347 导数在研究函数几何性态中的应用

1、返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性1 . 4 . 3定理定理),(bad 有有若对若对),( bax , 0)(.10 xf; , )( 上递增上递增在在则则baxf, 0)(.20 xf. , )( 上递减上递减在在则则baxf、设设, )( bacxfy xyo)(xfy ababxyo)(xfy abba0)( xf0)( xf)(xf)(xf返

2、回注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(3上单调增加上单调增加在在 xy, 032 xy,3xy 返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点xyo)(xfy 单单调调上上升升显显然然)(xfy 同同当当上上升升情情况况有有明明显显的的不不0 x称称为为拐拐点点:0 xxyo0

3、x返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点xyo)(xfy abab递增递增)(xf 0 yxyo)(xfy abba递减递减)(xf 0 y定理定理,)( bacxf 设设上上具具有有二二阶阶导导数数在在 ),( ba有有若对若对),( bax , 0)( xf上是凹弧；上是凹弧；在在则则 , )( baxf.10, 0)( xf. , )( 上是凸弧上是凸弧在在

4、则则baxf.20)(xf)(xf返回返回曲线拐点的求法曲线拐点的求法 不不是是拐拐点点。则则不不变变号号的的左左右右两两侧侧邻邻近近如如果果在在是是曲曲线线的的拐拐点点；变变号号，则则的的左左右右两两侧侧邻邻近近如如果果在在可可疑疑点点。坐坐标标的的不不存存在在的的点点，是是拐拐点点横横的的点点和和)(, ,)(,)(,)()(0)(000000 xfxxfxxfxxfxxfxf 3xy xy6 3xy 0 , 00 , 0 xx返回例例.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,(

5、y内内但在但在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy .)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :xyo3xy 返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.6 3.6 曲线作图曲线作图函数的作图需要研

6、究函数的几何性态函数的作图需要研究函数的几何性态, 是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.xyoab极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 极小值极小值单减单减单增单增拐点拐点拐点拐点拐点拐点返回例例1 1解解.1的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用导函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点不能用一点处的

7、处的导数符号来判别一个区间上的单调性导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:d又又1)( xexf3.4.1 函数的单调性的判断函数的单调性的判断返回例例2 2解解.)(32的的单单调调性性讨讨论论函函数数xxf ).,(:d)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在0 ,( 32xy 返回3.4.2 单调区间求法单调区间求法如右图，如右图，函数在定义区间上不是单调的，但在各函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调

8、定义定义: :若函数在其定义域的某个区间若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的内是单调的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和导数等于零的点和不可导点不可导点，可能是单调区间，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 32xy 返回解解.31292)( 323的的单单调调区区间间确确定定例例 xxxxf).,(:d12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2,

9、 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在1 ,( 时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2返回.132 1 4xxx 时，时，试证：当试证：当例例证证xxxf132)( 设设 )(xfx121x )1(1232 xx, )1, )(上连续上连续在在 xf), 1( x又对又对0)( xf. )1, )(上递增上递增在在 xf, 1 x则对则对).1()( fxf 有有)( xf即即xx132 0)1(f3

10、.4.3利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式0)1( f？返回.)1ln(,0 5成立成立试证试证时时当当例例xxx 0)1ln( xx即即证证),1ln()(xxxf 设设 )(xf则则x 111xx 1), 0)( cxf), 0( x又又0)( xf有有上递增上递增在在 ), 0 )(xf时，时，当当0 x0)0()( fxf返回3.4.4利用函数的单调性证明方程仅有一根利用函数的单调性证明方程仅有一根内内有有且且仅仅有有一一个个实实根根。在在证证明明方方程程),()10(1sin axax连连续续，内内在在则则设设证证),()(, 1sin)( xfxaxxf, 01)

11、(, 01) 0( ff又又 由由零零点点定定理理，, 0cos1)( xaxf.),()10(1sin0)(内内有有且且仅仅有有一一个个实实根根在在，即即综综上上可可知知，方方程程 axaxxf6例例连连续续，内内在在又又, 0)( xf. ) , 0( 0)内内至至少少有有一一个个实实根根在在区区间间 f(x内内至至多多有有一一个个实实根根在在),()( xf返回曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.1 1、定义、定义2 2、拐点的求法、拐点的求法 是是拐拐点点。不不则则不不变变号号的的左左右右两两侧侧邻邻近近果果在在

12、是是曲曲线线的的拐拐点点；如如变变号号，则则侧侧邻邻近近的的左左右右两两可可疑疑点点。如如果果在在的的点点，是是拐拐点点横横坐坐标标的的不不存存在在的的点点和和与与极极值值点点的的判判别别类类似似，)(, ,)(,)(,)()(0)(000000 xfxxfxxfxxfxxfxf 的的点点不不 )(xf返回例例2 2.14334的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间求求曲曲线线 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1

13、 , 0()2711,32(注：注：拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点, ,从而拐点的坐标需从而拐点的坐标需用横坐标用横坐标与纵坐标同时表示与纵坐标同时表示, ,不能仅用横坐标表示不能仅用横坐标表示. .这与驻点及这与驻点及极值点的表示方法不一样极值点的表示方法不一样. .返回).,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy返回方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3

14、 3.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 返回例例5 判断曲线判断曲线 的凹性的凹性, , 并求其拐点并求其拐点. . 523385 33yxx 而而 (-,) 解解 定定义义域域为为0 , . :xy 当当时时不不存存在在 列列表表如如下下x0(0, )+不存在不存在0+y拐点拐点(0,0)拐点拐点 y(, 0)1(,)4 1411( ,

15、( )44f1435)1(xxy 314910 xxy 0 y令令41 x返回思考题思考题设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.返回思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐点不一定是拐点.例例4)(xxf ),( x0)0( f-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.8

16、0.91)0( 012)(2时时当当但但 xxxf返回曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方返回定义定义,)( cixf 设设有有、若对若对, 21ixx 2)()()2(2121xfxfxxf 凸的凸的向上向上上的图形是上的图形是在在则称则称)( )( ixf 凹凹xy01x2x221xx )(xfy 返回利用函数的凹凸性证明不等式利用函数的凹凸性证明不等式p.200

17、第第2题题定义定义,)( cixf 设设有有、若对若对, 21ixx 2)()()2(2121xfxfxxf 凸的凸的向上向上上的图形是上的图形是在在则称则称)( )( ixf 凹凹例例6 6).( ,22yxeeeyxyx 证明不等式证明不等式返回例例6 6).( ,22yxeeeyxyx 证明不等式证明不等式证证tetf )(令令tetftf )()(则则.),(),()(是是凹凹的的或或在在xyyxetft )2()()(21yxfyfxf 于是于是22yxyxeee 即即0 利用函数的凹凸性证明不等式利用函数的凹凸性证明不等式返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4

18、3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.5 3.5 函数的极值函数的极值oxyab)(xfy 1x2x4x5x6x极大值极大值: f(x2), f(x5);极大值点极大值点: x2和和x5极小值极小值: f(x1), f(x4) , f(x6); 极小值点极小值点: x1, x4和和x6定定义义有定义，有定义，在在设设),()(baxf),(0 xu某某若若 时，时，当当)(0 xux ),()(0 xfxf .)()(0的一个极大值的一个极大值是是则

19、称则称xfxf.)(0的一个极大值点的一个极大值点是是xfx 小小小小返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.5 3.5 函数的极值函数的极值oxyab)(xfy 1x2x4x5x6x极大值极大值: f(x2), f(x5);极大值点极大值点: x2和和x5极小值极小值: f(x1), f(x4) , f(x6); 极小值点极小值点: x1, x4和和x6定理定理3.5.13.5.1.)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的

20、的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 。处处取取得得极极值值，则则必必有有在在若若0)()(00 xfxxf定义定义曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.5 3.5 函数的极值函数的极值oxyab)(xfy 1x2x4x5x6x2 .5 .3定定理理内可导，内可导，某某在在设设)()(00 xuxxf0)(0 xf且且的符号不变，的符号不

21、变，两侧，两侧，在在)(.200 xfx 不是极值点；不是极值点；则则0 x的符号改变，的符号改变，两侧，两侧，在在)(.100 xfx 是极值点，是极值点，则则0 x不是极值点情不是极值点情形形3xy )0( , 032 xxy, 00 xy返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.5 3.5 函数的极值函数的极值oxyab)(xfy 1x2x4x5x6x3 . 5 . 3定理定理处处二二阶阶

22、可可导导，在在设设0)(xxf则则且且, 0)(0 xf，若若0)(.100 xf是极大值点；是极大值点；则则0 x，若若0)(.200 xf.0是极小值点是极小值点则则x返回例例解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.m3.5 函数的极值函数的极值返回求极值的步骤求极值

23、的步骤: :);()1(xf 求导数求导数的根、的根、求嫌疑点，即方程求嫌疑点，即方程0)()2( xf或不可导点；或不可导点；、在嫌疑点左右的正负号在嫌疑点左右的正负号观察观察)()3(xf ;)( 0的正负号的正负号或或xf .)4(求极值求极值3.5 函数的极值函数的极值返回x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 1例例.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf解解963)(2 xxxf)3)(1(3 xx，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点返回

24、的图形：的图形：593)(23 xxxxfmm xy0:另解另解66)( xxf)1(6 x)1( f0 是极大值点是极大值点 1 x)3(f 0 是极小值点是极小值点 1 x963)(2 xxxf)3)(1(3 xx，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点返回3.5.3 小结小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;

25、(注意使用条件注意使用条件)返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率函数的最值函数的最值有最值有最值闭区间上的连续函数必闭区间上的连续函数必步骤步骤: :1.1.求嫌疑点求嫌疑点; ;2. 2. 比较区间端点及嫌疑点的函数值比较区间端点及嫌疑点的函数值; ;3. 3. 最大的就是最大值最大的就是最大值, ,最小就是最小值最小就是最小值; ;注意注意: :对于实际问题，如果区间对于实际问题，如果区间

26、内部只有一个极值内部只有一个极值, ,则这个极值就是最值则这个极值就是最值. .ab返回步骤步骤: :1.1.求嫌疑点求嫌疑点; ;2. 2. 比较区间端点及嫌疑点的函数值比较区间端点及嫌疑点的函数值; ;注意注意: :3. 3. 最大的就是最大值最大的就是最大值, ,最小就是最小值最小就是最小值; ;对于实际问题，如果区间内部对于实际问题，如果区间内部只有一个极值只有一个极值, ,则这个极值就是最值则这个极值就是最值. .( (最大值或最小值最大值或最小值) )函数的最值函数的最值返回求函数的最值求函数的最值例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最

27、小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f返回，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy返回实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;最最小小）值值值值即即为为所所求求的的最最大大（或或点点，则则该该点点的的函函数数若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻返回点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2形形面面积积最最大大所所围围成成的的三三

28、角角及及线线处处的的切切线线与与直直使使曲曲线线在在该该点点上上求求一一点点，曲曲边边成成一一个个曲曲边边三三角角形形，在在围围及及抛抛物物线线，由由直直线线808022 xyxyxyxy返回解解),(2ttp设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线pt2ty txyopabc2xy )(2txt :a, 0 y)(2txt ),0 ,21( ta:b8 x)16, 8(2ttb ),0, 8(c)218(21tsabc )16(2tt 返回2)16(41)(ttts )25632(4123ttt )80( t )(ts)256643(412 tt)16)(163(41 tt, 0)( ts令

29、令316 t得唯一驻点得唯一驻点2min)31616(31641 s3)316( ) 16(舍去舍去 t)218(21tsabc )16(2tt txyopabc返回在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一个极小（大）值，则这个极小（大）就是最小个极小（大）值，则这个极小（大）就是最小（大）值。（大）值。注意注意：最值与极值的关系：最值与极值的关系返回小结小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求

30、最值的步骤实际问题求最值的步骤.返回思考题思考题 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？返回思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点. .例例xxfy )(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3

31、.6 3.6 曲线作图曲线作图函数的作图需要研究函数的几何性态函数的作图需要研究函数的几何性态, 是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.xyoab极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 极小值极小值单减单减单增单增拐点拐点拐点拐点拐点拐点返回函函数数的的初初等等几几何何特特征征：)1(性性定义域、奇偶性、周期定义域、奇偶性、周期轴的交点轴的交点、与与 yx极限：极限：)4(渐近线渐近线；，求求)()()2(xfxf ;单单调调性性、极极值值点点列表：列表：)3(凹凸性、拐点凹凸性、拐点可适当加一些点，可适当加一些点，使图形更精确使图形更精确3.6 函数图

32、形的描绘函数图形的描绘.0)(0)(的的点点，求求满满足足 xfxf图形描绘的步骤图形描绘的步骤返回2)1(4)(2 xxxf返回 )(lim)(lim00 xfxfxxxx或或如果如果铅直渐近线铅直渐近线. 1轴的渐近线）轴的渐近线）（垂直于（垂直于x.)(0的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么xfyxx 1例例)3)(2(1 xxyyx 2lim 2 yx 2lim yx 3lim yx 3lim 3有铅直渐近线有铅直渐近线y32 xx及及xy03.6.1 渐近线渐近线返回xyarctan ,2 y水平渐近线水平渐近线. 2轴的渐近线）轴的渐近线）（平行于（平行于x)()(li

33、m)(lim为常数为常数或或如果如果bbxfbxfxx .)(的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么xfyby 2例例有水平渐近线有水平渐近线y.2 yxy02 2 xxarctanlim2 xxarctanlim2 返回3.6.3 作图举例作图举例例例2 2.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xd非奇非偶函数非奇非偶函数, 无周期性无周期性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊点点渐渐近近线线凹凹凸凸性性、拐拐点点单单调调性性、极极值值点点性性定定义义域

34、域、奇奇偶偶性性、周周期期作作图图步步骤骤：. 4 ;3. ;. 2 ;. 1 返回列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 拐点拐点极小值点极小值点3 )926, 3( , 2 x驻点驻点. 3 x特殊点特殊点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平渐近线得水平渐近线2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得铅铅直直渐渐近近线线,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf 返回:补补充充点点);0

35、,31(),0 ,31( ),2, 1( a),6 , 1(b).1 , 2(c作图作图xyo2 3 2111 2 3 6abc2)1(4)(2 xxxfx)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 拐点拐点极小值点极小值点3 )926, 3( 返回2)1(4)(2 xxxf返回思考题解答思考题解答0sinlim xxx0 y是是其其图图象象的的渐渐近近线线.0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线. 1sinlim0 xxxxxysin 思考题思考题 两两坐坐标标轴轴0 x，0 y是是否否都都是是函函数数xxxfsin)( 的的渐渐近近线线

36、？返回一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲线曲线xey1 的水平渐近线为的水平渐近线为_._.2 2、 曲线曲线11 xy的水平渐近线为的水平渐近线为_，铅直渐近线为铅直渐近线为_._.二、二、 描出下列函数的图形：描出下列函数的图形：1 1、 xxy12 ；2 2、 22)1( xxy；3 3、 xysinln . .三、求曲线三、求曲线xxy1 的渐近线并画图的渐近线并画图 . .练练 习习 题题 1 y0 y1 x返回一一、1 1、1 y； 2 2、1, 0 xy. .练习题答案练习题答案xy392311oxy1 321o3223 1图图2图图二、二、返回xyo 3图图 2 3 2 三

37、、三、.0; xxy铅直渐近线铅直渐近线斜渐近线斜渐近线xy1 o 1返回斜渐近线斜渐近线. 30)()(lim baxxfx若若0)()(lim baxxfx0)()(lim baxxfx或或.)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是则则xfybaxy 求法：求法：0)()(lim xbaxxfx)(limaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy xxfx)(lim a b xy0返回斜渐近线斜渐近线. 30)()(lim baxxfx若若0)()(lim baxxfx或或.)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是则则xfybaxy 求法：求法：)

38、(limaxxfx xxfx)(lim a b xy0注意：注意：不存在不存在若若xxfx)(lim)1( ,)(lim)2(存在存在或或axxfx 不存在不存在但但)(limaxxfx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 返回3例例的渐近线的渐近线求求 1 xxy 解解， )1(lim0 xxx )1(lim0 xxx是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线0 x， )1(lim xxx曲线无水平渐近线曲线无水平渐近线xxxx1lim ， 1 )1(limxxxx 0 .是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线xy xy1 o 1返回4例例.1)3)(2(2)(的渐近线的渐

39、近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(:d )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 21)3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx1124lim xxx4 .42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy返回的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf返回函函数数的的初初等等特特征征：)1(性性定义域、奇偶性、周期定义域、奇偶性、周期轴的交点轴的交点、与与 yx极限：极限：)4(渐近线渐近线；，求求)()()2(

40、xfxf ;单单调调性性、极极值值点点列表：列表：)3(凹凸性、拐点凹凸性、拐点可适当加一些点，可适当加一些点，使图形更精确使图形更精确3.6.2 图形描绘的步骤图形描绘的步骤.0)(0)(的的点点，求求满满足足 xfxf返回1例例.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:d无奇偶性、周期性无奇偶性、周期性)(xf )(xf , 0)( xf令令. 1,31 xx得驻点得驻点, 0)( xf令令.31 x得得x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0),1

41、)(31(3 xx)31(6 x1232 xx26 x03.6.3 作图举例作图举例列表：列表：返回x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0 , 1( a)1 , 0(b)85,23(c11 3131 :补补充充点点),0 , 1( a),1 , 0(b).85,23(c的的图图形形作作函函数数1)(23 xxxxf),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf返回123 xxxy返回例例3 3.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解),(:

42、d偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx , 0)( x令令, 0 x得驻点得驻点, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊点点. 4 . 021)(0: xw.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平渐近线得水平渐近线返回x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21, 1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21, 1(e xyo11 21,2)(22xex

43、x .2)1)(1()(22xexxx 返回2221)(xex 返回3.6.4 小结小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的综合考察数应用的综合考察.xyoab极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.7 3.7 曲率曲率.)1(232yyk 返回第七节第七节 曲率曲

44、率一、弧微分一、弧微分二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径四、小结四、小结在生产实践和工程技术中，常常需要研在生产实践和工程技术中，常常需要研究曲线的弯曲程度，例如，设计铁路、究曲线的弯曲程度，例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。速来确定弯道的弯曲程度。.)1(232yyk 返回一、弧微分一、弧微分内内在区间在区间设函数设函数),( )(baxfnrta0 xmxxx xyo具有连续导数具有连续导数),(:00yxa基点基点,),(为任意一点为任意一点yxm规定：规定：; )1(

45、增大的方向一致增大的方向一致曲线的正向与曲线的正向与 x,)2(sam 时时的方向与曲线正向一致的方向与曲线正向一致当当am.,取负号取负号相反时相反时取正号取正号ss返回).(xss 单调增函数单调增函数),(yyxxn 设设如图，如图，ntmtmnmn ,0时时当当 x22)()(yxmn xxy 2)(1,12dxy smn ,ds22)()(dydxmt ,12dxy dyynt , 0.12dxyds 故故,)(为单调增函数为单调增函数xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式nmtra0 xxxx xyo返回例如，铁轨的曲率就是个关键问题：例如，铁轨的曲率就是个关键问题：曲

46、率返回 曲率.再看同一条曲线再看同一条曲线返回m1m2m3曲率.返回m1m2m3 曲率.返回m1m2m3 曲率.返回abb 故定义曲线故定义曲线absk .sksalim0 sdd . 曲率. ddlim0s存在若ss =.a 返回二、曲率二、曲率1m2m3m1 )2 弯曲程度越大弯曲程度越大转角越大转角越大mm nn )转角相同转角相同但弯曲程度不同但弯曲程度不同1s 2s 返回定义.skmm 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（返回) s ) .m .mcyxo设曲线设曲线c c是光滑的，是光滑的，, smm （. 切线转角为切线转角为mm定义定义.skmm 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段

47、（曲线曲线c在点在点m处的曲率处的曲率sks 0lim,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdk 二、曲率二、曲率 (定义为正的值定义为正的值)例子返回1例例的曲率的曲率求求 baxy 解解sks 0lim0 2例例的圆的曲率的圆的曲率求半径为求半径为 r 解解s rsks 0lim rs0limr1 注意注意:(1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.即直线不弯曲即直线不弯曲返回2、曲率的计算公式、曲率的计算公式,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12

48、dxyyd .)1(232yy ,arctany 有有.12dxyds s) .mc0myxodsdk ,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx ,)()(ttdxdyy dtdxdtyddxyd 22 ? dsdk ？)( )()( tdtttd 返回例例1 1?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(1 2232baxak 显然显然,2时时当当abx .最大最大k,)44,2(2为为抛抛物物线线的的顶顶点点又又aacbab .最最大大抛抛物物线线在在顶顶点点处处的的曲曲率率.)1(232yy dsdk 返回定义定义d)(xfy mk1 xyo处处在点在点设曲线设曲线),()(yxmxfy ,k的曲率为的曲率为