全国中学生物理竞赛课件8：功与能

1、 利用图象求功之方法适用于当力对位移的关利用图象求功之方法适用于当力对位移的关 系为线性时系为线性时;或在表示力对位移关系的或在表示力对位移关系的F-s示功图示功图 中中F(s)图线与图线与s轴围成的图形轴围成的图形“面积面积”有公式可有公式可 依时依时;因为在因为在F-s示功图中，这种示功图中，这种“面积面积”的物理的物理 意义就是功的大小意义就是功的大小 方法方法 A A s F 0 x W 锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能的能 量传给木桩，且木桩所受阻力量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度与插入深度x成正比，试求木桩每次打入

2、的深度成正比，试求木桩每次打入的深度 比若第一次打击使木桩插入了全长的比若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？，全部插入须锤击多少次？ 本题中的阻力本题中的阻力f为一与位移为一与位移x成正比的变力，即成正比的变力，即f=kx 示功图示功图 x F 0 x1x2x3 l W0 W0 W0 图中各阴影图中各阴影“面积面积” 表示第表示第1、2、 3次锤击中，木桩克服阻力做次锤击中，木桩克服阻力做 的功，数值上等于锤传给木桩的的功，数值上等于锤传给木桩的 能量，设为能量，设为W0 由图由图 2222 1230000 23 n xxxxWWWnW : : : : : : : :

3、123 123 n xxxxn : : : : : : : : 123 12321 n nxxxnx : : :- -: : : : : :1 1 当当xn=l时，由时，由 1 1 n xxn : : : 1 3 l l n 9n 次次 某质点受到某质点受到F=6x2的力的作用，从的力的作用，从x=0处移处移 到到x=2.0 m处，试求力处，试求力F做了多少功？做了多少功？ 本题中的变力力本题中的变力力F与位移与位移x成成F=6x2关系，关系，F-x图线为抛物线图线为抛物线 示功图示功图 24 x/m F/N 0 2 W 图中图中 “面积面积” 表示表示F力做的功力做的功 “面积面积” 由阿基

4、米德公式由阿基米德公式 2 3 S 弓弓 底底高高 由示功图得由示功图得F力做的功力做的功 1 2 WSS 矩矩弓弓 12 224424J 23 16 J J 如图所示，一质量为如图所示，一质量为m，长为，长为l的柔软绳索，一部分平直地放在的柔软绳索，一部分平直地放在 桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为 柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？由这一位置开始运动，由这一位置开始运动， 柔绳刚离开桌面时的速度多大？柔绳刚离开桌面时的速度多大

5、？ 设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0，则由，则由 00 mm xglxg ll 0min 1 lx 柔绳恰由静止开始下滑至以柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理离开桌面，由动能定理 2 1 2 Gf WWmv 其中，重力功等于绳重力势能减少其中，重力功等于绳重力势能减少 0 0 22 G xmlm Wlgx g ll 22 0 2 mg lx l 摩擦力为线性变力：摩擦力为线性变力： f m Fxg l 示功图示功图 x Ff 0 l-x0 0 m lxg l Wf x 2 0 2 f mg lx l W 222 0 02 g lx g

6、 lx v ll 1 v gl 一质点的质量为一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小，被固定中心排斥，斥力的大小 F=mr，其中，其中r为质点离开此中心的距离在开始时，为质点离开此中心的距离在开始时，r0=a，v=0，求，求 质点经过位移质点经过位移a时所达到的速度大小时所达到的速度大小 斥力为线性变化力！斥力为线性变化力！ ma 示功图示功图 r F 0 aa 2ma WF 对示功图求梯形阴影对示功图求梯形阴影“面积面积” 2 3 2 1 2 2 Wm aamaa 对质点经过位移对质点经过位移a的过程，由动能定理的过程，由动能定理 22 31 22 mamv 3va 跳水运动员从高于水

7、面跳水运动员从高于水面H10 m的跳台自由落下，运动员的质的跳台自由落下，运动员的质 量量m60 kg，其体形可等效为长度，其体形可等效为长度l1.0 m、直径、直径d0.30 m的圆柱体，略去空气的圆柱体，略去空气 阻力，运动员入水后水的等效阻力阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，作用于圆柱体下端面，F量值随入水深度量值随入水深度y变变 化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和和OF重合，为了确保重合，为了确保 运动员绝对安全，试计算水池中水的运动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？至少应等于多少？

8、5mg/2 Y F 0 h 对全过程运用动能定理对全过程运用动能定理: : 00mg HhWW 浮浮阻阻 其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆 “面积面积” ” : : 示功图示功图 W阻 阻 15 42 mg Wh 阻阻 入水过程中，浮力随入水深度入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化作线性变化 2 4 d Fgy 浮浮 示功图示功图 Y F浮 浮 0 l 2 4 gld 2 1 24 gl d Wl 浮浮 2 42 dl Wglhl 浮浮 2 15 100 428 d mhlhmh 1603 m 161 h 4.9 m 如果在某一位移区间，力随位移变化的

9、关系如果在某一位移区间，力随位移变化的关系 为为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位，求该变力的功通常用微元法，即将位 移区间分成移区间分成n（n）个小区间）个小区间s/n，在每个小，在每个小 区间内将力视为恒定，求其元功区间内将力视为恒定，求其元功Fi s/n ，由于功，由于功 是标量，具有是标量，具有“可加性可加性”，那么总功等于每个，那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段 位移中所做的功为：位移中所做的功为： 方法方法 B B 1 lim n i n i WW 在数学上，确定元功相当于给出数列通项在数学上，确定元功相

10、当于给出数列通项 式，求总功即求数列式，求总功即求数列n项和当项和当n时的极限时的极限 将板沿板长均分为将板沿板长均分为n（n）等份等份 fi M Fg n 将木板在水平地面上绕其一端转动角将木板在水平地面上绕其一端转动角，求所需，求所需 要做的功木板长度为要做的功木板长度为L，质量为，质量为M，木板与地面之间的动摩擦因，木板与地面之间的动摩擦因 数为数为 L i n 元摩擦力做功的位移为元摩擦力做功的位移为 1 2i i L xi n 摩擦力对摩擦力对i段做的元功为段做的元功为 i M g i nn W L 则对木板的功则对木板的功 1 lim n n i ML Wg i nn 2 1 1

11、lim n n i MgLi n 2 1 1 lim 2 n n n MgL n 1 2 MgL 各元段摩擦力为各元段摩擦力为 i x 半径等于半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内的半球形水池，其中充满了水，把池内 的水完全吸尽，至少要做多少功？的水完全吸尽，至少要做多少功？ r ri 沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n 层，每一元层水的高度层，每一元层水的高度 r h n r 1 i 2 每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层层 水柱底面的半径水柱底面的半径 这层水的质量这层水的质量 2

12、 2 i r rri n 2 2 i rr mri nn 将这层水吸出至少应做的元功是将这层水吸出至少应做的元功是 2 2 i rrr Wrig i nnn 将池水吸尽至少要做的功是将池水吸尽至少要做的功是 3 4 24 1 lim n i n i ii WWg r nn 43333 24 11 lim1 2 3123 n g rnn nn 2 2 4 24 11 11 lim 24 n n nnn gr nn 4 1 g 4 r 一个质量为一个质量为m的机动小车，以恒定速度的机动小车，以恒定速度v在半径为在半径为 R的竖直圆轨道绕的竖直圆轨道绕“死圈死圈”运动已知动摩擦因数为运动已知动摩擦因

13、数为，问在小车从，问在小车从 最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？ 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最 高点的过程中，由于轨道支持力是变力，高点的过程中，由于轨道支持力是变力， 故而摩擦力为一随位置变化的力！故而摩擦力为一随位置变化的力！ x y O A B 当小车运动在当小车运动在A A处元圆弧段时处元圆弧段时 n mg NA A 2 sin AA v Nmgm R AA fN 2 sin A v mg R 摩擦力在摩擦力在A A处元功为处元功为 2 sin AA vR Wm g Rn 当小车运动在与当小车运动在与

14、A A关于关于x轴对称的轴对称的B B处元圆弧段时处元圆弧段时 B A mg NB B 2 sin BB v Nmgm R n 续解续解 i i n BB fN 2 sin B v mg R 摩擦力在摩擦力在B B处元功为处元功为 2 sin BB vR Wmg Rn 小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为 2 2 iAB vR WWWm Rn 摩擦力在半圆周轨道上的总功摩擦力在半圆周轨道上的总功 /2 2 1 1 lim2 n n i Wmv n 2 mv 这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，这种求功方法依据功对能量变化的

15、量度关系， 只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便 是相应的功量是相应的功量 方法方法 C C WE 如图所示如图所示,一质量分布均匀的粗绳长一质量分布均匀的粗绳长2a，质量为，质量为2m， 两端悬于水平天花板上相距为两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止，其重心位于的两点而悬垂静止，其重心位于 天花板下方天花板下方b处处.现施一力于绳之最低点现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至并将绳拉直至D点，求拉点，求拉 力所做的功力所做的功 D 3 cos30 24 a ha 3 22 4 p Emg bhmg ba 由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花由

16、几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花 重力势能增加了重力势能增加了 由功能原理，拉力功为由功能原理，拉力功为 3 2 4 p Wmg baE 由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势 能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量 C h h 一质量为一质量为m的皮球，从高为的皮球，从高为h处自由下落（不计空气处自由下落（不计空气 阻力），反弹起来的高度为原来的阻力），反弹起来的高度为原来的3/4，要皮球反弹回，要皮球反弹回h高处，求高处，求 每次拍球需对球做的功每次拍球需对球做的功 在球与地面接触期间，地面对球的弹力对

17、球做负功，在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功， 使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功! ! 牛顿碰撞定律：牛顿碰撞定律：若两球碰撞前速度依次为若两球碰撞前速度依次为v10、v20，碰，碰 撞后速度为撞后速度为v1、v2，则碰撞后两者的分离速度，则碰撞后两者的分离速度v2 v1与与 碰撞前两者的接近速度碰撞前两者的接近速度v20 v10成正比，比值成正比，比值e称恢复称恢复 系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即 21 2010 vv e vv 从从h高度自由下落再反弹高度自由下落再反弹 的全过程

18、的全过程,地面弹力功地面弹力功W1: 1 31 44 Wmghmghmgh 从从h高度拍下再反弹原高高度拍下再反弹原高 的全过程的全过程,地面弹力功地面弹力功W2: 2 WWmghmgWh 拍拍拍拍 续解续解 从从h高下落未速度即与地接近速度高下落未速度即与地接近速度: 2 1 2 mghmv 自自接接近近 由由 2vgh 自自接接近近 2 1 2 Wmghmv 拍拍拍拍接接近近 由由 2 2 W gh m v 拍拍 拍拍接接近近 从地面反弹的起跳速度即与地分离速度从地面反弹的起跳速度即与地分离速度: 2 31 42 h mgmv 自自分分离离 由由 3 2 gh v 自自分分离离 2 1 2

19、 mghmv 拍拍分分离离 由由2vgh 拍拍分分离离 同一球与同一地面碰撞同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同恢复系数相同: v v v v e 自自接接近近 拍拍分分离离自自分分离离 拍拍接接近近 2 2 2 3 2 2 gh W gh h h g g m 拍拍 1 3 Wmgh 拍拍 功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量 度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功 的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以 由做功的多少来量度，这是我们

20、对功与能之间关系的基由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基 本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据 功能关系基本认识功能关系基本认识 功能关系的具体认识功能关系的具体认识 功能对应功能对应 规律规律 借助功与能的具体对应关系，对运借助功与能的具体对应关系，对运 动的功的量度问题作出正确的操作动的功的量度问题作出正确的操作. . 确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数 和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述； 分析所研究过程的初、未两状态的

21、动能，完分析所研究过程的初、未两状态的动能，完 成等号右边对动能变化的表述成等号右边对动能变化的表述 ； 选定研究的对象与过程选定研究的对象与过程; 示例示例 0ktk WEE 0gpgpgt WEE 0Qpqpqt WEE 重力功量度重力势能的变化：重力功量度重力势能的变化： 外力外力（可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它 力力）做的总功量度动能的变化：做的总功量度动能的变化： 弹力弹力功量度弹性势能的变化：功量度弹性势能的变化： 动能定理动能定理 引力引力功量度引力势能的变化：功量度引力势能的变化： 0GpGpGt WEE 0t WE

22、E 非非 非重力弹力功量度机械能的变化：非重力弹力功量度机械能的变化： 势能定理势能定理 功能原理功能原理 电场力功量度电势能的变化：电场力功量度电势能的变化： 0Qpepet WEE （W非 非可以是摩擦力功、电场力功、安培 可以是摩擦力功、电场力功、安培 力功或其它非重力、弹簧弹力的功力功或其它非重力、弹簧弹力的功） 返回返回 如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度H0=20 m， 其横断面是半径其横断面是半径R=2 m的圆储水深的圆储水深h=1 m，如果用装在高，如果用装在高H1=5 m 处、截面积为处、截面积为2 cm2的水龙头放水，问需要多久才能将水

23、放完？的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？ 11 nn i i iii Q tt Sv 根据题意，水箱中的水从底部截面积为根据题意，水箱中的水从底部截面积为s的的 小孔流出，若流速为小孔流出，若流速为vi，则时间，则时间ti内的水流内的水流 量量Qi= vi ti S；总储水全部流尽的时间应为；总储水全部流尽的时间应为 i Q 2 h R n i v 2 i gh i h 01 2 h gHhHi n 每层水放出时间的通项式为每层水放出时间的通项式为 2 01 2 R h n h gHhHiS n 2 1 01 lim 2 n n i R h n t h g HhHiS n 全部水箱储水放尽

24、的总需时为全部水箱储水放尽的总需时为 小孔流小孔流 速速 续解续解 1 i 2 n 2 1 01 11 lim 2 n n i R h n Sgh HhHi n 2 1 01 01 11 lim 2 1 n n i R h n Sg HhH h i n HhH 1 2 1 11 lim1 16 2 n n i i nn Sg 1 11 1xx x 1 111 lim1 216 2 n n i i nn Sg 2 1 11 1lim12 32 2 n n i n nSg 1 2 nn 1 1 64 2Sg 4 65 64 2 1020 3 3.6 10 s 示例示例 P0+P水 水 P0 设小孔

25、处一小片厚设小孔处一小片厚x、面积面积S的液片的液片, , 在内外压力之合力作用下获得速度在内外压力之合力作用下获得速度v v 而离开小孔，而离开小孔，由动能定理由动能定理: : 2 1 2 P SxSx v 水水水水 PgH 水水水水 2vgH P0 2 0 1 2 PP SxgH SxSx v 水水水水 2 0 1 2 P PgHv 水水水水 0 2 P P vgH 水水 返回返回 P P+P水 水 R 一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意的任意 点点P，在重力作用下由静止开始往下滑，从，在重力作用下由静止开始往下滑，从Q点离开球面，求点离开

26、球面，求PQ两两 点的高度差点的高度差h 本题除重力外无非保守力的功本题除重力外无非保守力的功, ,机械能守恒机械能守恒! ! 设球半径为设球半径为R R P Q H mg v h 由机械能守恒: 2 1 2 mghmv Q点动力学方程为: 2 sin v mgm R 由几何关系: sin Hh R 3 h H 2HRmgh mg RR 若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下R/3的高度，释放高的高度，释放高 度度H越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型 取元功作微元，以功能原理为基本依据求

27、取元功作微元，以功能原理为基本依据求 得一类物理问题解答的方法，我们称之为得一类物理问题解答的方法，我们称之为“元元 功法功法”. .这种解法所循基本原理是分析力学中这种解法所循基本原理是分析力学中 的的“虚功原理虚功原理”，由伯努利首先提出的用元，由伯努利首先提出的用元 功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单 元功法元功法 元功法处理平衡问题基本思路元功法处理平衡问题基本思路 取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从 而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为 零，以此为基本关系列出方程，

28、通过极限处理，零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理， 求得终解求得终解 如图所示，质量为如图所示，质量为m、长度为、长度为l的均匀柔软粗绳，的均匀柔软粗绳， 穿过半径穿过半径R的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间 距离为距离为2R，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为M，且相互间，且相互间 无摩擦，求绳上最低点无摩擦，求绳上最低点C处的张力处的张力 本题用元功法求解本题用元功法求解! ! 分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况 AO C R B TA

29、(M+m)g 1 2 A TmM g 分析绳之一半的受力情况分析绳之一半的受力情况 TC 设想在设想在A处以力处以力TA将将ABC段绳竖直向上拉过一极小距离段绳竖直向上拉过一极小距离x AA WTx CC WTx 2 mlR ExgR l 由功能原理由功能原理 1 22 c mlR mM gxTxxg R l 2 lR 2 2 c MlmR g l T x a b a b 如图示，一轻三足支架每边长度均为如图示，一轻三足支架每边长度均为l,每边与竖直线成同一角度，每边与竖直线成同一角度， 三足置于一光滑水平面上三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，现用一绳圈套在三足支架的三足上且恒成一正三

30、角形，现用一绳圈套在三足支架的三足上, 使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为G，试求绳中张力，试求绳中张力FT 本题用元功法求解本题用元功法求解! ! 分析支架的受力情况分析支架的受力情况 G FT FN 3 T F 设想支架各边足部在绳合力作用下向正设想支架各边足部在绳合力作用下向正 三角形中心移动一极小位移三角形中心移动一极小位移 x: 3 TT WFx x y 支架每个足部绳合力元功支架每个足部绳合力元功 负重重力势能增量负重重力势能增量 p EGy x与与y几何关系如示几何关系如示 : x a 3 T F y b 当当x0, 0, a bab sincosxy 由功能原理由功能原理 33tan T FxGx tanyx tan 3 3 T F G B A C 如图如图, ,所示的曲柄连杆机构中，设曲柄端所示的曲柄连杆机构中，设曲柄端A A上所受的上所受的 竖直力为竖直力为Q Q，由活塞，由活塞D D上所受的水平力上所受的水平力P P维持平衡，试用元功法求维持平衡，试用元功法求P P与与 Q Q的比值图中的比值图中 、 为已知为已知 CB A P D 设想设活塞设想设活塞D（即连杆的（即连杆的B端）端） 以速度以速度v通过一微小位移通过一微小位移x，