(2) 由题意得am 3t， bn t. mb 6 3t.点 c 的坐标为 (0， 3)，点 b 的坐标为 (4， 0)， oc3， ob 4.在 rt boc 中， bc o

5、c2 ob232 42 5.过点 n 作 nh ab 于点 h. nh co， bhn boc ， hn bn ，即 hnthn 3ocbc3 5，5t. s1mb·hn 1(6 3t) 3t 9 t2 9 9 (t 1)2 9 ，225·10t10105又易知 0 t 2，当 t 1 时，9s 最大值 10.(3) 存在在rt obc 中， cos obc ob 45bc.当 mnb 90°时， cos mbn bn 4 ，即t4mb56 3t5，化简，得 17t 24，解得 t 24.17，当 bmn 90°时， cos mbn bm 4bn5即6

6、3t4t5，.化简，得 19t 30，解得 t 3019综上所述，当t 24或 t30时， mbn 为直角三角形171942 解： (1) 过点 b 作 bd y 轴于点 d，则 bod 120 °90° 30°.由 a( 2， 0)可得 oa 2， ob 2.于是在 rt bod 中，易得 bd 1， od 3.点 b 的坐标为 (1，3)(2) 由抛物线经过点a( 2， 0)， o(0， 0)可设抛物线对应的函数表达式为y ax(x 2)，将点 b 的坐标 (1，3)代入，得 a3，因此所求抛物线对应的函数表达式为y32 2333 x3x.(第 2 题)(3)

7、 存在如图，易知抛物线的对称轴是直线x 1，当点 c 是抛物线的对称轴与线段ab的交点时，boc的周长最小设直线ab对应的函数表达式为y kx b，则k b3，2k b 0.3k3，解得23b3. y3x 23 当 x 1 时， y3c 的坐标为 1，3 .33.3 ，因此点33 解： (1) 抛物线y ax2 bx 2 经过点 a( 1， 0)， b(4 ， 0)，21ab 2 0，解得16a 4b 2 0，a ，b3. 2x抛物线对应的函数表达式为y 122 3x 2.2(2)存在满足条件的点d ，其坐标为 (1， 3)或(2，3) 或(5， 3) (3) ao 1， oc 2， ob 4， ab 5， ac 12 225， bc22 42 25. ac 2 bc2 ab 2. abc 为直角三角形，且bc ac.如图，设直线ac 与直线 be 交于点 f，过点 f 作 fm x 轴于点 m ， 由题意可知fbc 45°， cfb 45°，5 cf bc 25，由题易知 ao ac ，omcf即 1 5 ，解得 om 2.om25又由题易知 oc ac ，fmaf(第 3 题)即 2 5 ，解得 fm 6， f(2， 6) fm35设直线 be 对应的函数表达式为y kx m，则可得2k m 6，解得4k m 0，