第4章曲线和曲面1

1、12曲线曲面的计算机辅助设计源于曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪世纪60年代的飞机和汽车工业。年代的飞机和汽车工业。1962年法国雷诺汽车公司的年法国雷诺汽车公司的bzier提出了以逼近为基础的曲线曲面设计提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统系统unisurf，此前，此前de casteljau大约于大约于1959年在法国另一家汽车公司雪年在法国另一家汽车公司雪铁龙的铁龙的cad系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；1963年美国波音公司的年美国波音公司的ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程，提出用于飞机设计的参数三次方程

2、，将将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，并用三次参数曲线构造组合曲线，曲线曲面表示成参数矢量函数形式，并用三次参数曲线构造组合曲线，用四个角点的位置矢量及其两个方向的切矢量定义三次曲面。用四个角点的位置矢量及其两个方向的切矢量定义三次曲面。1964年年mit的教授的教授steven a. coons提出了被后人称为超限插值的新思想，提出了被后人称为超限插值的新思想，通过插值四条任意的边界曲线来构造曲面通过插值四条任意的边界曲线来构造曲面 ；1972年，年，deboor和和cox分别给出分别给出b样条的标准算法；样条的标准算法；1975年以后，年以后，riesenfeld等人研究了非均匀等人研究了

3、非均匀b样条曲线曲面，美国锡拉样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的丘兹大学的 versprille研究了有理研究了有理b样条曲线曲面，样条曲线曲面，20世纪世纪80年末、年末、90年年代初，代初，piegl和和tiller等人对有理等人对有理b样条曲线曲面进行了深入的研究，并形样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理成非均匀有理b样条样条(non-uniform rational b-spline，简称，简称nurbs)；1991年国际标准组织年国际标准组织(iso)正式颁布了产品数据交换的国际标准正式颁布了产品数据交换的国际标准step，nurbs是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面

4、。是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。3)(xfy0),(yxf( , )zf x y( , , )0f x y z 45 在空间曲线的参数表示中，曲线上每一在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个参数点的坐标均要表示成某个参数t t的一个函数式，的一个函数式，则曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：则曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：)(txx )(tyy )(tzz 把三个方程合写到一起，曲线上一点坐把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：标的矢量表示是：)()()()(tztytxt p6关于参数关于参数t t的切矢量或导函数是：的切矢量或导函数是：)( )(

5、)( )( tztytxt p曲面写为参数方程形式为曲面写为参数方程形式为: :),(),(),(wuzzwuyywuxx),(),(),(),(wuzwuywuxwup 曲线的某一部分，可以简单地用曲线的某一部分，可以简单地用atb界界定它的范围，定它的范围，通常经过对参数变量的规格化，通常经过对参数变量的规格化，使使t在在0,1闭区间内变化，写成闭区间内变化，写成t0,1，对此，对此区间内的参数曲线进行研究。区间内的参数曲线进行研究。7例题：参数表示的直线段例题：参数表示的直线段 端点坐标分别是端点坐标分别是p1x1,y1，p2x2,y2， 直线段的参数表达式是：直线段的参数表达式是： p

6、(t)= p1+( p2- p1) t = (1-t)p1+ tp2 0t1；参数表示相应的参数表示相应的x,y坐标分量是：坐标分量是： x(t)= x1+(x2-x1) t y(t)= y1+(y2-y1) t 0t1 )( )( )( 1212yyxxtytxtpjip)()()( 1212yyxxt8空间直线段：空间直线段： p1x1,y1,z1, p2x2,y2,z2 p(t)代表曲线上的一点代表曲线上的一点p(t)= p1+( p2- p1) t = (1-t)p1+ tp2 121212)( )( )( )( zzyyxxtztytxtptzzzzttyyyytxxxx)(10 )

7、()(121121121910(4) (4) 参数方程中，代数、几何相关和无关的变参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。间去。(5) (5) 规格化的参数变量规格化的参数变量t t0,1,0,1,使其相应的几使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于实现光顺连接。易于实现光顺连接。(6) (6) 易于

8、用矢量和矩阵表示几何分量，计算处易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。理简便易行。 111213给定函数给定函数f(xf(x) )在区间在区间a,ba,b 中互异的中互异的n n个点的值个点的值f(xf(xi i), ), i=1,2,n,i=1,2,n,基于这些数据寻找某一个函数基于这些数据寻找某一个函数，要求，要求 ， 为为f(xf(x) )的插值函数，的插值函数，x xi i为插值节为插值节点。点。(1)(1)线性插值线性插值设已知函数设已知函数f(x)在两个不同点在两个不同点x1,x2的值，的值，y1=f(x1)，y2=f(x2)，用线性函数，用线性函数 近似代替近似代替y=

9、f(x),选择选择a,b使使 ，则称，则称 为为f(x)的线性插值函数。的线性插值函数。(2)(2)抛物线插值抛物线插值( (二次插值）二次插值）设已知设已知f(x)在三个互异点在三个互异点x1,x2,x3的函数值为的函数值为y1=f(x1), y2 =f(x2), y3=f(x3), 要求构造函数要求构造函数 在在节点节点xi处有处有 ，称，称 为为f(x) 的二次插值。的二次插值。)(,)(2xcbxaxx)()(iixfx( )x( )yxaxb1122(), ()xyxy( )( )iixf x( )x( )x( )x14逼近常用方法逼近常用方法 最小二乘法最小二乘法假设已知一组型值点

10、假设已知一组型值点(xi,yi), i=1,2,n,要求构造一要求构造一个个m (mn-1) 次多项式函数次多项式函数y=f(x)逼近这些型值逼近这些型值点。点。偏差的平方和最小：偏差的平方和最小：加权平方和最小：加权平方和最小：令令f(x)f(x)为一个为一个m m次多项式次多项式 最小二乘法就是定出最小二乘法就是定出ai i使偏差平方和最小。使偏差平方和最小。nkkkyxf12,)(21)(knkkkyxfdimiixaxf0)(151617曲线段间曲线段间c1、c2和和g1、g2连续性定义连续性定义 1.q1(1)=q2(0),则则q1(t)和和q2(t)在在p处有处有c0和和g0连续性

11、；连续性；2.q1(1)和和q2(0)在在p处重合，且其在处重合，且其在p点处的切矢量方向点处的切矢量方向 相同，大小相等，则相同，大小相等，则q1(t)和和q2(t)在在p处有处有c1连续性；连续性；3.q1(1)和和q2(0)在在p处重合，且其在处重合，且其在p点处的切矢量方向点处的切矢量方向 相同，大小不等，则相同，大小不等，则q1(t)和和q2(t)在在p处有处有g1连续性；连续性；4.q1(1)和和q2(0)在在p处已有处已有c0和和c1连续，且连续，且q”1(1)和和 q”2(0)大小方向均相同，则大小方向均相同，则q1(t)和和q2(t)在在p处有处有c2连连 续性；续性；5.q

12、1(1)和和q2(0)在在p处已有处已有g0和和g1连续，且连续，且q”1(1)和和 q”2(0)方向相同但大小不等，则方向相同但大小不等，则q1(t)和和q2(t)在在p处处 有有g2连续性；连续性；6.推广之，推广之，q1(1)和和q2(0)在在p处已有处已有c0、c1、cn1连续，若连续，若q(n)1(1)和和q(n)2(0)在在p处大小和方向均相同，则处大小和方向均相同，则说说q1(t)和和q2(t)在在p处具有处具有cn连续性。连续性。18192021)()()()(pitjfitj2201( )i(1)(0)(1)000(1)(0)(1)111(1)(0)(1)( ),0,1,;0

13、,1,m -1( ),( ),( )( ),( ),( )( ),( ),( )kjimmmkkkftik jftftftftftftftftft共计n=m0+m1+m2+mk个已知条件。23 当当m0 = m1 = mk = 1时，这个问题就是时，这个问题就是熟知的熟知的lagrange插值插值问题，即已知问题，即已知 f(t) 在在k+1个点上的函数值个点上的函数值 f(ti)，求一个，求一个k次多项式使之次多项式使之满足满足 。 kitftii,.1 , 0),()(p24 设表示一条曲线的某个函数设表示一条曲线的某个函数f(t)在四点在四点t0，t1，t2，t3的函数值的函数值f(t0

14、), f(t1),f(t2), f(t3)，根据，根据lagrange插值法，则三次多项式插值法，则三次多项式p(t)可表示为：可表示为： )()()()( )()()()()(p332211000tgtftgtftgtftgtftn 选择选择四个不同的点四个不同的点作为构造曲线的条件作为构造曲线的条件 25)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2313032103321202310231210132013020103210tttttttttttttgtttttttttttttgtttttttttttttgtttttttttttttg混合函数混合函数如

15、下如下：264.1 ,aaaa)(p10012233ttttttt)( )( p ),( )( p),()(p ),()(p11001100tfttfttfttft271122131102203001121231310012023030aa2a3)( aa2a3)( aaaa)(aaaa)(tttftttfttttfttttf可得到下列一组方程：可得到下列一组方程：283)01(20)1)0( 21)1( (30)1( 3)01(31)0( 0)1)0(61)1(621)0( 21)1( 2(1a3)01(20)1)1(321)1( 21)0( (30)1(1)1( (3)01(31)0(0)

16、21)0(331)0( (0atttttfttfttfttttftttfttfttfttftttttfttfttfttfttfttttftttfttf293)01()1(2)0(21)1( 1)0( 0)0( )1( (3a3)01(0)1(3)0(31)1( 1)0( (20)1( 2)0( (3)01(1)1(31)0(321)0(221)1( 2atttftfttfttfttftfttttftfttfttfttftfttttfttfttfttf303010120131010210)()32()()( )()32()()()(pttttttttfttttttttft2010210)()()

17、()( tttttttf,)()()()( 102011201ttttttttttf31经整理，所求多项式经整理，所求多项式p0(t)可以写出如下：可以写出如下：)()()( )()()( )()()()()(p01011010000110000ttthtfttthtftgtftgtft混合函数混合函数如下：如下：4.232201001101210101000201001101210110000)()(21)(21)(ttttttttthttttttttthtttttttttgtttttttttg4.3330)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(1)(10110010110000100000

18、1000ththtgtgththtgtg01101100101100001010000010001)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(ttththtgtgthttthtgtg34010ttttu解出解出 ，代入混合函数（，代入混合函数（4.34.3）式中，得：式中，得： utttt)(0104.435)(23322)23()()()(123322) 1)(21 ()()(010100101000100000uquuuuutttgtguquuuuutttgtg4.536)(232)1()()()(2232)1 ()()(110100101100100000uquuuuuttththuq

19、uuuuuuttthth4.537)()()( )()()( )()()()()(p)(p)(110111001001100001000uqtttfuqtttfuqtfuqtfutttuuf38)( ) 1 ( )( )0( )() 1 ()()0(01101010tttfftttfftfftff再令再令39) 1 ( )0( ) 1 ()0()()()()()() 1 ( )()0( )() 1 ()()0()(p11100100111001000ffffuququququqfuqfuqfuqfu40) 1 ( )0( ) 1 ()0(0001010012331122) 123() 1 (

20、)0( ) 1 ()0()23223233212332(ffffuuuffffuuuuuuuuu414243)()()( )()()( )()()()()(p11110110iiiiiiiiiiiiittthtfttthtftgtftgtft 将前面将前面t0和和t1视为视为ti和和ti+1，设给定，设给定f(ti)，f(ti+1)，f(ti)，f(ti+1)，则在区间，则在区间ti，ti+1的的hermite三次插值多项式三次插值多项式pi(t)是：是：441, 1 , 02111)(1 ,2111)(0 ,211121)(1 ,211121)(0 ,niititittitititttihi

21、titittitititttihititittitititttigititittitititttig45nnnnniiiiiiinttttgttttanittttgttttgtatttttttgta11 , 1100 ,10 ,11 , 10 ,1100 ,00 ,0 ),( , 0)(1, 2 , 1 , 0 ),( ),()( , 0 ),()(其它46nnnnnnniiiiiiiiiiintttttthttttanitttttthtttttthtattttttttthta111 , 1101 , 110 ,111 , 11 ,110010 , 01 , 0 ),()( , 0)(1, 2

22、 , 1 , 0 ),()( ),()()( , 0 ),()()(其它47niiiiitatftatft01 ,0 ,)()( )()()(p 上式在区间上式在区间t0，tn中有定义，且为分段定中有定义，且为分段定义。在每个区间义。在每个区间 ti，ti+1上，都恰有四项。满上，都恰有四项。满足插值条件足插值条件 nitfttftiiii, 1 , 0 ),()(p),()(p48 利用利用hermite插值方法可以为构造插值的插值方法可以为构造插值的曲线提供一个解法。曲线提供一个解法。 设我们已知设我们已知n+1个型值点的位置向量个型值点的位置向量pi和切线向量和切线向量pi，i=0，1，

23、n，则通过这，则通过这些插值点并且在插值点处切线向量为给定值些插值点并且在插值点处切线向量为给定值的三次参数样条曲线为：的三次参数样条曲线为： niiiiitatat01 ,0 ,)(p)(p()(p49)( p)( p)(p)(p)( p)( p)(p)(p)(p11 ,10 ,1 ,10 ,1 , 111 ,0 , 110 ,iiiiiiiiiiiiiiiiiiittththtgtgtatatatat50iiittttu1用逆变换用逆变换 代入，将所得关于代入，将所得关于u 的多项式记为的多项式记为 ，得，得 )(1iiittutt)(pui511123 p ppp000101001233

24、1122) 1(iiiiuuu)( p)2( p)32(p) 132(p)(p2312323123uuuuuuuuuuiiiii525312232)(12634)(uuuuyuuuux11221164) 123(112111410001010012331122) 123()(puuuuuuu54算法演示算法演示5510 , 10),(),(),(),(pwuwuzwuywuxwu)0 , 0(p00),(p2),(p),(pwuwuuwuwuwuuuwwuuw560, 0),(p2000, 0),(p00wuwuwuuwwuuwuu57为曲面片为曲面片p在点在点(u,w)处的处的扭扭曲向量曲向

25、量。58特别，用特别，用00，01，10，11分别表示曲面片四分别表示曲面片四个角点时，个角点时，00uw，01uw，10uw，11uw就分别表就分别表示在四个角点的扭曲向量。示在四个角点的扭曲向量。 59606123123032)(132)(tttftttfttfttf)(1)(10626364 10 , 1)()( 1)(0)(),(p10101uufufwufwufwu其中65 10 , 1)()(1)(0)(),(p10102wwfwfuwfuwfwu其中66011100100wu0u11wuw011100100w1wuwp1(u,w)01110010u0u1uwp2(u,w)6710

26、 , 1)()(10 , 1)()(1)(0)(1)(0)(),(p),(p),(p1010101021wwfwfuufufuwfuwfwufwufwuwuwus其中其中 ps(u,w)上的任意一点，其位移矢量包含两上的任意一点，其位移矢量包含两部分，一部分是由于部分，一部分是由于线性插值线性插值而产生的位移，而产生的位移，另一部分是由于另一部分是由于边界曲线边界曲线而产生的位移。而产生的位移。 把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面ps(u,w)： 6810 , 1)()(10 , 1)()(11)()(01)()(10)()(00)()(11)(01)()(1

27、0)(00)()(),(p1010110110001011003 wwfwfuufufufwfufwfufwfufwfufufwfufufwfwu，其中 为消除为消除ps(u,w)中由于线性插值而产生的位移，中由于线性插值而产生的位移，需要构造一个新的曲面需要构造一个新的曲面p3(u,w) 69 构造曲面构造曲面p3(u,w)后，从后，从ps(u,w)中去除中去除p3(u,w)，即去除线性插值的成分，则得到，即去除线性插值的成分，则得到coons构造曲面构造曲面 p(u,w)= ps(u,w) -p3(u,w) =p1(u,w)+ p2(u,w)- p3(u,w)可写成如下形式：可写成如下形式

28、： 70)()()(),()()(1 ,0)()( 1, 0),(p),(p),(p),(p10101010321wfwfmufufufufwwwfwfuuwuwuwuwuuw7111100100m 矩阵中四个元素是四个角点的位置向量，可用矩阵中四个元素是四个角点的位置向量，可用已知四条边界曲线计算求出。已知四条边界曲线计算求出。 u0，u1可以是关于可以是关于u的三次多项式，的三次多项式，0w，1w可可以是关于以是关于w的三次多项式，混合函数也是不超过的三次多项式，混合函数也是不超过三次的关于三次的关于u或或w的三次多项式，这时公式关于的三次多项式，这时公式关于u看，或关于看，或关于w看，都

29、是三次多项式，是关于看，都是三次多项式，是关于u或或w的双三次多项式。的双三次多项式。721001( ) 1,( ),( ) 0000100111011( )1uufwuwfuf uwwf w 7374wwfwfwwfwf0)(01)(00 0)(01)(001010右端75761) 1 (0) 1 (0) 1 (0) 1 (0)0(1)0(0)0(0)0(0) 1 (0) 1 (1) 1 (0) 1 (0)0(0)0(0)0(1)0(11100100111001001110010011100100qqqqqqqqqqqqqqqq7778)(11)(10)(01)(00)(11),(10),(

30、01),(00)(11)(10)(01)(001 ,0,1 ,0)(11)(10)(01)(001,0, 1,0wqwqwqwqmuququququququququwuwwwwqwqwqwqwuwuuuuw79uwuwuuuwuwuuwwwwm11101110010001001110111001000100 容易地验证所写出的公式满足要求，例如容易地验证所写出的公式满足要求，例如以以u=0代入该式右端，得：代入该式右端，得： 80wwwqwwqwwqwqwwqwwqwwqwq00)(1101)(1000)(0101)(00000)(1101)(1000)(0101)(0000右端8182uww

31、qwqwqwqmuwuwwwwqwqwqwquwuwuu0)(11)(10)(01)(00010001001010)(11)(10)(01)(0001000100右端8384uuuquququququuquuququ10 001000) )(11 )(10 )(01 )(00( )(1110)(1000)(0110)(0000085uuuquququququuquuququ11011101) )(11 )(10 )(01 )(00( )(1111)(1001)(0111)(0001186uwuwwwuwuwwwuquququququwuquwuqwuqwwuuquququququwuquwuqwuqwwu11011101) )(11 )(10 )(01 )(00( )(1111)(1001)(0111)(000