6313幂级数38434

1、数项级数判敛法的思维程序数项级数判敛法的思维程序 )1( 1 nnu已已给给级级数数? 0lim nnu否否发发散散 ) 1 (是否为正项级数是否为正项级数)1(否否是否为交错级数是否为交错级数)1(否否法法定定义义法法或或绝绝对对收收敛敛判判别别是是是是分析通项特点分析通项特点比较判别法比较判别法比值判别法比值判别法根值判别法根值判别法积分判别法积分判别法是是莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法极极限限式式直直截截式式6.36.3 幂幂 级级 数数 6 6. .3 3. .1 1 函函数数项项级级数数的的基基本本概概念念 并并称称)()()()(21xuxuxuxsnn 为为函函数数项项级级数数部部

2、分分和和。 设设 )(xun为为定定义义在在a 数数集集上上的的函函数数列列，则则称称 )()()()(211xuxuxuxunnn 为为a 数数集集上上函函数数项项级级数数。 在在中中，令令axx ，则则得得一一数数项项级级数数： )()()()(211xuxuxuxunnn 若若收收敛敛，则则称称x点点为为的的一一个个收收敛敛点点； 若若发发散散，则则称称x点点为为的的一一个个发发散散点点。 收敛点收敛点的集合称为的集合称为收敛域收敛域。 发散发散点点的集合称为的集合称为发散域发散域。 若若bxunn )(1的的收收敛敛域域为为 ，则则bx ，)(limxsnn 存存在在. . )()()

3、(xsxsxrnn 称称为为余余项项。 当当bx 时时，有有0)(lim xrnn。 设设)()(limxsxsnn ，bx ， 则则称称)(xs为为 1)(nnxu的的和和函函数数， 记作记作)()(1xsxunn ，bx 。 注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.例例 1 1. .求求下下列列函函数数项项级级数数的的收收敛敛域域: : （正项级数）（正项级数） 即即当当11 xe，1 xe，0 x时时， 1nnxne收收敛敛； 当当11 xe，1 xe，0 x时时， 1nnxne发发散散； 当当11 xe，1

4、xe，0 x时时， 1nn发发散散。 ), 0( 故故收收敛敛域域为为。 （1 1） 1nnxne ., 1, 1, 1未未定定发发散散收收敛敛（2 2）nnxxn)11(4311 求一般函数项级数求一般函数项级数 1)(nnxu的收敛域，应把的收敛域，应把 看看作作参参数数 x，先先讨讨论论 1)(nnxu的的敛敛散散性性。 解：解：xxxxnxxnxuxunnnnnn 11)11(431)11()1(431lim)()(lim11， 当当111 xx，即，即0 x时，级数绝对收敛；时，级数绝对收敛； 当当111 xx，即，即0 x时，且时，且1 x时，级数发散；时，级数发散； 级级数数的的

5、收收敛敛域域为为) , 0( 。 级数成为级数成为1431nn，发散。，发散。 问题的提出问题的提出问题问题: :6.3.2 函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性解解,)(nnxxs 且且得和函数：得和函数：该级数每一项都在该级数每一项都在(-1,1是连续的，是连续的， . 1, 1, 11, 0)(lim)(xxxsxsnn.1)(处处不不连连续续在在和和函函数数 xxs例考察函数项级数例考察函数项级数 )()()(1232nnxxxxxxx和函数的连续性和函数的连续性结论结论 对对什什么么级级数数，能能从从每每一一项项的的连连续续性性得得出出和和函函数数的的连连续续性性，从从每每一

6、一项项的的导导数数及及积积分分所所成成的的级级数数之之和和得得出出原原来来级级数数的的和和函函数数的的导导数数及及积积分分呢呢？问题问题一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性定义定义 只要只要n充分大充分大)(nn ,在区间在区间i上所有曲上所有曲线线)(xsyn 将位于曲线将位于曲线 )(xsy与与 )(xsy之间之间.xyoi )(xsy )(xsy)(xsy )(xsyn 几何解释几何解释: :研究例中的级数研究例中的级数 )()()(1232nnxxxxxxx在区间在区间( 0 , 1）内的一致收敛性）内的一致收敛性.解解对于任意一个自然数对于任意一个自然数,n取取nnx

7、21 ，于是，于是,21)( nnnnxxs, 0)( nxs但但.21)()()( nnnnnxsxsxr从而从而只要取只要取21 ，不论，不论n多么大，在多么大，在(0,1)总存在总存在点点nx，,)( nnxr使得使得因此级数在因此级数在( 0, 1 )内不一致连续内不一致连续说明说明: :从下图可以看出从下图可以看出:但但虽然函数序列虽然函数序列nnxxs )(在在( 0, 1 )内处处内处处,0)( xs)(xsn在在( 0, 1 )内各点处收内各点处收收敛于收敛于敛于零的敛于零的“快慢快慢”程度是不一致的程度是不一致的oxy(1,1)nnxxsy )(1 n2 n4 n10 n30

8、 n1一致收敛一致收敛上上，这级数在，这级数在注意：对于任意正数注意：对于任意正数, 01rr 小结小结一致收敛性与所讨论的区间有关一致收敛性与所讨论的区间有关定理（维尔斯特拉斯定理（维尔斯特拉斯(weierstrass(weierstrass) )判别法）判别法）如如果果函函数数项项级级数数 1)(nnxu在在区区间间i上上满满足足条条件件: :(1)(1) )3 , 2 , 1()( naxunn; ;(2) (2) 正项级数正项级数 1nna收敛收敛, ,则函数项级数则函数项级数 1)(nnxu在区间在区间i上一致收敛上一致收敛. .一致收敛性简便的判别法：一致收敛性简便的判别法：证证在

9、在),(内内), 3 , 2 , 1(1sin222 nnnxn 级级数数 121nn收收敛敛，由由魏魏尔尔斯斯特特拉拉斯斯判判别别法法，所给级数在所给级数在),( 内一致收敛内一致收敛例例3 3证明级数证明级数 22222sin22sin1sinnxnxx在在),( 上一致收敛上一致收敛.二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质定理定理1 1 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba, 上都连续上都连续, ,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上一上一致收敛于致收敛于)(xs, ,则则)(xs在在 ba, 上也连续上也连续. .定理定理2 2

10、 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba, 上都连续上都连续, ,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上一上一致收敛于致收敛于)(xs, ,则则)(xs在在 ba, 上可以逐项积分上可以逐项积分, ,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其 中中bxxa 0, , 并并 且且上上 式式 右右 端端的的 级级 数数 在在 ba, 上上也也一一致致收收敛敛. .(4)定理定理3 3 如果级数如果级数 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上收敛上收敛于和于和)(xs，它的各项，它的各项)(xun都具有连续导数都具有连续导数)(xun ，并且级数，并且级数 1)(nnxu在在 ba, 上一致收敛，上一致收敛，则级数则级数 1)(nnxu在在 ba, 上也一致收敛，且可逐上也一致收敛，且可逐项求导，即项求导，即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)注意注意: :级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级数 22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间在任何区间,ba上都是一致收敛的上都是一致收敛的.逐项