【素材】《等等差数列的前n项和》数列求和及解题方法(人教)(2)

1、数列求和及解题方法数列求和的常用方法题型1.公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。题型2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时， 常将“和式” 中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例求数列an =2n n的前n项和。题型3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法)2x例6.设函数f(x)=x的图象上有两点P(x, y ),P(x ,y,)若2 + 2OP(OP1 OP2),且点P的横坐标为丄.2 2(I )求证：P点的纵坐标为定值，并求出这

2、个定值；(II )若 Sn = f (丄)f (2) f (3) fC), n N*,求 Sn；n n nn分析：(I )V O-(OPi OP2),且点P的横坐标为-.2 2二P是RE的中点，且x- x1+ _ 2X1 丄 2X2为2+血)+2X2(2Xl+V?) _4 + (2Xl+2X2) % 2为、2 2X2 、2(2 2)(22)4 2(2x- 2$)由(I )知，x- X2 =1 , f(x-) f(X2)=1 且f 1 =2-&又 S= f 1 iSn nnS = f - In 2 f I.n上 in _1 + f _ jn 1IH - fI n / in fi2丿 5丿f巴in

3、fl1 2n(1) + (2)得:2S-f1 f 1 f nn1f 2 f=2f +1 +1 卄| +1 = n+3_2血二 Sn =呼n -n 3-2.21 5丿In丿f）题型4.裂项相消法：适用于an是各项不为0的等差数列，C为常数；如果一个数列的每一项都能化为两项之差,3!an常用裂项有：仁厂1丄- 1(注：1斗1 - 1 n(n +1) n n+1n(n + k) k Jn n + k丿而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加an1n(n 1)(n 2)2（右1(n 1)(n 2)六一匸弘三刀）；4： n nU(n 1)!-n!1例 7.已知 12 22 川 n2 二n(n 1)

4、(2n 1),2n 1612 12 22 12 22 32 F12 川 n 2( N )的和.2n 1解: ，912 -2MH- n22n 11n(n 1)(2 n 1) 61 16，则:n(n 1)n(n 十1) 一%2丿i23丿1 6nI =n 1 n 1题型5.错位相减法：适用于dbn 其中 Bn是等差数列，b?是各项不为0的等比数列。则数列dbn泊勺前n项和Sn求解，均可用错位相减法。(错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列bn的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和公式求和.)例8.已知数列满足a(2 n -1) 2n，求务的前n项和&分析：由题意得：Sn = 21 3 22 5 2 3 II川，(2n -1) 2(*)2Sn = 22 3 23 5 24 |川(2n -1) 2n 1 (* )(* ) - ( * )得： 七=2 2(22 23 24 |川| 2n) -(2n