函数一致连续性证明论文

1、目 录摘要.11 引言. .22 函数一致连续性的证明方法. .22.1 有限区间上的一致连续函数.22.2 无限区间上的一致连续函数.42.3 任意区间上的一致连续函数.53函数一致连续性的应用.7结论.9参考文献.9致谢.,.9函数一致连续性证明的几种方法及应用数学计算机科学学院摘 要：函数一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的含参量积分，函数项级数等概念有着密切的联系.因此，证明函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文从函数一致连续性的概念出发，对函数一致连续性做出了深入分析，从不同类型区间

2、包括有限区间，无限区间，以及任意区间等讨论了函数一致连续性和证明方法及其应用.关键词：函数；一致连续；充要条件；康托定理Function mean value theorem to prove and applicatio College of Mathematics and Computer Science ArtsAbstrac: The uniformly continuous function is an important concept of mathematical analysis course, plays a very important role in analyzing

3、 the matter. It is not only the continuous functions on closed interval Riemann integrable theoretical basis, and then the integral containing parameters, the concepts of series expressed by function terms has the close relation. As a result, the proof of function's consistent continuity is math

4、ematical analysis is an important content. In this paper, starting from the concept of uniformly continuous function of uniformly continuous function has made the thorough analysis, from different types including limited interval, infinite interval, and arbitrary interval uniformly continuous functi

5、on are discussed and proved method and its application.Key words: function;Uniformly continuous; Necessary and sufficient condition;Cantor theorem1引言 函数在区间上一致连续与函数在区间上连续在概念上有着重大的差别：函数在区间上连续是函数在区间上每一点都连续，这是一个局部性质；而函数在区间上一致连续则是整体性质，它可推出函数在区间上每一点都连续这一局部性质，是更强的连续性概念.在这里我们对函数的一致连续性进行深入的探讨，并给出函数一致连续的几个证明方

6、法与应用，以及在函数一致连续性的条件下得到的几个重要结论，以致更深入了解并掌握该定理.2函数一致连续性的证明方法 函数一致连续的定义1 设函数为定义在区间上的函数.若对任给的正数，总存在正数，只要，属于，且，就有，则称函数在区间上一致连续.下面介绍函数一致连续性的几种方法 2.1 有限区间上的一致连续函数 设函数于区间上有定义, 记( 式中 和为中受条件限制的任意两点) 称为函数在区间上的振幅数.定理1 2函数在区间上一致连续的充分必要条件是.证明 先证必要性 于上一致连续, ，使中任何两点和, 只要, 就有.于是对于任意满足的, 则当 时, 就有, 从而, 所以. 再证充分性 设, , 使当

7、时, 恒有, 令，则, 设和为中满足任意两点, 有, 所以于内一致连续.上式中区间可改为区间定理23 （Cantor 定理） 若函数在闭区间上连续，则在上一致续.定理34 函数在开区间上一致连续的充要条件是在上连续，且与都存在.证明 （必要性）设在上一致连续，即， ， ， 且 ， 有 .故，当 时，有 .据Cauchy 准则， 存在.同理存在. （充分性）作函数的连续延拓则 在上连续，由Cantor 定理， 在上一致连续，从而在上一致连续.定理45在有限区间 上一致连续的充要条件是：对于区间上的任一柯西列（基本列）都有也为柯西列（基本列）.证明:必要性 因为在上一致连续，即对任意的，存在，使得

8、对任意的，当时，有，又为中的柯西列，所以对上述，存在，使得对于任意的，都有，于是有，即为柯西列. 充分性 用反证法 假设在上非一致连续，即存在，使得对于任意的，存在，当时，有取，则存在，且，但.又为有限区间，故为有界数列.存在收敛子列，因，故也收敛，且与的极限相同，从而数列是一个柯西列，但其象序列恒有不是柯西列，这与为柯西列相矛盾，故在上一致连续.2.2 无限区间上的一致连续函数定理1 6 若函数 在上连续且，都存在，则在上一致连续.证明 因存在，由Cauchy准则，有 成立，所以在 上一致连续.又因 在上连续，有在上连续，已知存在，所以在上一致连续.由一致连续函数区间具有可加性，得在上一致连

9、续.定理2 7设函数在上一致连续， 在上连续，则 在上一致连续.证明 已知，即, ， 时，有.知在上一致连续，故对上述，当 ，有.综上，且有 ，即 在上一致连续，再由Cantor 定理 在上一致连续，得 在上一致连续.2.3 任意区间上的一致连续函数定理1 设函数在区间上有定义则函数在区间上一致连续的充要条件是区间上任意两个数列，只要便有.证明 必要性 因为函数在区间上一致连续，则对任给的正数，存在正数 ，对属于区间的任意两点, ，只要，就有. 又因为，故对上述的正数 ，存在正整数 ，使得当时，有，从而有，所以：. 充分性 用反证法来证明：假设函数在区间上不一致连续，则存在正数，使对任意的正数

10、,都存在属于区间的，使得当时，但，所以，对，存在属于的两个数列，,使,但是, 于是得到数列，显然，但是此结论与题设条件矛盾所以充分性得证.注：可用此定理来证函数在区间上不一致连续.定理2 若函数在区间 (这里)上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在正数,使得对区间上任意两点,，都有：，则函数在区间上一致连续证明 由条件知，对任意的属于 的 ，（即有），有， 因为：则有又因为，上式两边同除以，得：记，由此可知：函数在区间上有界对任给的正数 ，我们取正数：，当，且 有故函数在区间上一致连续.3 函数一致连续性的应用定理1 8设函数 在区间上有定义若函数在区间上一致连续，则存在非负实数，使

11、对一切属于区间的，都有.证明 因为函数在区间上一致连续，故对正数，存在正数，使当 时，有对此正数，对任给的属于实数的，必存在整数（ 为整数集） 及实数,使得，再有函数在区间上连续，从而有界，即存在正数M，使得对任意属于的，有.于是有：.所以有：.再由知，代入（3）式有：我们记，则则（4）式可记为.注：此定理的几何意义为：当函数在区间上一致连续时，曲线的斜率有上界.定理2 设函数在（这里）上有定义.若函数在一致连续，则函数在区间上有界.证明 由函数在区间上一致连续，得：对正数，存在正数，当，且时，有.再由函数在区间上连续，从而有界，即存在正数，使得对任意属于区间的，都有.对任给的属于区间的，存在

12、自然数（为自然数集）及属于的实数，使得，有，则得.又因为及，所以有我们记，则.即有.所以函数在区间上有界.例1 讨论在上一致连续性解: 于上连续, 设1 当时, 设,，则, 且, 所以在上一致连续.2 当时, , 且所以在上一致连续.综上,在上一致连续.例2 证明 在上一致连续, 但在上不一致连续.解: 当, 时, 而所以在上一致连续., 取, 且有,而 所以在上不一致连续.例3 讨论在上一致连续性.解: 设两数列 , , 但，所以在上不一致连续.由以上几例可看出本文的几种方法对判别函数的一致连续性来说较为方便、简洁, 显示出了它的优越性.结论证明函数一致连续性有很多种不同的方法，本文从不同类

13、型区间出发，给出了函数一致连续性的证明，运用利普希茨条件、康托定理和振幅数来证明函数一致连续性，通过证明，我们对上述一些定理进行了复习，从而更加深入熟练的掌握函数一致连续性的证明方法，以及它们的运用.参考文献：1华东师大数学系.数学分析M.上册.北京：高等教育出版社，1990.2范新华.判别函数一致连续的几种方法.常州工学院学报.Vol.17.No.4,2004.08.3华东师大数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，1999.100-101.4王少英.一致连续函数的判别法.唐山师范学院学报.第29卷第5期，2007.09.5刘红艳.一致连续函数的判定.科技信息.第23期，2008.6刘玉莲.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社，1997.144.7裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京.高等教育出版社，1993