电磁场与电磁波课件4

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场第4章 时变电磁场静态场的工程应用静态场的工程应用一、一、时变电磁场的波动方程时变电磁场的波动方程二、电磁场的位函数二、电磁场的位函数三、三、电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律四、四、惟一性定理惟一性定理五、五、时谐电磁场时谐电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场一、时变电磁场的波动方程一、时变电磁场的波动方程从麦克斯韦方程出发：cv0DHJtBEtBD 在无源空间：HBED00EHtHEtHE cv0,0J对第一方程两边取旋度，)(EtH根据矢量运算：2()HHH 2()HHtt则：222tHH磁场的波动方

2、程由此得：得 ：同理可得：222tEE电场的波动方程电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场二、电磁场的位函数二、电磁场的位函数1 1 时变电磁场的位函数：矢量位和标量位时变电磁场的位函数：矢量位和标量位 静态电磁场可通过位 函数满足的方程 进行求解，并且可以 得到简化。时变电磁 场同样可以引入位函数， 通过位函数满足的方 程来求解，达到求解 时变电磁场的目的。 B是一无散矢量场A引入位函数BA将上式代入电磁感应定律，得到0AEt电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场AEt是一无旋矢量场，可以用标量 函数的梯度表示，即AEt AEt A和分别为电磁场的

3、矢量位和标量位。 2 2 洛伦兹条件与达朗贝尔方程洛伦兹条件与达朗贝尔方程 根据矢量场的Helmholtz定理，确定区域上 的矢量函数只有在该矢量函数的散度和旋 度及其边界条件是确定的才能唯一确定。 根据矢量位引入的定义，由关系式 是不能唯一确定矢量位 的。ABA电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场Lorentz规范 对位函数 辅以约束条件将 和 带入麦克斯韦第一方程并用矢量恒等式化简： 将 带入麦克斯韦第四方程：得到位函数满足的方程为： 这是一组标准的达朗贝尔方程 。上式形式上矢量位仅与电流有关，标量位仅与电荷分布有关，但它们通过Lorentz规范联系。,A0At22

4、22221AAJtt BAAEt 222()AAAJtt AEt 21()At 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场三、电磁能量守恒定律三、电磁能量守恒定律电场和磁场都具有能量，时变场中的电场和磁场都要随时间变化，空间各点的电场能量密度和磁场能量密度也要随时间变化，因而引起能量流动。1 1 坡印廷定理坡印廷定理分别用矢量 和 点乘麦克斯韦第一和第二方程:EH(H)DEE JEt H ()HBEt 两式相减得:H ()(H)HBDEEE JEtt 利用媒质的本构关系:,H,DE BJE 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场故:(H)11HH(H H

5、)(H)22BBtttt 同理:()11()()22DEEEE ED Etttt 则:211H ()(H)(H)22EEBD EEt 而:(H)H ()(H)EEE 故:211(H)(H)22EBD EEt 等式两边进行体积积分并利用散度定理:211(H) dS(H)22SVVdEBD E dVE dVdt 坡印廷定理的微分形式坡印廷定理的积分形式电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场式中:1H2B 磁场能量密度12D E电场能量密度11(H)22VdBD E dVdt 体积V中电磁场能量的增加率2VE dV体积V中总的损耗功率(H) dSSE进入闭合面S的功率坡印廷定理

6、表明:进入体积V的电磁功率，一部分转化为体积V内的电磁储能的增加，另一部分转换为热损耗。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场2 2 坡印廷矢量坡印廷矢量坡印廷定理左边的被积函数 称为坡印廷矢量，表示为： ,它的单位为HEHSE2/Wm坡印廷矢量具有通过单位面积功率的意义，也叫能流密度矢量它的方向为电磁场能量传播的方向由于 和 都是空间坐标和时间的函数，所以 也是空间坐标和时间的函数，成为瞬时坡印廷矢量，它代表穿过单位面积的瞬时功率。EHHSE电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场四、惟一性定理四、惟一性定理1 定义惟一性定理表述如下： 如果在闭合区

7、域V内，有 时刻的电磁强度E和磁场强度H已知（初始条件）； 的任何时刻,边界面S上的电场强度E或磁场强度H的切向分量已知（边界条件）。则在任何时刻区域V内麦克斯韦方程有惟一解，区域V内存在唯一电磁场。0t 0t 2 证明用反证法，假设有两组解 、 和 、 均满足麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令：1E1H2E2H012EEE012HHH电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场将场差 、 带入坡印廷定理：0E0H2220000011(H ) dS(H )() 22SVVdEE dVEdVdt 根据给定的边界条件，有：000000(H )() H(H)0nnnSS

8、SEeeEeE坡印廷定理变为：22200011(H )() 22VVdEdVE dVdt 显然：220011(H )() 022VdEdVdt根据给定的初始条件，在t=0时刻，有：220011(H )() 022VEdV能量密度不可能小于0，所以在任何时刻：220011(H )()022E即：12EE12HH电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场五、时谐电磁场五、时谐电磁场时变场场量的一般表达式：(x,y,z,t)(x,y,z,t)(x,y,z,t)(x,y,z,t)xxyyzzFe Fe Fe F时谐电磁场：电场和磁场的每一个坐标分量，都随时间以相同的频率做正弦变化，则

9、称为时谐电磁场或正弦电磁场。例如：(x,y,z,t)(x,y,z)cost(x,y,z) +(x,y,z)cost(x,y,z) +(x,y,z)cost(x,y,z)xxmxyymyzzmzEe Ee Ee E1 定义电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场2 时谐量的复数表示(r,t)(r)cost(r)muu设 是一个随时间正弦变化的时谐量：(r,t)u它可以用一个复数的实部表示：(r)tt(r,t)Re(r)Re (r)jjjmuueeue式中 称为 的复数形式(r)(r)(r)jmuue(r,t)u另外：(r,t)(r)cost(r)(r)sint(r)mmuuu

10、tt t(r)2(r)cost(r)Re(r)2jmmuue(r)ttRej(r)Rej(r)jjjmueeue电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场结论：时谐量对时间的一阶导数，等价于时谐量的复数形式乘以 ，即：j(r,t)(r)uj ut3 复矢量把一个随时间做正弦变化的矢量的各个分量都用复数表示：(r,t)(r)cost(r)cost(r)costxxmxyymyzzmzFe Fe Fe FttRe(r)(r)(r)Re(r)yxzjjjjxxmyymzzmjme Fee Fee FeeFe式中：(r)(r)(r)(r)yxzjjjmxxmyymzzmFe Fee

11、Fee Fe称为 的复矢量(r,t)F电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场4 麦克斯韦方程组的复数形式DHJtBEt D0BRe()Re()Re()j tj tj tHeJej DeRe(E)Re()j tj tej BeRe()Re()j tj tDeeRe()0j tBe()j tj tj tHeJej De(E)j tj tej Be ()j tj tDee()0j tBeHJj DEj B D0B电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场5 复电容率和复磁导率导电媒质：cjtan电介质：cj磁介质：cj6 亥姆霍兹方程220Hk H220Ek E式中：k 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场7 时谐场的位函数时谐场的矢量位和标量位：1HAEj A 洛伦兹条件：Aj 达朗贝尔方程：22Ak AJ 221k 式中：22k 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 时变电磁场时变电磁场8 平均能量密度和