北京市高三数学理试题分类汇编含9区一模及上学期期末试题专题：数列含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5北京高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：数列一、选择题1 （北京丰台区一模理科）设为等比数列的前项和，则（）a2b3c4d52 （北京西城区一模理科）等比数列中，则“”是“”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3 （东城区一模理科）已知数列中，那么数列的前项和等于（）abcd4 （房山区一模理科数学）已知为等差数列，为其前项和.若，则（）abcd5 （北京市东城区普通高中示范校高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是（）abcd6 （北京市东

2、城区高三上学期期末考试数学理科试题）已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于（）abcd7 （北京市海淀区北师特学校高三第四次月考理科数学）已知正项数列中，则等于（）a16b8cd48 （北京市昌平区高三上学期期末考试数学理试题 ）设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（）a1b2c3d4二、填空题9 （北京海滨一模理科）等差数列中, 则10（北京市延庆县一模数学理） 2 4 （14题图） 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，

3、原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为，则 ； .11（北京西城区一模理科）设等差数列的公差不为，其前项和是若，则_12（北京西城区一模理科）记实数中的最大数为，最小数为.设的三边边长分别为，且，定义的倾斜度为（）若为等腰三角形，则_；（）设，则的取值范围是_13（东城区一模理科）数列an的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若， 则位于第10行的第8列的项等于 ，在图中位于 （填第几行的第几列）14（门头沟区一模理科）在等差数列中，则等于 15（北京市东城区高三上学期

4、期末考试数学理科试题）定义映射，其中，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:；若，；，则 ， 16（北京市海淀区北师特学校高三第四次月考理科数学）对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则 17（北京市西城区高三上学期期末考试数学理科试题）设等比数列的各项均为正数，其前项和为若，则_ 18（北京市丰台区高三上学期期末考试 数学理试题 ）右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.19（【解析】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学理试题 ）已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .20（【解

5、析】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学理试题 ）将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 . 21（【解析】北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题 ）.数列满足且对任意的，都有，则的前项和_.22（【解析】北京市石景山区高三上学期期末考试数学理试题 ）在等比数列中，则公比 ， 三、解答题23（北京大兴区一模理科）已知数列的各项均为正整数，且，设集合。性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。性质2 若记，且对于任意，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶

6、完整数列。性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。（）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。24（北京丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,）阶“期待数列”： ； .（）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（）若某2k+1()阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：（1）； （2） 25（北京海滨一模理科

7、）设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.（）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（）求证：若与重合，一定为偶数；（）若，且，记，求的最大值.26（北京西城区一模理科）已知集合 对于，定义；与之间的距离为（）当时，设，若，求；（）（）证明：若，且，使，则； （）设，且是否一定，使？说明理由；（）记若，且，求的最大值27（东城区一模理科）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标.

8、 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为.（）若，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；（）若，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；（）若数组中的“元”满足.设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值.28（房山区一模理科数学）对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示例如对于实数，无穷数列满足如下条件：， 其中 （）若，求数列的通项公式；（）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（）若是有理数，设 （是整数，是正整数，,互质），对于大于的任意正整数，是否都

9、有成立，证明你的结论29（北京市东城区普通高中示范校高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知数集具有性质：对，与两数中至少有一个属于(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；(2) 求证：；(3) 已知数集具有性质证明：数列是等差数列30（北京市东城区普通校高三3月联考数学（理）试题 ）设，是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足的整数，数列， 由 确定。记()当时，求m的值；()求m的最小值及相应的k的值31（北京市东城区高三上学期期末考试数学理科试题）已知为等比数列，其前项和为，且.（）求的值及数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.32（北京市东城区高三上学期期末考试数学

10、理科试题）已知实数组成的数组满足条件：； .() 当时，求，的值；（）当时，求证：；（）设,且，求证：.33（北京市海淀区北师特学校高三第四次月考理科数学）数列中，且满足(1)求数列的通项公式；(2)设，求34（北京市海淀区北师特学校高三第四次月考理科数学）在单调递增数列中，不等式对任意都成立.（）求的取值范围；（）判断数列能否为等比数列？说明理由；（）设，求证：对任意的，.35（北京市西城区高三上学期期末考试数学理科试题）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积令（）请写出一个，使得；（）是否存

11、在，使得？说明理由；（）给定正整数，对于所有的，求的取值集合36（北京市顺义区高三第一次统练数学理科试卷（解析）已知为等差数列,且.(i)求数列的前项和;(ii)求数列的前项和.37（北京市顺义区高三第一次统练数学理科试卷（解析）已知数列的前项和为,且点在函数的图像上.(i)求数列的通项公式;(ii)设数列满足:,求数列的前项和公式;(iii)在第(ii)问的条件下,若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围38（北京市通州区高三上学期期末考试理科数学试题 ）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中记，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线（）求和的值；（）设直线的斜率为，判断的大小关系；（

12、）证明：当时，39（北京市丰台区高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知曲线，是曲线c上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形（）求、的坐标；（）求数列的通项公式；（）令，是否存在正整数n，当nn时，都有，若存在，求出n的最小值并证明；若不存在，说明理由40（北京市昌平区高三上学期期末考试数学理试题 ）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，（）设数列，求；（）若中最大的项为50， 比较的大小；（）若，求函数的最小值41（【解析】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学理试题 ）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）

13、的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.42（【解析】北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为. ()已知函数，若且，求实数的取值范围；()已知，且的部分函数值由

14、下表给出， 求证：；()定义集合请问：是否存在常数，使得，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 43（【解析】北京市石景山区高三上学期期末考试数学理试题 ）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”（）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（）若是（）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据 :)44（北京市房山区高三上学期期末考试数

15、学理试题 ）(本小题满分14分)已知数列的前项和为,且 .（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；（）设是否存在，使得 成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由北京高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：数列参考答案一、选择题1. b2. b3. c4. d5. d6. 【答案】c解：因为，所以，解得，所使用，解得，选c.7. 【答案】d【解析】由可知数列是等差数列，且以为首项，公差，所以数列的通项公式为，所以，即。选d.8. 【答案】c解：因为成等比数列，所以，即，即，所以，选c.二、填空题9. 14 10. ； （这

16、里为中的所有奇数）11. ； 12. ， 13. 第行的第列14. 15. 【答案】 解：根据定义得。，所以根据归纳推理可知。16. 【答案】 【解析】因为，所以，即。两边平方得，即，即，即，即数列的任意两项之和为，所以，即。所以，解得或（舍去）。17. 【答案】6解：设公比为，因为，所以，则，所以，又，即，所以。18. 【答案】 解：由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，所以第5行的公比为，所以。由题意知，所以第行的公比为，所以19. 【答案】解：因为是等差数列，所以。是等比数列，所以，因为，所以，所以。20. 【答案】； 解：因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第

17、3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.21. 【答案】解：由可得，所以。所以。由得，令，得，即数列是公比为2的等比数列，所以。22. 【答案】解：在等比数列中，所以，即。所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。三、解答题23.解：（）； 为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列； （）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有，即，其中，必有，所以仅存在唯一一组（）使成立，即数列为阶完备数列； ，对，则，因为，则，所以，即 （）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元

18、素，由（）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为，。 下面用数学归纳法证明显然时命题成立，假设当（时命题成立，即当时，只需证由于对称性只写出了元素正的部分，其中既中正的部分的个元素统一为，其中则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示其中中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，所以当时命题成立。即为阶完美数列， 24.解：（）数列为三阶期待数列1分数列为四阶期待数列,.3分(其它答案酌情给分)（）设等差数列的公差为， ，所以，即， 4分当d=0时,与期待数列的条件矛盾， 5分当d>0时,据期待数列的条件得： 由得，7分当d&

19、lt;0时，同理可得由得，8分（）（1）当k=n时，显然成立；9分当k<n时，据条件得，即， ,11分 14分25.解：（）因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个2分又因为，即所以这些可能值对应的点在以为圆心，为半径的圆上4分（）依题意与重合则，即，两式相加得（*）因为故为奇数，于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以一定为偶数8分（）令，依题意，因为10分因为有，且为非零整数，所以当的个数越多，则的值越大，而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大.当时，令所有的都为1，都取2，则.当时，

20、若，此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大此时=.若,令,其余的中有个，个1.相应的，对于，有,其余的都为2，则当时，令则相应的取则=+综上，13分26. （）解：当时，由，得 ，即 由 ，得 ，或 3分（）（）证明：设，因为 ，使 ，所以 ，使得 ，即 ，使得 ，其中所以 与同为非负数或同为负数 5分 所以 6分（）解：设，且，此时不一定，使得 7分反例如下：取，则 ，显然因为，所以不存在，使得 8分（）解法一：因为 ， 设中有项为非负数，项为负数不妨设时；时，所以 因为 ，所以 ， 整理得 所以 因为 ；又 ，所以 即 12分对于 ，有 ，且，综上，的最大值为 13分解法二：首先证明如

21、下引理：设，则有 证明：因为 ，所以 ，即 所以 11分上式等号成立的条件为，或，所以 12分 对于 ，有 ，且，综上，的最大值为 13分27.解：（）依据题意，当时，取得最大值为2 （）当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中由，得 当且仅当，且时，达到最大值，于是 当不是中的“元”时，计算的最大值，由于，所以，当且仅当时，等号成立即当时，取得最大值，此时综上所述，的最大值为1 （）因为满足由关系的对称性，只需考虑与的关系数的情况当时，有即，且，时，的最大值为当时，得最大值小于所以的最大值为28. （） ， .2分若，则 所以 3分（） ， 所

22、以 ，从而 当，即时， 所以解得： （，舍去） .4分当 ，即 时，所以 解得 （ ，舍去） 5分 当 时，即 时， 解得 （ ，舍去） 6分综上，集合，. 7分（）结论成立. 8分由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且互质）由，可得； 9分若，设（，是非负整数）则 ，而由得，故，可得 11分若则， 若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾. 故中至少有一个为0，即存在，使得.从而数列中以及它之后的项均为0，所以对于大于的自然数，都有 13分29.解：由于和都不属于集合，所以该集合不具有性质；由于、都属于集合，所以该数集具有性质

23、4分(1) 具有性质，所以与中至少有一个属于由，有，故，故，故由具有性质知，又，从而故 8分由(2)可知，由知，均不属于由具有性质，均属于，即由可知故构成等差数列 13分30. 31.解：（）当时，.1分当时，.3分因为是等比数列，所以，即.5分所以数列的通项公式为.6分（）由（）得.则. . -得 9分 .12分所以.13分32. ()解： 由（1）得，再由（2）知，且.当时，.得，所以2分当时，同理得4分（）证明：当时，由已知,.所以.9分（）证明：因为，且.所以,即 .11分).14分33.解：(1)为常数列，an是以为首项的等差数列，设，,，(2)，令，得当时，；当时，；当时，当时，当

24、时，34. （）解：因为是单调递增数列，所以，.令，所以. 4分 （）证明：数列不能为等比数列.用反证法证明：假设数列是公比为的等比数列，.因为单调递增，所以.因为，都成立.所以， 因为，所以，使得当时，.因为.所以，当时，与矛盾，故假设不成立.9分（）证明：观察： ，猜想：.用数学归纳法证明：（1）当时，成立；（2）假设当时，成立；当时， 所以.根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.由已知得，.所以.所以当时，.因为.所以对任意，.对任意，存在，使得，因为数列单调递增，所以，.因为，所以. 14分35. （）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求 3分（）解：不存在，使得 4分证明如下：假设

25、存在，使得因为， ，所以，这个数中有个，个令一方面，由于这个数中有个， 个，从而 另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而 、相矛盾，从而不存在，使得 8分（）解：记这个实数之积为一方面，从“行”的角度看，有；另一方面，从“列”的角度看，有从而有 10分注意到， 下面考虑，中的个数：由知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以 12分对数表：，显然将数表中的由变为，得到数表，显然将数表中的由变为，得到数表，显然依此类推，将数表中的由变为，得到数表即数表满足：，其余所以 ，所以由的任意性知，的取值集合为13分 36.解:(i)设等差数列的公差为,

26、 因为, 所以 解得, 所以, 因此 记数列的前项和为, 当时, 当时, 当时, =, 又当时满足此式, 综上, (ii)记数列的前项和为. 则, , 所以. 由(i)可知, 所以, 故 37.解:(i)由题意可知,. 当时, 当时,也满足上式, 所以 (ii)由(i)可知,即. 当时, 当时,所以, 当时, 当时,所以, 当时(为偶数),所以 以上个式子相加,得 . 又, 所以,当为偶数时,. 同理,当为奇数时, , 所以,当为奇数时, 因此,当为偶数时,数列的前项和 ; 当为奇数时,数列的前项和 . 故数列的前项和 (iii)由(ii)可知 当为偶数时, 所以随的增大而减小, 从而,当为偶

27、数时,的最大值是. 当为奇数时, 所以随的增大而增大, 且. 综上,的最大值是1. 因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需, 故实数的取值范围是 38. （）解：， 2分； 4分（）解：， 6分因为，所以 8分（）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明 9分事实上，当时，下面证明法一：对任何，10分11分 12分所以13分法二：对任何，当时，；10分当时，综上， 13分39.解：（）b0a1b1是以a1为直角顶点的等腰直角三角形，直线b0a1的方程为y=x由 得，即点a1的坐标为（2，2），进而得.3分（）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 （*） .5分 和均在

28、曲线上，代入（*）式得， .7分数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为() .8分（）由（）可知， ， 9分，= =.10分 .11分（方法一）-=当n=1时不符合题意，当n=2时，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有（）观察知，欲证（）式，只需证明当n2时，n+1<2n以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边；(2)假设n=k（k2）时，(k+1)<2k,当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即<成立综上，满足题意的n的最小值为2. .13分（方法二）欲证成立，只需证明当n2时，n+1<2n，并且，当时，.40.解: (i) 因为数列，所以，所以 4分 (ii) 一方面，根据的含义知， 故，即 ， 当且仅当时取等号.因为中最大的项为50，所以当时必有， 所以即当时，有； 当时，有 9分（iii）设为中的最大值. 由（ii）可以知道，的最小值为. 根据题意，下面计算的值.， ， ，最小值为. .14分41.证明：（）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或 3分