ch41函数的单调性和极值最值

1、第四章第四章 导数的应用导数的应用 4.1 函数的单调性、极值与最值函数的单调性、极值与最值 函数的单调性函数的单调性 函数的极值函数的极值 最大值与最小值最大值与最小值 方程根的个数方程根的个数一、函数的单调性一、函数的单调性xyo)(xfy xyo)(xfy abab( )0fx( )0fx定理1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abba证)

2、,(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理,得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 说明：（1）对无穷区间定理也成立. , 0 xf且等号在有限点处成立，则结论也成立，如;3xy （2）若定理设函数 f (x) 在 a , b上连续 , (a , b)上可导 ,且 , x(a , b) , 则 0 )( xfc

3、xf )(, xa , b例1解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:d又又二、单调区间求法二、单调区间求法问题:如上例1，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:.,)()(0)(数的符号数的符

4、号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 例2解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:d12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在1 ,( 时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2例3解.)(32的单调区间

5、的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(:d)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为，0 ,( )., 0 32xy 例5 证明：当1 x时，xx132 证明：设 xxxf132 211xxxf 所以当1 x时， xf单调递增，又 01 f所以当1 x时， 01 fxf即xx132 xxxx22 0 可以利用函数的单调性证明不等式三、函数极值的定义三、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxy

6、oxy0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

7、(1) 极值是局部概念，最值是整体概念；极值是局部概念，最值是整体概念；(2) 极值点肯定不会是端点；极值点肯定不会是端点；(3) 极小值可能会大于极大值；极小值可能会大于极大值；(4) 区间内的最值点必为极值点。区间内的最值点必为极值点。xy4xab极大点极大点1x3x极小点极小点2x4x3x1x2x四、函数极值的求法四、函数极值的求法 设设)(xf在在点点 0 x处处具具有有导导数数, ,且且在在0 x处处取取得得极极值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. . 定理2(必要条件)定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf

8、注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x 函数的驻点和导数不存在的点通称为函数的临界点. 上面的定理也可以叙述为：函数的极值点必为临界点.定理2 (必要条件)( (1 1) ) 如如 果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则则)(xf在在 0 x处处取取得得极极大大值值. . ( (2 2) ) 如如 果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则

9、则)(xf在在 0 x处处取取得得极极小小值值. . ( (3 3) )如如果果当当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf 符符号号相相同同, ,则则)(xf在在 0 x处处无无极极值值. . 定理3(一阶充分条件)xyo0 x xyo0 x xyoxyo0 x0 x (不是极值点情形)求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数; )()()2(的点的点不存在不存在为零的点和为零的点和求临界点，即求临界点，即xfxf ;,)()3(判判断断极极值值点点在在临临界界点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值例6解.593)(23的极值的极值求出函数求

10、出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfmm图形如下例7解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xfm 设设)(xf

11、在在 0 x 处处具具有有二二阶阶导导数数, ,且且0()0fx , , 0()0fx , , 那那末末 ( (1 1) )当当0()0fx 时时, , 函函数数)(xf在在 0 x 处处取取得得极极大大值值; ; ( (2 2) )当当0()0fx 时时, , 函函数数)(xf在在 0 x 处处取取得得极极小小值值. . 定理4(二阶充分条件)证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函数函数)(xf在在0

12、x处取得极大值处取得极大值 同理可证(2).例8解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下mm注意:. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf f03 )( 即 是 f (x)的极大值点3 x处取得极值, 是极大值还是极小值 ? 并求出其极值例 试问a为何值时, 在xx

13、axf331sinsin)( 3x 3x 因为 f (x)是可微函数, 故 是 f (x)的驻点 ,xxxf32coscos)( 当 a = 2 时, coscos)( 33af, a012 xxxf332sinsin)( 033 )( f极大值: 3323 sin)(f解2 a即注：注：极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)五、最大值和最小值五、最大值和最小值oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在上连续，则上连续，则在在若函数若函数b

14、axfbaxf步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例9解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy x =1是 f (x)在(0 , 2) 中的唯一极值点且为极小值点原不等式03242 xxxx ln令 , 则由3242 xxxxxfln)(0224 xxxfln)( 又 02124 )( ,)( f xxf x = 1是 最小值点 f (x) f (1) = 0 , x ( 0 , 2 )求 0 x 0 时，