线段和的最小值问题

1、 - -线段和的最小值问题线段和的最小值问题a ab b如图，要在街道旁修建一个奶站如图，要在街道旁修建一个奶站p p，向居民区，向居民区a a、b b提供牛提供牛奶，奶站奶，奶站p p应建在什么地方，才能使从应建在什么地方，才能使从a a，b b到它的距离之到它的距离之和最短？为什么？和最短？为什么？街道街道 p pppa ab ba a p p如图，要在街道旁修建一个奶站如图，要在街道旁修建一个奶站p p，向居民区，向居民区a a、b b提供牛提供牛奶，奶站奶，奶站p p应建在什么地方，才能使从应建在什么地方，才能使从a a，b b到它的距离之到它的距离之和最短？为什么？和最短？为什么？街

2、街道道 pp求线段和最小值的一般步骤：求线段和最小值的一般步骤：连结对称点连结对称点a与与b之间的线段，交直线之间的线段，交直线l于点于点p，点点p即为所求的点，线段即为所求的点，线段ab的长就是的长就是ap+bp的最的最小值。小值。选点选点p所在直线所在直线l为对称轴；画出点为对称轴；画出点a的对称点的对称点a； b ba ap pl la a基本图形基本图形:两点一线两点一线b bb bp pl la a基本解法基本解法:利用对称性利用对称性,将将“折折”转转“直直”1 1、如图，正方形、如图，正方形abcdabcd的边长为的边长为2 2，e e为为abab的中点，的中点，p p是是aca

3、c上一动上一动点连结点连结bdbd，由正方形对称性可知，由正方形对称性可知，b b与与d d关于直线关于直线acac称连称连结结eded交交acac于于p p，则，则pb+pepb+pe的最小值等于线段的最小值等于线段_ 的长度，的长度，最小值等于最小值等于_；2、小聪根据实际情况，以街道旁为、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图轴，建立了如图1所示的所示的平面直角坐标系，测得平面直角坐标系，测得a点的坐标为（点的坐标为（0，3），），b点的坐标为点的坐标为（6，5），求从），求从a、b两点到奶站两点到奶站p距离之和的最小值。距离之和的最小值。练习练习apcbaepdcde5出题背景变

4、式有出题背景变式有：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。坐标轴、抛物线等。解题思路解题思路：找点关于线的对称点，实现找点关于线的对称点，实现“折折”转转“直直”。变式变式1 1（2008 2008 年湖北荆门市中考题）年湖北荆门市中考题） 如图，菱形如图，菱形abcdabcd 的两条对角线分别长的两条对角线分别长6 6 和和8 8，点点p p是对角线是对角线ac ac 上的一个动点，点上的一个动点，点m m、n n 分别是分别是边边abab、bcbc 的中点，则的中点，则pmpm+ +pnpn 的最小值是的最小值是_a ad d

5、c cb bm mn np pmmpp5 5练习练习 (2011 (2011广西广西试题改编）试题改编） 如图所示，在边长为如图所示，在边长为2 2的正三角形的正三角形abcabc中，中，e e、f f、g g分别为分别为abab、acac、bcbc的中点，点的中点，点p p线段线段efef上一个动点，上一个动点，连接连接bpbp、gpgp，则，则（1 1）pb+pgpb+pg的最小值是的最小值是 （2 2）bpgbpg周长的最小值是周长的最小值是 。 f fe ep pg gc cb ba app32变式变式2 2如图，在直角坐标系中，点如图，在直角坐标系中，点a a的坐标是（的坐标是（2,

6、42,4），点），点b b的坐标是（的坐标是（6,26,2），在），在y y轴和轴和x x轴上找两点轴上找两点p p、q q，使得，使得a a，b b，p p，q q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出并求出p p、q q两点的坐标。两点的坐标。bbaappqq.pq.课堂小结课堂小结不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最两点之间的所有连线中，线段最短短”，而转化的方法大都是借助于，而转化的方法大都是借助于“轴对称轴对称点点”，实现，实现“折折”转转“直

7、直”本节课我们学习了本节课我们学习了 问题，问题，这类问题的解题方法是怎样的？这类问题的解题方法是怎样的？线段和的最小值线段和的最小值数学思想：转化思想数学思想：转化思想练习、练习、(2010东营东营) )如图，已知二次函数如图，已知二次函数y=axy=ax2 2-4x+c-4x+c的图象与坐标轴交于点的图象与坐标轴交于点a a（-1-1， 0 0）和点）和点b b（0 0，- -5 5）（1 1）求该二次函数的解析式；）求该二次函数的解析式；（2 2）已知该函数图象的对称轴上存在一点）已知该函数图象的对称轴上存在一点p p，使得使得abpabp的周长最小请求出点的周长最小请求出点p p的坐标

8、的坐标xoabybp2 2、已知：如图，、已知：如图，abab是是o o的直径，的直径，ab=4ab=4，点，点c c是半圆的三等份点，点是半圆的三等份点，点d d是弧是弧bcbc的中点，的中点，abab上上有一动点有一动点p p，连接，连接pcpc，pdpd，则，则pc+pdpc+pd的最小值的最小值是多少？并画出点是多少？并画出点p p的位置的位置. . abcopddp1717217174171782 2、(2009(2009年鄂州年鄂州) )已知直角梯形已知直角梯形abcdabcd中，中，adadbcbc，ababbcbc，adad=2=2，bcbc= =dcdc=5=5，点，点p p

9、在在bcbc上移动，则当上移动，则当papa+ +pdpd取取最小值时，最小值时，apdapd中边中边apap上的高为（上的高为（ ）a a、 b、 c c、 d d、3 3apdbc.4 313，(03)c，doxybepac4.4.如图，抛物线如图，抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的顶点的顶点p p的坐标为的坐标为，交，交x x轴于轴于a a、b b两点，交两点，交y y轴于点轴于点（1 1）求抛物线的解析式）求抛物线的解析式（2 2）把）把abcabc绕绕abab的中点的中点e e旋转旋转180180，得到四边形，得到四边形adbcadbc判断四边形判断四边形adbcadbc的形状，并说明理由的形状，并说明理由（3 3）试问在线段）试问在线段acac上是否存在一点上是否存在一点f f，使得，使得fbdfbd的周长最小，的周长最小，若存在，请写出点若存在，请写出点f f的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由拓展拓展（20122012台州市中考题）台