Ch2-z变换与离散时间傅里叶变换-24

1、 （第四版）数字信号处理教程程佩青清华大学出版社浙江理工大学 2013 目录绪论第1 章离散时间信号与系统第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)第3章离散傅里叶变换(DFT)第4章快速傅里叶变换(FFT)第5 章数字滤波器的基本结构第6章几种特殊滤波器及简单一、二阶数字滤波器设计第7章 IIR数字滤波器的设计方法第8章 FIR数字滤波器的设计方法第9章序列的抽取与插值第10章数字信号处理中的有限字长效应浙江理工大学 2013 第二章z变换2.1序列的z变换2.2离散时间傅里叶变换（DTFT）x (t)x (t)2.3模拟信号 、理想抽样信号 、序列x(n)以及aa它们的拉普拉斯变换、z

2、变换、傅里叶变换的关系，s平面到z平面的映射2.4离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2.5本章部分内容涉及的MATLAB函数及例题浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2.4.1 LSI系统的描述2.4.2 LSI系统的因果、稳定条件2.4.3 LSI系统的频率响应H(ej)的特点2.4.4频率响应的几何确定法2.4.5无限长单位冲激响应（IIR）系统与有限长单位冲激响应（FIR）系统浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2.4.1 LSI系统的描述1、时域中描述（1）h(n) = T (n)y(n) = x(n) h(n)（

3、2）常系数线性差分方程NM ( )( )ra y n k = b x n rkk=0r=0浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2、变换域y(n) = x(n) h(n)两边进行z变换Y(z) = X (z)H (z)H (z) = Y(z)系统函数，是 h(n)的z变换X (z)在单位圆上(z=ej)的系统函数就是系统的频率响应H(ej)。Y(e j )X (e j )H(e ) Fh(n) h(n)e jnj=n=浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2.4.2 LSI系统的因果、稳定条件一、因果系统单位脉冲响应h(n)为因果

4、序列的系统称为因果系统。h(n) = 0，n < 0因果序列为右边序列，Z变换的收敛域在圆外，且包括即 R <| z | x浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征二、稳定系统离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。( )h n < n=| h(n)zn |< 而Z变换的收敛域由满足的那些z值确n=定，因此稳定系统的系统函数 H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ej)存在。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征三、因果稳定系统因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数

5、H(z)必须在从单位圆到的整个Z域内收敛，即1| z | 也就是说H(z)的全部极点应落在单位圆之内。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征例 1已知系统函数为3z1zz1 222<|z|H(z) = =1z1 z (1 2z1)1z 2 2 求系统的单位脉冲响应及系统性质。解：系统函数H(z)有两个极点z =0.5, z =2。12从收敛域看，收敛域包括点，因此系统一定是因果系统。但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。n 1 2h(n) u(n) 2 u(n)=n由于2nu(n)项是发散的，可见系统确实是不稳定的。浙江理工大学 2013 2

6、.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征例 2已知系统函数为3z112zz1 22<| z |< 2H(z) = =1z1 z (1 2z1)1z 2 2 求系统的单位脉冲响应及系统性质。解：收敛域包括单位圆，因此系统是稳定的，但是非因果的。nh(n) = u(n)+ 2 u(n 1) 1 2n浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征四、系统函数和差分方程的关系线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为NM ( )( )a y n k = b x n rkrk=0r=0上式两边取z变换得NM( )( )Y z a z X z b zrk

7、=krk=0r=0M= r=0Nbrzrakzk( )( )X zY z( )所以 H z =离散时间系统的系统函数。k=0浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征Mr=brzrakzkY(z)X(z)H(z)=0Nk=0系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。上式是两个z-1的多项式之比，将其分别进行因式分解，可得M(1c z1) kb H(z) =10k Na (1d z1k0k=1式中，z=c是H(z)的零点，z=d是H(z)的极点，它们都由差kk分方程的系数a和b决定。因此，除了比例常数b /a以外，系统kk0 0函数完全由它的全部零点、极点

8、来确定。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征¾差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应。¾同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以必须同时给定系统的收敛域才行。¾对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在 Z平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2.4.3 LSI系统的频率响应H(ej)的特点jn设输入一复指数序列 x(n) e，=则系统的输出为单位取样响应h(n)和x(n)的卷积。(

9、) =y n( ) j nk ) = e jn(h k e( )h k e jk即k=k=j令H(e ) h(k)e jkk=jnjjn则输出 y(n) e H(e ) 其中e为系统输入序列。jnjnjn当输入为e，输出也含有e，则e称为系统的特征函数jH(e )称为特征值。jH(e j) =h(n)e jnH(e )称为系统的频率响应，且浙江理工大学 2013n= 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征H(e ) h(k)e jkk=j=jnjjny(n) e H(e ) 其中e为系统输入序列。上式表明，当线性时不变系统输入是频率为的复正弦序列时，输出为同频复正弦序列乘以加权函数H(

10、ej)。显然，H(e j)描述了复正弦序列通过线性时不变系统后，幅度和相位随频率的变化。换句话说，系统对复正弦序列的响应完全由H(e j)决定。故称H(ej)为线性时不变系统的频率响应。线性时不变系统的频率响应是其单位脉冲响应的傅里叶变换。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征由系统函数得到频响特性：( ) ( )( )=H e e j()jj=H eH zz = e j系统的频率响应H(ejw)是系统函数H(z)在单位圆上的值。( )j：幅频特性H e 输出与输入序列的幅度之比( ) ：相频特性输出对输入序列的相移( )e为周期函数，所以 H e为周期函数，其

11、周期为 2。jj浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征( ) ( ) ( )0.5y n = x n + x n 0.5 1例3已知离散时间系统的频率响应特性。解：系统的差分方程( ) ( ) ( )y n = 0.5x n + 0.5x n 1设系统为零状态的，方程两边取z变换( ) ( )( )1Y z 0.5X z 0.5z X z=+( )Y z= + z1系统函数( )H z =0.5 0.5( )X z浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征H(z)= 0.5+ 0.5z1系统的频率响应特性：H(e )= H(z)jz=

12、 je= +0.5(1 e j)+ ejj= 0.5ej e22222= cos ej22H ecos 2幅频特性相频特性( )j=()= + arg(cos )22浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征频率响应特性曲线( )H ej1( ) = cos2jH eLL 2O2幅频特性曲线()= + arg(cos ) (j )222LL 2 O2 相频曲线浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征x(n) = Acos( n+)，求系统的频率响应。0例 4设输入为Ax(n) Acos( n ) e= + =+e j( n+ )0 j(

13、 n+ )解：002AA=j j0ne e+ j j0ne e22= x (n)+ x (n)12Aj2Ajj n=x1(n) e e=j j ny (n) H(e ) e e00则的响应为的响应为012AAy2(n) H(e ) e e= jj j n=j 0n jx2(n) e e0022浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征根据线性系统的叠加原理可知系统对正弦输入A cos( n+)0的响应为y(n) = y (n)+ y (n)12A=H(e )e e H(e )e e jjj n + j j nj00002j0如果h(n)是实序列，则H(e )满足共轭

14、对称条件，即j= j0*H(e ) H (e )0j= j0因此有: | H(e ) | | H(e ) |0j = j0arg | H(e ) | arg | H(e ) |0浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征A=jj j n+ j j njy(n) H(e )e e H(e )e e 00002A2A200j0 )=| H(e ) |e jargH (e j e e | H(e ) |e jargH (e e ej0 ) j j n0+ j jj 0nj0 ) +e j( n+argH (e j0 )| H(e ) | e j( n+argH (ej00

15、0jj0=A| H(e ) | cos n argH(e )+ +00浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征jj0y(n) A| H(e ) | cos n+ + argH(e )=00当系统输入为正弦序列，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征线性时不变系统在任意输入情况下，输入与输出两者的傅里叶变换间的关系，可通过对卷积公式两端取傅里叶变换Fy(n) = Fx(n) h(n)由傅里叶变换性质得Y(e ) X (e )H(e

16、 j )j=jH(ej)表示系统的频率响应。一个系统的输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征若对Y(ej)取傅里叶反变换，可求得输出序列为12y(n) =H(e )X (e )e dj j jn若用极坐标形式表示频率响应，则系统的输入和输出的傅里叶变换的振幅和相位间的关系可表示为：Y(e ) H(e ) X (e j )j=j = jj + j arg Y(e ) arg H(e ) arg X (e ) 浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征*例5设有一系统，其输入输出关

17、系由以下差分方程确定11y(n) y(n1) = x(n)+ x(n1)22设系统是因果的。（1）求该系统的单位脉冲响应；（2）由(1)的结果，求输入x(n)=ejn的响应。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征11解：（1）y(n) y(n1) = x(n)+ x(n1)2对差分方程两端分别进行Z变换可得21= + 1 11Y(z) z Y(z) X (z) z X (z)2211+ z1Y(z)H z = =2121=1系统函数： ( )X (z)1 z1 1 z122系统函数 H(z)仅有一个极点， z =1/2，因为系统是因果1的，故H(z)的收敛域必须

18、包含，所以收敛域为|z|>1/2 。该收敛域又包括单位圆，所以系统也是稳定的。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2H(z) =111 z12对系统函数H(z)进行Z反变换，可得单位脉冲响应为nh(n) Z H(z) 2 u(n) (n)= 1 2=1浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征11+ z11（2）解法一：系统的频率响应为2H(z) =11 z1+ 1e je j22j=H(e ) H(z)= j1 1z e2由于系统是线性时不变且因果稳定的，故当输入 x(n)=ejn时，输出响应为11+ e j= 1e jn2

19、y(n) x(n)H(e ) e jn =j=131 e j2浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征 1 nh(n) = 2 u(n) (n) 2( ) =解法二： x n e jn1+ 1e j2jH(e ) =1 1e j2( ) = ( ) ( ) = h(m)e j nm)(=e h m e jnjny n x n h n( )m=m=11+ e j= 12=e H(e ) e jnjnj = e jn131 e j2浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2.4.4 频率响应的几何确定法M( ) z zr jIm z( )

20、H z =r=1N( )Dej z pkk=1B1A1M1( )1e zjp1( )=H e( )ej()rj= ejr=1Hz1A2N( )EC+ 1e pjk Re zk=1B O2 2令e z A ej =jp22rz2rre p B ej =jkkkM Ar( ) =jr=1幅频响应H eN Bkk=1MN ( )相位响应 = kr浙江理工大学k=1 2013r=1 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征y(n) = a y(n 1) + x(n)1例6求一阶离散系统的频率响应。解：差分方程y(n) = a y(n 1) + x(n)1系统函数zz a1H(z) =z >

21、 a1为了保证该系统稳定，要求a < 11浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征zz a1H(z) =频率响应e j1H(e )=je a (1 a cos) ja sin+j111幅度响应相位响应1( ) =jH e1+ a 2a cos211 a sin( ) = arctan11 a cos1浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征ej( )=zj0 < a < 11H eH(z) =z a1je a1浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征ej1( ) =H ej( )=H e

22、ja1：1 11+ a12 2a cosje a11浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征例 7设系统的差分方程为M1y(n) = x(n)+ x(n1)+ x(n2)+L+ x(nM +1) = x(nk)k=0这是M-1个单元延时及M个抽头相加所组成的电路，常称之为横向滤波器。试求其频率响应和单位冲激响应。解：令x(n)=(n)，将所给差分方程等式两端取z变换= + 1+ + (M 1)Y(z) X (z) z X (z) . z X (z)可得系统函数Y(z)X (z)M 11 zM1 z z (z 1)1=zM 1H(z) =zk=>| z | 0

23、M 1k=0浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征zM 1H(z) =| z |> 0M 1z (z 1)2j izi = e i = 0,1,2,L,M 1H(z)的零点满足z -1=0,即MM这些零点等间隔地分布在单位圆上，其第一个零点为 z =10(i=0)，它正好和单极点z =1相抵消，所以整个函数有(M-1)个零p2j i点zi =e (i =1,2,L,M 1)M在z=0处有(M-1)阶极点。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征1 zM1 z1H(z) =1 e jMsin( M / 2)sin( / 2)j=

24、 e j(M 1)/2H(e ) H(z)= jz e 1ejsin(M / 2)sin( / 2)H(e j ) =sin(M / 2)sin( / 2) jargH(e ) = (M 1) / 2+ arg浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征当输入为x(n)=(n)时，M1h(n) =(n)+(n1)+(n2)+L+(nM +1) = (nk)k=0系统只延时(M-1)位就不存在了，故单位脉冲响应h(n)只有M个值，即1 0 n M 1h(n) = 0其他浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征jImzM=6H(e j ) =

25、 sin(M / 2)sin( / 2)零点、极点对消1o1Rez(M1)阶极点(a)= (M 1) / 2 arg+sin(M / 2)argH(e jh(n)x(n)z1z1z10 1 2 3 4 5 M(b)ny(n)(e)（a）零-极点分布; （b）单位脉冲响应; (c) 幅度响应;(d) 相位响应; (e) 横向网络结构图浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征2.4.5无限长单位冲激响应（IIR）系统与有限长单位冲激响应（FIR）系统对于一个N阶的系统函数，它的一般表示式为MbkzkakzkH(z) = kN=0k=0该系统函数是 z的有理函数，如果它

26、仅仅具有一阶极点，那么-1它通常可以展开成如下形式:M NN+k=1Ak1d zk H(z) = B zrr1r=0浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征M NN+k=1Ak1d zk H(z) = B zrr1r=0前面一个和式是通过长除法得到的，只有在 MN时才存在。假设系统是因果的，则 H(z)的收敛域必须是在所有极点的外侧。M NN h(n) = B (nr)+ Akdknu(n)rr=0k=1若系统的单位脉冲响应延伸到无穷长，称之为“无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。若系统的单位脉冲响应是一个有限长序列，称之为“有限长单位脉冲响应系统”，简称

27、为FIR系统。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征Mk=NbkzkM NNAk1d z1k H(z) = B zr+0ra zkkr=0k=1k=0M NN h(n) = B (nr)+ Akdknu(n)rr=0k=1从IIR系统的定义可知，若要 h(n)为无限长序列，那么至少有一项Akdn u(n)，也即要求H(z)至少有一个非零极点。这只要分母多项式除 a外至少有一个系数 a0，则在有限 Z平面就会出k0k现极点，那么这个系统就是IIR系统。浙江理工大学 2013 2.4 离散线性移不变（LSI）系统的频域表征MbkzkakzkH(z) = kN=0k=0如果除a外全部a =0 (k=1, 2, , N)，则系统就属于FIR系统。0kH(z)在有限Z平面不能有极点，只存在零点。这时系统函数H(z)可表示为MH(z) = b zkkk=0浙江理工大