ch47二阶常系数线性微分方程

1、福福 州州 大大 学学12021-11-141.)()(xfyn 解法解法: 只要只要连续积分连续积分 n 次即得通解次即得通解 . 复习复习特点特点: :右端仅含有自变量右端仅含有自变量 x2(.,)yf x y 型型特点：特点：解法：解法：.y不显含未知函数不显含未知函数( ) ,yp x 令令.py 则则3(.,)yf y y 型型d ( )dyypxy令令 ,ddddddyppxyypy 则则特点：特点：.x右端不显含自变量右端不显含自变量解法：解法：福福 州州 大大 学学22021-11-14( )( )( )yp x yq x yf x二阶线性微分方程的标准形式二阶线性微分方程的标

2、准形式由线性微分方程由线性微分方程解的结构解的结构知知:非齐次线性非齐次线性微分方程的通解微分方程的通解 y= 对应对应齐次齐次线性微分方程的通解线性微分方程的通解 y + 非齐次非齐次线性微分方程的一个特解线性微分方程的一个特解 y*,0)(时时当当 xf二阶线性二阶线性齐次齐次微分方程微分方程二阶线性二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程/,0)(时时当当 xf特点特点:方程左边关于方程左边关于 y, y 及及 y 都是都是一次一次的的v v 福福 州州 大大 学学32021-11-14二阶线性二阶线性齐次齐次方程方程定理定理1 1.)1(),(,)1()()(21221121的解的解也是也

3、是是任意常数是任意常数则则的两个解的两个解是方程是方程与与若函数若函数ccycycyxyxy ( )( )0 (1)y yp p x x y yq q x x y y注意注意: :1122yc yc yyc yc y不不一一定定是是通通解解. .定义定义: :若在区间若在区间 i 上有上有常数，常数， )()(21xyxy则称函数则称函数)(1xy与与)(2xy在在 i 上上线性无关线性无关.v v v 福福 州州 大大 学学42021-11-14第七节第七节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方

4、程二、二阶常系数非齐次线性微分方程 第四章第四章 福福 州州 大大 学学52021-11-14一、二阶常系数一、二阶常系数齐次齐次线性微分方程线性微分方程1 1、定义、定义)(1)1(1)(xfypypypynnnn n阶常系数阶常系数线性微分方程的线性微分方程的标准形式标准形式0 qyypy二阶常系数齐次二阶常系数齐次线性微分方程的线性微分方程的标准形式标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次二阶常系数非齐次线性微分方程的线性微分方程的标准形式标准形式 其中其中 p, q 为常数为常数福福 州州 大大 学学62021-11-142、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法-

5、特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入将其代入(1), 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr为为(1)的特征方程的特征方程,2422,1qppr 特征根特征根)1(0 qyypyeuler指数法指数法rxey 由由常系数齐次线性方程的特征方程的常系数齐次线性方程的特征方程的根根确确定定其其通解通解的方法称为的方法称为特征方程法特征方程法. .福福 州州 大大 学学72021-11-14(1)(1)特征方程特征方程有有两个不相等两个不相等的实根的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个两个线性无关线性无关的特解为的特解为:

6、得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxrececy )0( 特征根为特征根为根据根据p2-4q 的值，可的值，可分三种分三种情况：情况：福福 州州 大大 学学82021-11-14(2)(2)特征方程特征方程有有两个相等两个相等的实根的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexccy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取则则2y设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为,12xrxey xrexu1)( ？)1(0

7、qyypy02 qprr福福 州州 大大 学学92021-11-14(3)(3)特征方程特征方程有有一对共轭复根一对共轭复根,1 ir ,2 ir ),sin(cos)(1xixeeyxxi )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cosxex )(21212yyiy ,sinxex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx 特征根为特征根为),sin(cos)(2xixeeyxxi 福福 州州 大大 学学102021-11-14 二阶常系数二阶常系数齐次齐次方程方程 求通解的一般步骤求通解的一般步骤:0 qyypy02 qprr(1) 写出相应的特征方

8、程写出相应的特征方程:(2) 求出特征根求出特征根:(3) 根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.21,rrv 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式 实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2,1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 福福 州州 大大 学学112021-11-14.043的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为234rr例例1 1140()(),rr解得解得,11 r故所求通解为故所求通解为.421xxececy ,42 r.044的通解的通解求方程求

9、方程 yyy解解特征方程为特征方程为244rr例例2 2220(),r 解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexccy 福福 州州 大大 学学122021-11-14.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx 例例3 3福福 州州 大大 学学132021-11-14微分方程定义微分方程定义注意注意: : 未知函数未知函数的导数的导数( (或微分或微分) )不能缺少！不能缺少！凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微

10、分方程微分方程. .v 微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数最高阶导数的阶数称为称为微分方程的阶微分方程的阶. .v ( (与函数及其导数的几次方无关与函数及其导数的几次方无关) ) 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解称为微分方程的解. . 微分方程的解微分方程的解 v 复习复习福福 州州 大大 学学142021-11-14微分方程的解的分类微分方程的解的分类(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有微分方程的解中含有独立的独立的任意常任意常 数数, ,且任意常数的且任意常数的个数

11、个数与微分方程的与微分方程的阶数相同阶数相同. .(2)(2)特解：特解：确定确定 通解中通解中 任意常数后的解任意常数后的解. .v 齐次方程齐次方程d()dyyfxx解法解法.xyu 令令称为称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.)()(ddygxfxy 形如形如的方程的方程v v 一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程0( )dyp x ydx dxxpcey)(v 福福 州州 大大 学学152021-11-14 利用公式应利用公式应注意注意:1. 方程应方程应化为标准型化为标准型 .正确选择正确选择 p(x) 和和 q(x) .2. 对公式中的不定积分求解后不再加对公式中的不定积分求

12、解后不再加c .3. e lnp(x) , e - lnp(x) 等要化简等要化简.ddd( )( )( )p xxp xxyeq x exc-轾蝌犏=+犏臌d( )( )dyp x yq xx111dddxxxxyeexcx4. 公式公式右边括号内外都有右边括号内外都有“ln| . |”时，绝对值可去掉时，绝对值可去掉.1ln ln xxeedxcx例例:福福 州州 大大 学学162021-11-14)()(xfyn 解法解法: 只要只要连续积分连续积分 n 次即得通解次即得通解 .特点特点: 右端仅含有自变量右端仅含有自变量 x( ,)yf x y 型特点：特点：解法：解法：( ) ,yp

13、 x 令令.py 则则( ,)yf y y 型特点：特点：解法：解法： ( )yyxp 令令ddddddddppypypxyxy 则则v v v 不显含未知函数不显含未知函数 y ，但显含但显含 x .但显含但显含 y .方程不显含方程不显含 x ，()yf y 型特点：特点：v 方程不显含方程不显含 x与与y ( )yxp 令福福 州州 大大 学学172021-11-14二阶线性二阶线性齐次齐次方程方程定理定理1 1.)1(),(,)1()()(21221121的解的解也是也是是任意常数是任意常数则则的两个解的两个解是方程是方程与与若函数若函数ccycycyxyxy ( )( )0 (1)y

14、 yp p x x y yq q x x y y注意注意: :1122yc yc yyc yc y不不一一定定是是通通解解. .定义定义: :若在区间若在区间 i 上有上有常数，常数， )()(21xyxy则称函数则称函数)(1xy与与)(2xy在在 i 上上线性无关线性无关.v v v 福福 州州 大大 学学182021-11-14 二阶常系数二阶常系数齐次齐次方程方程 求通解的一般步骤求通解的一般步骤:0 qyypy02 qprr(1) 写出相应的特征方程写出相应的特征方程:(2) 求出特征根求出特征根:(3) 根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.21,

15、rrv 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式 实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2,1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 福福 州州 大大 学学192021-11-1401)1(1)( ypypypynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexcxcc)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(11101110推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系

16、数齐次线性方程解法n (参见参见书书p296)福福 州州 大大 学学202021-11-14.0106的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,010623 rrr解得解得,01 r故所求通解为故所求通解为).sincos(3231xcxcecyx 例例1 1,33,2ir 福福 州州 大大 学学212021-11-14.052)4(的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,052234 rrr解得解得,021 rr故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(4321xcxcexccyx 例例2 2,214,3ir 福福 州州 大大 学学222021-11-1

17、4思考题解答思考题解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 则则, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxececz 21.ln21xxececy 思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 福福 州州 大大 学学232021-11-14二、二阶常系数二、二阶常系数非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程由线性微分方程解的结构解的结构知知:非齐次线性非齐次线性微分方程的通解微分方程的通解 y= 对应对应齐次齐

18、次线性微分方程的通解线性微分方程的通解 y + 非齐次非齐次线性微分方程的一个特解线性微分方程的一个特解 y*福福 州州 大大 学学242021-11-14)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yyyf (x) 常见类型常见类型,)(次多项式次多项式的的为为设设mxxpm难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.1.( )mpx( );xmpx e 0 xe.sin)(,cos)(. 2xexpxexpxmxm 3.以上两种的混合型以上两种的混合型福福 州州 大大 学学25202

19、1-11-14)()(xpexfmx 1 1、 型型设设非齐次方程特解为非齐次方程特解为xexqy )( 代入原方程，得代入原方程，得以下确定以下确定q(x)的次数的次数)(xfqyypy 111211120()()r xr xr xu erp u erprq ue2y设设另另一一特特解解为为xrexu1)( 0ypyqy将将其其代代入入方方程程得得，22( )() ( )() ( )( )xxxxmq x ep q x epq q x ep x e22( )()( )() ( )( )mq xp q xpq q xpx回顾回顾福福 州州 大大 学学262021-11-14)()(xpexfm

20、x 1 1、 型型设设非齐次方程特解为非齐次方程特解为xexqy )( 代入原方程，得代入原方程，得)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm 不不是是特特征征方方程程的的根根，若若 )1(, 02 qp ),()(xqxqm 可可设设是是特特征征方方程程的的单单根根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xqxxqm 可设可设;)(xmexqy ;)(xmexxqy .)()(同同次次的的多多项项式式为为与与其其中中xpxqmm以下确定以下确定q(x)的次数的次数方程两边必须是同次多项式方程两边必须是同次多项式)(xfqyypy 则则q(x) 与与pm (x)同同次次

21、则则q(x) 与与pm (x)同同次次福福 州州 大大 学学272021-11-14是是特特征征方方程程的的重重根根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xqxxqm 可可设设综上讨论综上讨论( ) ,kxmyx eqx 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意 上述结论可上述结论可推广推广到到 n 阶常系数阶常系数 非齐次线性微分方程（非齐次线性微分方程（k是重根次数）是重根次数）.)(2xmexqxy )()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm ( )( )xmypyqyf xpx e 其特解可设为：其特解可设为： ( (可可以以注注: :是是复复

22、数数) )则则q(x) 与与pm (x)同同次次即即 q(x) m+2次次 xexqy )( 设设福福 州州 大大 学学282021-11-14综上讨论综上讨论( ) ,kxmyx eqx 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k( )( )xmypyqyf xpx e 其特解可设为：其特解可设为：( )mypyqypx( ),kmyx qx 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2.10k0000 特殊：特殊：322 .yyyx 求求方方程程的的特特解解形形式式例例1 1y = = ax+bxex( )xe ( (可可以以注注: :是是复复数数) )1 c福福 州州 大大 学学2920

23、21-11-14.1)1(,1)1(2 yyexeyyyxx求特解求特解例例1 1解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexccy 设原方程的设原方程的特解特解为为*2()xyxaxb e,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 对应齐次方程为对应齐次方程为,02 yyy,1是二重根是二重根 代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba( )xq x e 1( )xp x e )()()()()2()(2xpx

24、qqpxqpxqm (技巧技巧)福福 州州 大大 学学302021-11-14代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)(,)(,* yyy,21,61 ba原方程的原方程的一个特解一个特解为为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexccy ,6)1()(3221xexxcccy 特解特解为为,)(2*xebaxxy , 1)652(21 ecc, 1)1( y, 1)31(21 ecc, 1)1( y福福 州州 大大 学学312021-11-14, 1)1( y, 1)652(21 ecc,31121 ecc,651221 ecc由

25、由解得解得 ,121,61221ecec所以原方程所以原方程满足初始条件的特解满足初始条件的特解为为.26)121(61223xxxexexexeey , 1)1( y, 1)31(21 ecc.26)(2321xxxexexexccy 福福 州州 大大 学学322021-11-142 2、 型型sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx sincos)(xpxpexfnlx 22ieepeepexixinxixilx xinlxinleippeipp)()()22()22( ()()( )( ),ixixmmpx epx e,)(1ximkeqxy 利用欧拉公式利用欧拉公式由由情形情形

26、1 1结果可设结果可设可借助情形可借助情形1 的结论的结论,max)(),(nlmmxpxp 次次复复系系数数多多项项式式的的互互为为共共轭轭mm,)()(xiexpqyypy 设设m2222()()()()ixixlnlnppppi ei e福福 州州 大大 学学332021-11-14,)(1ximkeqxy 特特解解ximximxkeqeqexy ,sin)(cos)()2()1(xxrxxrexmmxk 12( )( )( ),( )mmrxrxm其其中中是是 次次 nlm,max 01iki 不不是是根根是是根根注意注意可可推广推广到到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微

27、分方程.,)(1ximkeqxy 特特解解解的叠加原理解的叠加原理,)()(xiexpqyypy 设设m,)()(xiexpqyypy 设设m2 2、 型型sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx (特殊情形特殊情形)实系数多项式实系数多项式( )(cossin)( )(cossin)kxmmx eqxxixqxxix ( )( )cos( )( ) sinkxmmmmx eqxqxxqxqx ix 福福 州州 大大 学学342021-11-14,sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxrxxrexymmxk 次多项式，次多项式，是

28、是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max 01iki 不不是是根根是是根根cos2.yyxx 求求方方程程的的特特解解形形式式解解2wii ()cos2()sin2yaxbxcxxd 故故例例1 1特征方程特征方程210,r 特征根特征根12ri ri ，02 ，不是根不是根0( cos20sin2 )xxxx e福福 州州 大大 学学352021-11-14.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解例例2 2,2 不是特征方程的根不是特征方程的根ii .2sin)(2cos)(*xdcxxbaxy 设特解为设特解为得得代入方程代入方程 ,2cos2sin)433(

29、2cos)433(xxxadcxxcbax 对应齐次方程为对应齐次方程为, 0 yy特征方程为特征方程为, 012 r对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为,sincos21xcxcy 特征根特征根,2, 1ir . 0)(,)(20 xpxxpnl， 福福 州州 大大 学学362021-11-14 , 043, 03, 043, 13adccba，得，得比较两端同类项的系数比较两端同类项的系数 940031dcba解解得得.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy 从而所求的通解为从而所求的通解为.2sin942cos31*xxxy 福福 州州 大大 学学372021-11-1

30、43、小结、小结可可以以是是复复数数） (),()()1(xpexfmx , )(xqexymxk 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2.10k二阶常系数非齐次微分方程特解形式：二阶常系数非齐次微分方程特解形式：(待定系数法待定系数法)(xfqyypy 福福 州州 大大 学学382021-11-14,sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxrxxrexymmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max 01iki 不不是是根根是是根根福福 州州 大大 学学392021-11-14).2cos

31、(214xxyy 求解方程求解方程例例3 3解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xcxcy 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 混合型混合型福福 州州 大大 学学402021-11-14由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2

32、cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 ,2cos212sin42cos4xxcxd 福福 州州 大大 学学412021-11-14故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxcxcy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 福福 州州 大大 学学422021-11-14.)2(;)(),()1(:,1)()(2此方程的通解此方程的通解的表达式的表达式试求试求的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为对应对应有一特解为有一特解为设设xfxpxx

33、xfyxpy 例例4 4解解(1)由题设可得：由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxxp 福福 州州 大大 学学432021-11-14(2)原方程为原方程为.313xyxy , 1221的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解程程是是原原方方程程对对应应的的齐齐次次方方显显见见xyy 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1* 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxccy 福福 州州 大大 学学442021-11-14.)(d)()(sin)(,)(0的表达式的表达式求求且满足方程且满足方程为连续函数为连续函数设设xfttftxxxfxfx 例例5 5.1)0(,0)0(sin yyxyy即求特