材料力学 电子 第三章 扭转ppt课件

1、资料力学31 概述概述 32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图33 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律34 圆轴改动横截面上的应力圆轴改动横截面上的应力35 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数36 圆轴改动破坏与强度条件圆轴改动破坏与强度条件37 圆轴改动的变形圆轴改动的变形 刚度条件刚度条件第三章第三章 扭扭 转转 受改动载荷的构件受改动载荷的构件1 受改动载荷的构件受改动载荷的构件2汽车中的转向轴汽车中的转向轴受改动载荷的构件受改动载荷的构件3机器中的传动轴机器中的传动轴 受改动载荷的构件受改动载荷的构件431 概概 述述 轴：工程

2、中以改动为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、轴：工程中以改动为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。石油钻机中的钻杆等。改动：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线改动：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为改动变形。垂直，杆发生的变形为改动变形。ABOmmOBA改动角改动角：恣意两截面绕轴线转动而发生的角位移。：恣意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变剪应变：直角的改动量。：直角的改动量。mmOBA工工 程程 实实 例例32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩 传送

3、轴的传送功率、转数与外力偶矩的关系：传送轴的传送功率、转数与外力偶矩的关系：m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.mm)(kN1217nP.m其中：其中：P 功率，千瓦功率，千瓦kW n 转速，转转速，转/分分rpm其中：其中：P 功率，公制马力功率，公制马力PS n 转速，转转速，转/分分rpm其中：其中：P 功率，马力功率，马力HP n 转速，转转速，转/分分rpm1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规那么为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规那么为正，

4、反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置 强度计算强度计算(危险截面危险截面)。xT例例1知：一传动轴，知：一传动轴， n =300r/min，自动轮输入，自动轮输入 P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P

5、4=200kW，试绘制扭，试绘制扭矩图。矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.mnA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩扭矩按正方向设求扭矩扭矩按正方向设mkN78. 4 0 , 02121mTmTmxmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0-4243mTmTx绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险

6、截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.3733 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚0101rt r0：为平均半径一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：圆筒外表的各圆周线的外形、大小和间距均未改结论：圆筒外表的各圆周线的外形、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜

7、了同一微小角度 。 一切矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。一切矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。各横截面的大小外形间距不变，并依然坚持为平面。可假设各各横截面的大小外形间距不变，并依然坚持为平面。可假设各横截面绕轴线发生刚性转动。所以横截面上无正应力，只需切横截面绕轴线发生刚性转动。所以横截面上无正应力，只需切应力并且切应力与圆周相切。由于壁比较薄，可以为切应力和应力并且切应力与圆周相切。由于壁比较薄，可以为切应力和切应变沿壁厚均匀分布。由于沿周向变形无变化，可以为切应切应变沿壁厚均匀分布。由于沿周向变形无变化，可以为切应力沿周向也不发生变化。力沿周向也不发生变化。切应力分布规律和变形

8、规律曾经得到切应力分布规律和变形规律曾经得到, , 切应力和改动变形分别为多大切应力和改动变形分别为多大? ?T acddxbdy 无正应力无正应力 横截面上各点处，只产横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪生垂直于半径的均匀分布的剪应力应力 ，沿周向大小不变，方，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。向与该截面的扭矩方向一致。4. 与与 的关系：的关系：LRRL 微小矩形单元体如下图：微小矩形单元体如下图：L二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小： tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半径所作圆的面积。：平均半径所作圆的面积

9、。三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式称为剪应力互等定理。上式称为剪应力互等定理。 该定理阐明：在单元体相互垂直的两个平面上，该定理阐明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向那么共同指向或共同背叛该交线。的交线，其方向那么共同指向或共同背叛该交线。acddxb dy tz四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只需剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只需剪应力而无正应力作用，这种应力形状称为纯剪切应力形状。种应力形状称为纯剪切应

10、力形状。l T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：当剪应力不超越资料的剪切比例极限剪切虎克定律：当剪应力不超越资料的剪切比例极限时时 p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。G 式中：式中：G是资料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是资料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 一样，不同资料的一样，不同资料的G值可经过实验确定，值可经过实验确定，钢材的钢材的G值约为值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是阐明资料弹性性质的三剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是阐明资料弹性性质的三个常数。对各向同性资料，这三个弹性常

11、数之间存在以下关系个常数。对各向同性资料，这三个弹性常数之间存在以下关系推导详见后面章节：推导详见后面章节： 可见，在三个弹性常数中，只需知道恣意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只需知道恣意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。)1 ( 2EG由于由于G是资料常数，薄壁圆筒的改动角和剪应变可以经过扭矩表示出是资料常数，薄壁圆筒的改动角和剪应变可以经过扭矩表示出来：来：02GATGrGATLrL02薄壁圆筒求解小结薄壁圆筒求解小结实验察看实验察看几何特征几何特征周向线大小外形间距均不发生变化周向线大小外形间距均不发生变化. .纵向纵向线发生小角度倾斜线发生小角度倾斜. .倾斜角度沿

12、圆周一样倾斜角度沿圆周一样. .端部依然为平面端部依然为平面. .无正应力无正应力, ,只需切应力且与圆周相切只需切应力且与圆周相切. .切应力沿圆周均匀分布切应力沿圆周均匀分布. .各横截面发生各横截面发生刚性转动刚性转动. .薄壁圆筒薄壁圆筒, ,可以为应力可以为应力, ,应变沿厚度无变应变沿厚度无变化化. .静力平衡求得切应力静力平衡求得切应力( (扭矩知扭矩知) )剪应变和改动角之间的关系剪应变和改动角之间的关系. .物性实验得到扭矩和改动角之物性实验得到扭矩和改动角之间的线性关系间的线性关系. .对于线性资料引入剪切模量对于线性资料引入剪切模量( (资料常数资料常数, ,需事先给定需

13、事先给定) )变形大小变形大小34 圆轴改动截面上的应力圆轴改动截面上的应力改动圆轴横截面应力改动圆轴横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆改动实验察看：一、等直圆杆改动实验察看：二、等直圆杆改动时横截面上的应力：二、等直圆杆改动时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的与该点到圆心的间隔与该点到圆心的间隔成成正比。正比。xdd 改动

14、角沿长度方向变化率。2. 物理关系：物理关系：虎克定律：虎克定律：代入上式得：代入上式得：GxGxGGddddxGdd 3. 静力学关系：静力学关系：AxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pITOpdApIT横截面上距圆心为横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性资料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性资料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法经过外力偶矩求得。横截面上

15、的扭矩，由截面法经过外力偶矩求得。 该点到圆心的间隔。该点到圆心的间隔。 Ip截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 确定最大剪应力：确定最大剪应力：pIT由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数抗扭截面模量，抗扭截面系数抗扭截面模量， 几何量，单位：几何量，单位：mm3或或m3。 应力分布应力分布实心截面空心截面工程上采用空心截面构件：提高强度，节约资料，分量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约资料，分量轻，构造轻便，运用广泛。构造轻便，运用广泛。静力方程静力方程 ATdA)(Apd

16、AI2RIWpTpGITdxdpITTWTmax物理方程物理方程 G几何方程几何方程 dxd变形计算公式变形计算公式 应力计算公式应力计算公式 最大应力公式最大应力公式 结结 论论横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大大 圆轴改动时，横截面上一点剪应力和圆轴改动时，横截面上一点剪应力和剪应变与该点的极坐标呈比例剪应变与该点的极坐标呈比例 横截面最大剪应力与横截面的抗扭截横截面最大剪应力与横截面的抗扭截面模量成反比面模量成反比改动刚度改动刚度 横截面改动变形单位长度改动角横截面改动变形单位长度改动角与横截面的改动刚度成反比与横截面的改动刚度成反比抗扭截面模量抗扭截

17、面模量ApdAI2RIWpT)/(1800mGITdxdppIT TWTmaxmax画轴的扭矩图画轴的扭矩图极惯性矩和抗扭截面模量的计算极惯性矩和抗扭截面模量的计算 确定能够的危险截面确定能够的危险截面计算危险最大点应力计算危险最大点应力求出最大剪应力求出最大剪应力计算两截面相对改动角计算两截面相对改动角计算最大单位长度改动角计算最大单位长度改动角lpGIdxxT)(pGIlTpiiiGIlT 例例2.2 2.2 一空心圆轴如图一空心圆轴如图2.132.13a a所示，在所示，在A A、B B、C C处受处受外力偶作用。知外力偶作用。知 ， ， ，资料，资料G=80GpaG=80Gpa，试求，

18、试求1 1轴内的最大剪轴内的最大剪应力应力 ；2 2C C截面相对截面相对A A截面的改动角截面的改动角 150N mAM 50N mBM 100N mCM maxAC画轴的扭矩图画轴的扭矩图解：解：A、B能够为危险截面能够为危险截面max150kN m, 100kN mABMMM计算危险最大点应力计算危险最大点应力TAAAWTmax)24/18(1 (024. 0161015043380.8MPamax86.7MPa86.7MPa. 0.069radTBBBWTmax)22/18(1 (022. 01610100433所以，所以，计算改动角计算改动角21 ipiiiACGIlT例例2.2 2

19、.2 一空心圆轴如图一空心圆轴如图2.132.13a a所示，在所示，在A A、B B、C C处受处受外力偶作用。知外力偶作用。知 ， ， ，资料，资料G=80GpaG=80Gpa，试求，试求1 1轴内的最大剪轴内的最大剪应力应力 ；2 2C C截面相对截面相对A A截面的改动角截面的改动角 150N mAM 50N mBM 100N mCM maxAC单位：单位：mm4，m4。AIApd2 虽然由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，虽然由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDApa. 对于实心圆截面：DdO

20、35极惯性矩与抗扭界面系极惯性矩与抗扭界面系数数b. 对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOdIpd 432Wp=d 316IpD 432( 1- 4 )Wp=D 316( 1- 4 )=d / D对于实心圆截面对于实心圆截面对于圆环截面对于圆环截面低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。36圆轴改动破坏与强度条圆轴改动破坏与强度条件件一、改动失效与改动极限应力一、改动失效与改动极限应力在改动实验中，塑性资料试件受扭时，首先屈服，在试在改动实验中，塑性资料试件受扭时，首先屈服，在试件外表出现

21、横向与纵向的滑移线，继续增大改动力偶，件外表出现横向与纵向的滑移线，继续增大改动力偶，试件沿横截面剪断；脆性试件没有变形很小，最后会在试件沿横截面剪断；脆性试件没有变形很小，最后会在与轴线成与轴线成45o45o角的螺旋面发生断裂。角的螺旋面发生断裂。改动破坏：标志：屈服或是断裂改动破坏：标志：屈服或是断裂改动屈服应力：改动屈服应力：改动极限强度：改动极限强度：改动极限应力改动极限应力统称为二、等直圆杆改动时斜截面上的应力二、等直圆杆改动时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需求研讨斜截面上的应力。1. 点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)

22、(c)2. 斜截面上的应力； 取分别体如图(d)：(d)x(d)xnt转角规定：x轴正向转至截面外法线逆时针：为“+顺时针：为“由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 2cos ; 2sin 分析：当 = 0时，max00 , 0当 = 45时，0 , 45min45当 = 45时，0 , 45max45当 = 90时，max9090 , 045 由此可见：圆轴改动时，在横截由此可见：圆轴改动时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角方向角

23、 = 45的斜截面上作用有的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏景象。结论，就可解释前述的破坏景象。s对于塑性资料对于塑性资料, ,当横截面上的切应力到达当横截面上的切应力到达 时时, ,试件发生显著的试件发生显著的塑性变形塑性变形, , 称为改动屈服极限。称为改动屈服极限。ssNoImage对于脆性资料，试件在破坏前改动变形很小对于脆性资料，试件在破坏前改动变形很小, , 当切应力到达当切应力到达 时时, , 资料沿资料沿4545度螺旋面断开。度螺旋面断开。 称为改动强度极限。称为改动强度极限。b b 三、圆轴改动时的强度计算

24、三、圆轴改动时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算答应载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt四、圆轴的改动的强度条件四、圆轴的改动的强度条件 nu资料的改动许用剪应力资料的改动极限剪应力 平安系数对于塑性资料， 对于脆性资料， 6 . 05 . 0 t0 . 18 . 0对于塑性资料, 极限切应力普通取改动屈服极限; 对于脆性资料, 那么普通取改动强度极限。 例例2 2 功率为功率为150kW150kW，转速为，转

25、速为15.415.4转转/ /秒的电动机转子秒的电动机转子轴如图，许用剪应力轴如图，许用剪应力 =30M Pa, =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3 =D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt例汽车传动轴由例汽车传动轴由4545无缝钢控制成。知：无缝钢控制成。知：=60MPa=60MPa，假，假设钢管的外径设钢管的外径D D90mm90mm，管壁厚，管壁厚t=2.5mmt=2.5mm，轴所传动的最，轴所传动

26、的最大扭矩大扭矩M=1.5kN.m. M=1.5kN.m. 试：试：1 1、校核传动轴的强度；、校核传动轴的强度；2 2、与同、与同性能实心轴的分量比。性能实心轴的分量比。解：解：1 1、校核强度、校核强度)(1 2 . 0105 . 1)1 (2 . 0423643maxDtDPDDMWT代入数据后得：代入数据后得：maxmax50.33MPa50.33MPa60MPa;60MPa;强度足够强度足够2 2、设计实心轴直径、设计实心轴直径D1D1两轴的最大工两轴的最大工 作切应力相等作切应力相等) )max316331max0.21.5 1053.030.20.2 50.3PTTWDTDmm；

27、即3 3、两轴分量比、两轴分量比21. 3859053222222121dDDLALAGG空心轴实心轴D1Dt例例3 3图示芯轴图示芯轴ABAB与轴套与轴套CDCD的轴线重合，二者在的轴线重合，二者在B B、C C处连成处连成一体；在一体；在D D处无接触。知芯轴直径处无接触。知芯轴直径d = 66mmd = 66mm；轴套的外径；轴套的外径D D = 80mm= 80mm，壁厚，壁厚= 6mm= 6mm。假设二者资料一样，所能接受的。假设二者资料一样，所能接受的最大切应力不得超越最大切应力不得超越60MPa60MPa。试求构造所能接受的最大外。试求构造所能接受的最大外改动力偶矩改动力偶矩T

28、T。 解：芯轴与轴套只在下面部分解：芯轴与轴套只在下面部分B处相衔接，在上部处相衔接，在上部D处，二者互不接触，所以，芯轴与轴套都是在两端接处，二者互不接触，所以，芯轴与轴套都是在两端接受扭矩。受扭矩。1. 芯轴横截面上的最大切应力为：芯轴横截面上的最大切应力为：6311pmax106016dTWMx轴 根据对最大切应力切应力的限制，有根据对最大切应力切应力的限制，有1max3116xpMTdW图示芯轴图示芯轴ABAB与轴套与轴套CDCD的轴线重合，二者在的轴线重合，二者在B B、C C处连成一体；在处连成一体；在D D处处无接触。知芯轴直径无接触。知芯轴直径d = 66mmd = 66mm；

29、轴套的外径；轴套的外径D = 80mmD = 80mm，壁厚，壁厚= = 6mm6mm。假设二者资料一样，所能接受的最大切应力不得超越。假设二者资料一样，所能接受的最大切应力不得超越60MPa60MPa。试求构造所能接受的最大外改动力偶矩试求构造所能接受的最大外改动力偶矩T T。 6311pmax106016dTWMx轴 根据对最大切应力切应力的限制，有根据对最大切应力切应力的限制，有 因此得到芯轴所能接受的最大扭矩因此得到芯轴所能接受的最大扭矩36916660 10103387N m16T4322pmax)8068(116 dTWMx套64322pmax1060)8068(116dTWMx套

30、 因此得到轴套所能接受的最大扭矩因此得到轴套所能接受的最大扭矩2883)2017(1101680106049362TNm图示芯轴图示芯轴ABAB与轴套与轴套CDCD的轴线重合，二者在的轴线重合，二者在B B、C C处连成一体；在处连成一体；在D D处处无接触。知芯轴直径无接触。知芯轴直径d = 66mmd = 66mm；轴套的外径；轴套的外径D = 80mmD = 80mm，壁厚，壁厚= = 6mm6mm。假设二者资料一样，所能接受的最大切应力不得超越。假设二者资料一样，所能接受的最大切应力不得超越60MPa60MPa。试求构造所能接受的最大外改动力偶矩试求构造所能接受的最大外改动力偶矩T T

31、。 3. 构造所能接受的最大改动力偶：构造所能接受的最大改动力偶： 根据上述结果，根据上述结果，整个构造所能接受的最大改动力偶为整个构造所能接受的最大改动力偶为33871TNm 28832TNmmax122min,2883TT TTNm图示芯轴图示芯轴ABAB与轴套与轴套CDCD的轴线重合，二者在的轴线重合，二者在B B、C C处连成一体；在处连成一体；在D D处处无接触。知芯轴直径无接触。知芯轴直径d = 66mmd = 66mm；轴套的外径；轴套的外径D = 80mmD = 80mm，壁厚，壁厚= = 6mm6mm。假设二者资料一样，所能接受的最大切应力不得超越。假设二者资料一样，所能接受

32、的最大切应力不得超越60MPa60MPa。试求构造所能接受的最大外改动力偶矩试求构造所能接受的最大外改动力偶矩T T。 例例4 4 图示实心圆轴接受外改动力偶，其力偶矩图示实心圆轴接受外改动力偶，其力偶矩T = 3kNmT = 3kNm。试求：试求：1 1轴横截面上的最大切应力；轴横截面上的最大切应力；2 2轴横截面上半径轴横截面上半径r = 15mmr = 15mm以内部分接受的扭矩所占全以内部分接受的扭矩所占全部横截面上扭矩的部横截面上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r = 15mmr = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力添加以内部分，横截面上的最大切应力添加的百分比的百分比解

33、：解：1轴横截面上的最大切应力轴横截面上的最大切应力PP1WTWMxmax3333 101670.7MPa 0.0616Td 图示实心圆轴接受外改动力偶，其力偶矩图示实心圆轴接受外改动力偶，其力偶矩T = 3kNmT = 3kNm。试求：。试求：1 1轴横截面上的最大切应力；轴横截面上的最大切应力；2 2轴横截面上半径轴横截面上半径r = 15mmr = 15mm以内部分接受的扭矩所占全部横截面以内部分接受的扭矩所占全部横截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r = 15mmr = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力添加的百分比以内部分，横截面上的最大切应力添加的百分比解：解

34、： 2. 轴横截面上半径轴横截面上半径r = 15mm以内部分接以内部分接受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：1drAMA 0p2 drxMI 4p24xMrI解：解： 2. 轴横截面上半径轴横截面上半径r = 15mm以内部分接受的扭矩所占全部以内部分接受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：横截面上扭矩的百分比：104224rxrApxpMMr tdArrprdrIpMrI444p224432rxMrrdMI4441615116 ()6.25%6016rd 图示实心圆轴接受外改动力偶，其力偶矩图示实心圆轴接受外改动力偶，其力偶矩T = 3kNmT =

35、3kNm。试求：。试求：1 1轴横截面上的最大切应力；轴横截面上的最大切应力；2 2轴横截面上半径轴横截面上半径r = 15mmr = 15mm以内部分接受的扭矩所占全部横截面以内部分接受的扭矩所占全部横截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r = 15mmr = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力添加的百分比以内部分，横截面上的最大切应力添加的百分比 解解 : 3去掉去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力添以内部分，横截面上的最大切应力添加的百分比：加的百分比：采用圆环截面的改动最大切应力公式采用圆环截面的改动最大切应力公式2max341-16xpMTdW301

36、6022max3411-( )162xpMTdW442max1max441max1( )-126.67%11-151-( )2 图示实心圆轴接受外改动力偶，其力偶矩图示实心圆轴接受外改动力偶，其力偶矩T = 3kNmT = 3kNm。试求：。试求：1 1轴横截面上的最大切应力；轴横截面上的最大切应力；2 2轴横截面上半径轴横截面上半径r = 15mmr = 15mm以内部分接受的扭矩所占全部横截面以内部分接受的扭矩所占全部横截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r = 15mmr = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力添加的百分比以内部分，横截面上的最大切应力添加的百分比思索

37、问题思索问题 1去掉去掉r = 15mm以内部分，以内部分，所用资料将会减少多少？所用资料将会减少多少？ 2假设中心假设中心r = 15mm以内部以内部分所用的是另一种资料，这时，分所用的是另一种资料，这时，横截面上的最大切应力将发生在横截面上的最大切应力将发生在哪里？计算这时的最大切应力，哪里？计算这时的最大切应力，还需求什么条件？还需求什么条件？r = 15mm37 圆轴改动变形与刚度条件圆轴改动变形与刚度条件一、改动时的变形一、改动时的变形由公式pGITx dd 知：长为 l一段杆两截面间相对改动角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp二、单位长度改动角二、单位长度改动角

38、：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件或GIp反映了截面尺寸和资料性能抵抗改动变形的才干，称为反映了截面尺寸和资料性能抵抗改动变形的才干，称为圆轴的抗扭刚度。圆轴的抗扭刚度。 称为许用单位长度改动角。 (rad/m) maxmaxpGIT /m)( 180 maxmaxpGIT 刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算答应载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可根据此条件进展选材。各类轴的许用单位长度改动角可在有关的机械设计手册中查得。各类轴的许用单位长度改动角可在有关的机械设计手

39、册中查得。对精细机器的轴对精细机器的轴q=(0.25q=(0.250.50)0/m0.50)0/m；普通传动轴普通传动轴q =(0.5q =(0.51.0)0/m1.0)0/m；精度要求不高的轴精度要求不高的轴q =(1.0q =(1.02.5)0/m2.5)0/m。 例例55长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图，假设杆的内外径之比为假设杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，G=80GPa G=80GPa ，许用剪应力，许用剪应力 =30MPa=30MPa，试设计杆的外径；假设，试设计杆的外径；假设 =

40、2/m =2/m ，试校核此杆，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由改动刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT40NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP 例例6 6 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / minn = 500 r / min，输入

41、功率，输入功率N1 = N1 = 500 500 马力，马力， 输出功率分别输出功率分别 N2 = 200 N2 = 200马力及马力及 N3 = 300 N3 = 300马马力，知：力，知：G=80GPa G=80GPa ， =70M Pa =70M Pa， =1/m =1/m ，试确定：，试确定： AB AB 段直径段直径 d1 d1和和 BC BC 段直径段直径 d2 d2 ？ 假设全轴选同不断径，应为多少？假设全轴选同不断径，应为多少？ 自动轮与从动轮如何安排合理？自动轮与从动轮如何安排合理？解：图示形状下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.

42、21(kNm)m)(kN0247nN.m16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同不断径时 mm851 dd 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如下图,此时,轴的最大直径才 为 75mm

43、。Tx 4.21(kNm)2.814圆轴改动的强度设计的简化公式圆轴改动的强度设计的简化公式实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴163maxmaxdMT)1 (1643maxmaxDMT3max16TMd 34max)1(16TMD33 10. 0954916nNnNd例如：富康轿车额定功率65kW，2500转为设计工况mmd30250065 10. 03v接受同样最大扭矩的一样资料制成的等强度圆轴，谁重谁轻？圆轴改动的刚度设计简化公式圆轴改动的刚度设计简化公式实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴4max18032GMdT44 09. 0180954932nNnGNd例如：富康轿车额定功率65kW，2

44、500转为设计工况mmd36250065 09. 04v接受同样最大扭矩的一样资料制成的等刚度圆轴，谁重谁轻？)/(1803204maxmdGMT)/(180)1 (32044maxmDGMT44max180)1(32GMDT补充：改动超静定问题补充：改动超静定问题 密圈弹簧变形密圈弹簧变形 非圆截面杆改动非圆截面杆改动 薄壁杆件改动薄壁杆件改动本章终了本章终了39 等直圆杆的改动超静定问题等直圆杆的改动超静定问题处理改动超静定问题的方法步骤：处理改动超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物

45、理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 例例77长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图，假设杆的内外径之比为假设杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，外径，外径 D=0.0226m D=0.0226m ，G=80GPaG=80GPa，试求固定端反力偶。试求固定端反力偶。解：杆的受力图如图示，解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。 平衡方程为：平衡方程为：02BAmmmAB几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何

46、方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另另: :此题可由对称性直接求得结果。此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm3-10 3-10 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算 1. 1. 弹簧丝横截面上的应力弹簧丝横截面上的应力 由由Q Q引起的剪应力引起的剪应力 由由T T引起的最大剪应力引起的最大剪应力 横截面上的内力横截面上的内力其中其中由由对某些工程实践问题，如机车车辆中的重弹簧，对某些工程实践问题，如机车车辆中的重弹簧，的值并不太小，此时不仅要思索剪力，还要思索弹簧丝曲

47、率的的值并不太小，此时不仅要思索剪力，还要思索弹簧丝曲率的影响，进一步实际分析和修正系数影响，进一步实际分析和修正系数k k的选取可见有关参考书。的选取可见有关参考书。 密圈弹簧丝的强度条件是密圈弹簧丝的强度条件是 设弹簧在轴向压力或拉力作用下，轴线方向的总缩短或伸长量为 ，这是弹簧的整体的紧缩或拉伸变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功 。簧丝横截面上，距圆心为 的恣意点的改动剪应力为2. 弹簧的变形弹簧的变形如以为簧丝是纯改动，那么其相应的单位体积变形能是由，那么得到是弹簧圈的平均半径。假设引入记号那么上式可写成代表弹簧抵抗变形的才干，称为弹簧刚度。可见与成反比，越大那么越小。 其中【例

48、4-5】 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径 ，簧丝直径 ，有效圈数 ， 资料的 。弹簧任务时受 KN，求此弹簧的最大紧缩量与最大剪应力(略去弹簧曲率的影响)。【解】：由变形公式求最大紧缩量 思索剪切力时 不思索剪力影响时，相差5.9% 。由于，还应思索曲率影响，此处从略。 3-11 3-11 非圆截面杆改动的概念非圆截面杆改动的概念 杆件受改动力偶作用发生变形，变形后其横截杆件受改动力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再坚持平面，而发生面将不再坚持平面，而发生“翘曲翘曲 改动时，假设各横截面翘曲是自在的，不受约束，此改动时，假设各横截面翘曲是自在的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处一样，杆件轴向纤维的长度时相邻横截面的翘曲处处一样，杆件轴向纤维的长度无变化，因此横截面上，只需剪应力没有正应力，这无变化，因此横截面上，只需剪应力没有正应力，这种