313空间向量的数量积运算

1、3.1.3空间向量的数量积运算【选题明细表】知识点、方法题号数量积的概念及运算1,2,4求夹角3,5,10,11,12垂直问题7,8长度(模)问题6,9,12【基础巩固】1. 在正方体 ABCD-AiGD中，有下列命题：(；+ )2=3，;TTTTT )=0;与的夹角为60 .其中正确命题的个数是(B )(A) 1(B)2(C)3(D)0TT解析:,均正确；不正确，因为：:与的夹角为120 .故选B.2. 若a,b均为非零向量，则a b=|a|b|是a与b共线的(A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件解析：若a b=|a|b|,则=0 ,所以

2、a与b共线；反之，若a与b共线,则=0 或 180 ,a b= |a|b|. 故选 A.3. 已知e1,e 2是夹角为60的两个单位向量，则a=e+e2与b=8-2e2的 夹角是(B )(A)60(B)120(C)30(D)90I 37j解析:因为 a b=(eg) (e2e2)= -ei e?-2 =1-1 x 1x -2=-|a|= =4 + 込丁 二： u =y心11=少，|b|=二.；刃二.-门* +=；jF二込3ab 2 I所以 cos=l*戸=-.所以=120 .4. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的

3、是(C )(A) 2 TT(B) 2(C) 2 (D) 2 I解析:2 =-a2,故 A错;2 : ，=-a2,故 B错;2 ：=- a2,故 D错;只有C正确.故选C.5. 设|m|=1,|n|=2,2m+n 与 m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则向量 a,b 的夹角 =.解析：因为(2m+n)丄(m-3n),所以(2m+n) (m-3n)=0,化简得m- n=-2.又 |a|=二 J(伽-界二% j & + 4 + 1 &=6,|b|= w=J(7m 十 n)2 = J4勺 + 16 - 56=3,2 2a b=(4m-n) (7m+2n)=28|m| -2|n| +m- n=

4、18,a-b 18所以 cos=：丨：、上=1.所以 =0 .答案:0 6. 已知 PM平面 ABC,/ ABC=120 ,PA二AB二BC=6则 PC .解析：因为二+ +,TTTTTTTTTTTTT所以 | | 2=c +：+，)2= ； + 血匸+ +2 +2 訂 +2： 卜=iiSb36+36+36+0+0+2| | | |cos 60 =108+2X 6X 6X =144.所以PC=12.答案:127. 如图，直三棱柱 ABC-A B C 中,AC=BC=AA , / ACB=90 ,D,E 分别为AB,BB的中点.(1) 求证:CE丄A D;(2) 求异面直线CE与AC所成角的余弦

5、值.(1)证明:设 =a,=b, =c,根据题意，|a|=|b|=|c|且 a b=b c=c a=0,ii i所以=b+ c, ： =-c+ b- a.i i所以：二-c2+ b2=0.所以丄,即CE! A D. 解：因为 二-a+c,所以 |=|a|.又 I 1=|a|,1 1 1=（-a+c） （b+ c）= c2= |a| 2,1 2尹,2 何T T J2 x - a 所以COSV ,=二，吧即异面直线CE与AC所成角的余弦值为=1 .【能力提升】8. 平面上有四个互异点 A,B,C,D,已知（+ +2 ） （ ABC的形状是（C ）（A）直角三角形 （B）等腰直角三角形（C）等腰三角

6、形（D）无法确定解析:因为（+= +2 ） r ）=0,所以 + ） （- ）=0,可得 =,可得AB=AC.不能确定厶ABC为直角三角形.故选C.9. 将AB=2 ,BC=2的长方形ABCD&对角线AC折成60B,D间的距离为.-)=0,则的二面角，则解析：作DEI AC于点E,BF丄AC于点F（图略）,由已知得,AC=4,DE二BF二,所以 AE=CF=1,所以EF=2,因为二面角的大小为60 ,所以与的夹角为120 ,所以 I |2=C + + ) 2=7,所以| T= .答案:10. 已知a,b 是空间两个向量，若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos=.解析：将|a-b|=.

7、两边平方，得(a-b) 2=7.因为 |a|=2,|b|=2,I所以a b=.又 a b=|a|b|cos,12 故 cos= 二.i答案：11. 如图，在长方体ABCD-AQD中,AB=1,BC=2,AA=3,E为CG上的点, 且CE=1 求异面直线AB,BE所成角的余弦值.*+*+：k解:=( +) +二 + +=0+0 +0+3=3.依题意，易知I,| ,AB.BE所以 COSVA%, RE=I池芦(2 二 1。.【探究创新】12. 在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中,E,F分别是D D,DBI的中点,G在棱CD上,CG二CD,H为C G的中点.(1)求EF,C G所成角的余弦值；求FH的长.解:设 =a, =b/ =c,贝H a b=b c=c a=0,|a| 2=a2=1,|b| 2=b2=1,|c| 2=c2=1.i ii(1)因为二二+ 二-c+ (a-b)= (a-b-c),iCG=CCG=-cia,I1所以 二(a-b-c) (-c- a)113=(-a2+c2)=,1I3| 12= (a-b-c) 2= (a 2+b2+c2)= 1,II 17| 12=(-c- a) 2=c2+ a2二,y3yi7所以| |=,| |=,TTEFCG TTQTT_JC0SVEF,WTEF|U = 17 ,所以EF,C G所