数学文一轮教学案：第四章第3讲　三角恒等变换 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5第3讲三角恒等变换考纲展示命题探究1两角和与差的三角函数公式sin()sincoscossin；(s)sin()sincoscossin.(s)cos()coscossinsin；(c)cos()coscossinsin.(c)tan()；(t)tan().(t)2二倍角公式sin22sincos；(s2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(c2)tan2.(t2)3公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tantantan()(1tantan)；tantantan()(1tantan)(2)升幂公式1cos2cos2；1cos2sin

2、2.(3)降幂公式sin2；cos2.(4)其他常用变形sin2；cos2；1±sin2；tan.4辅助角公式asinbcossin()，其中cos，sin.5角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2()()，2()()，()()，.(2)互余与互补关系例如，.(3)非特殊角转化为特殊角例如，15°45°30°，75°45°30°.注意点先看角，再求值在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”. 1思维辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sins

3、in成立()(3)公式tan()可以变形为tantantan()(1tantan)，且对任意，都成立()(4)存在实数，使得tan22tan.()(5)公式asinxbcosxsin(x)中的取值与a，b的值有关()答案(1)(2)(3)×(4)(5)2(1)化简cos15°cos45°cos75°sin45°的值为()a.b.c d(2)的值为()a2 b.c2 d答案(1)a(2)c解析(1)cos15°cos45°cos75°sin45°cos15°cos45°sin15

4、6;sin45°cos(15°45°)cos60°.故选a.(2)由题意知2.3在abc中，tanatanbtana·tanb，则c等于()a. b.c. d.答案a解析由已知可得tanatanb(tana·tanb1)，tan(ab)，又0<ab<，ab，c.考法综述此部分考查内容题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大主要侧重于两角和与差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，化简三角函数关系式或求值利用同角三角函数的基本关系式变异名为同名的三角函数，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等变形为高考热点，常与三角函数式

5、的化简求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查命题法利用基本公式及变形式进行化简和求值典例(1)()a4 b2c2 d4(2)设，且tan，则()a3 b2c3 d2(3)已知函数f(x)asin，xr，且f.求a的值；若f()f()，求f.解析(1)4，故选d.(2)由条件得，即sincoscos(1sin)，sin()cossin，因为，0，所以，所以2，故选b.(3)fasin，a·，a.f()f()sin·sin，cos，cos，又，sin，fsin()sin.答案(1)d(2)b(3)见解析【解题法】三角函数的化简与求值方法(1)三角函数式化简遵循的三个原则

6、一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等(2)三角函数求值的类型及方法“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键

7、也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围1sin20°cos10°cos160°sin10°()a b.c d.答案d解析原式sin20°cos10°cos20°sin10°sin(20°10°).2化简()a1 b.c. d2答案c解析原式.3已知向量a，b(4,4cos)，若ab，则sin()a bc. d.答案b解析ab，a·b4sin4cos2sin6cos4sin0，sin.sinsin.4.已知tan2，tan

8、()，则tan的值为_答案3解析tantan()3.5sin15°sin75°的值是_答案解析解法一：sin15°sin75°sin(45°30°)sin(45°30°)2sin45°·cos30°.解法二：sin15°sin75°sin15°cos15°sin(45°15°)sin60°.6在abc中，a4，b5，c6，则_.答案1解析由正弦定理得sinasinbsincabc456，又由余弦定理知cosa，所以2

9、××cosa2××1.7已知函数ycosx与ysin(2x)(0)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_答案解析显然交点为，故有sin，2k，kz，或2k，kz，2k或2k，kz，又0，故.8已知，且2sin2sin·cos3cos20，则_.答案解析解法一：由2sin2sincos3cos20，得(2sin3cos)·(sincos)0，sincos>0，2sin3cos，又sin2cos21，cos，sin，.解法二：同解法一得2sin3cos，即tan，由三角函数定义令y3，x2，则r，又，故cos.(或对式子2si

10、n2sincos3cos20两边同时除去cos2得2tan2tan30，即(2tan3)(tan1)0，得tan或tan1(舍)以下同解法一9化简tan_.答案2解析原式2.10. 如图，a，b，c，d为平面四边形abcd的四个内角(1)证明：tan；(2)若ac180°，ab6，bc3，cd4，ad5，求tantantantan的值解(1)证法一：tan.证法二：tan.(2)由ac180°，得c180°a，d180°b.由(1)，有tantantantan.连接bd.在abd中，有bd2ab2ad22ab·adcosa，在bcd中，有bd2

11、bc2cd22bc·cdcosc，所以ab2ad22ab·adcosabc2cd22bc·cdcosa.则cosa.于是sina.连接ac.同理可得cosb，于是sinb.所以tantantantan.11.已知，sin.(1)求sin的值；(2)求cos的值解(1)因为，sin，所以cos.故sinsincoscossin××.(2)由(1)知sin22sincos2××，cos212sin212×2，所以coscoscos2sinsin2××.已知，为三角形的两个内角，cos，sin()，则

12、_.错解答案或错因分析(1)错解中没有明确的范围，导致求cos()时不能正确判断符号(2)所求函数值不是sin，而是cos，导致在(0，)中角有两解的错误正解因为0<<，cos，所以sin，故<<，又因为0<<，sin()<，所以0<<，或<<，由<<知<<，所以cos()，所以coscos()cos()cossin()sin××，又因为0<<，所以.答案心得体会时间：60分钟基础组1.20xx·衡水二中猜题若sin，则sin2等于()a b.c d.答案c解析s

13、in2cos2sin212×21，故选c.220xx·衡水二中一轮检测若sin，则cos()a bc. d.答案a解析由sin，得sin，即cos，coscos2cos212×21.320xx·冀州中学周测在abc中，若cosa，cosb，则cosc()a. b.c. d.答案c解析在abc中，0<a<，0<b<，从而sina，sinb，所以cosccos(ab)cos(ab)sina·sinbcosa·cosb××.420xx·冀州中学热身已知，tan，那么sincos的值为()

14、a b.c d.答案a解析tan>0，则，sin，所以sincossin，故选a.520xx·枣强中学周测函数f(x)2sin2cos2x的最大值为()a2 b3c2 d2答案b解析依题意，f(x)1coscos2xsin2xcos2x12sin1，当x时，2x，sin1，此时f(x)的最大值是3，选b.6. 20xx·冀州中学预测若0<<，<<0，cos，cos，则cos()a. bc. d答案c解析coscoscoscossinsin，而，因此sin，sin，则cos××.720xx·枣强中学一轮检测若，且si

15、n2cos2，则tan的值等于()a. b.c. d.答案d解析由二倍角公式可得sin212sin2，即sin2，又，所以sin，即，所以tantan，故选d.820xx·冀州中学月考关于函数f(x)2(sinxcosx)·cosx的四个结论：p1：最大值为；p2：把函数g(x)sin2x1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)2(sinxcosx)cosx的图象；p3：单调递增区间为，kz；p4：图象的对称中心为，kz.其中正确的结论有()a1个 b2个c3个 d4个答案b解析因为f(x)2sinxcosx2cos2xsin2xcos2x1sin1，所以最大值为1，所以

16、p1错误将g(x)sin2x1的图象向右平移个单位后得到h(x)·sin1sin1的图象，所以p2错误由2k2x2k，kz，解得kxk，kz，即增区间为，kz，所以p3正确由2xk，kz，得x，kz，所以图象的对称中心为，kz，所以p4正确，所以选b.9. 20xx·衡水中学月考如图，圆o与x轴的正半轴的交点为a，点c，b在圆o上，且点c位于第一象限，点b的坐标为，aoc.若|bc|1，则cos2sincos的值为_答案解析由题意得|ob|bc|1，从而obc为等边三角形，sinaobsin，又cos2sincos·sincossinsinsin.1020xx&#

17、183;衡水中学期中已知13sin5cos9,13cos5sin15，那么sin()的值为_答案解析将两等式的两边分别平方再相加，得169130sin()25306，所以sin().11. 20xx·武邑中学期中已知函数f(x)sinxcosxcos2x(>0)，其最小正周期为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围解(1)f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin.由题意知f(x)的最小正

18、周期t，所以2.所以f(x)sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到ysin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin的图象，所以g(x)sin.因为0x，所以2x.g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，即函数yg(x)与yk在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知k<或k1，所以<k或k1.1220xx·衡水中学期末已知cos·cos，求：(1)sin2；(2)tan.解(1)cos·coscos·sinsin2，即sin，注意到，故2，从而cos，sin2sinsin2coscossin××.(2)2，sin2，cos2.tan2×2.sin2sin，cos2cos，tan能力组13.2016·冀州中学猜题设sin，则sin2()a bc. d.答案a解析sin2cos2sin212×21.142016·衡水中学模拟已知为第二象限角，sin()，则cos的值为_答案±解析为第二象限