导数的基本练习

1、导数的基本练习、导数的概念函数y=f(x),如果自变量X在x0处有增量Ax，那么函数y相应地有增量iy =f (x0+Ax ) f (x0)，比值 岂Ax叫做函数y=f (X)在x0到x0+ix之间的平均变化率，即型=f(X0 +也X)- f(X0)。X0处如果当Axt 0时，2有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(X)在点的导数，记作f (x0 )或y xl,。即 f (X0)=蚂警鸦 f(X0FI(X0)。说明:(1 )函数f ( X)在点X 0处可导，是指心XT 0时，约有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0处(3)(sin X) = cosx(4)(co

2、sx) = -si nx不可导，或说无导数。(2) Ax是自变量x在x0处的改变量，Ax HO时，而Ay是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知,求函数 y=f (x)在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳)(1)求函数的增量也y =f(x0+ Ax) f (x0);求平均变化率御 f (Xo +Ax) f(Xo)；取极限，得导数f(x)=im在点P (X 0, f (X 0)处的切线的斜率。f( x0)。相应地，切线方程为y y0=f/ (x0)二、导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)也就是说，曲线y=f (X)在点P (X 0, f (x0)

3、处的切线的斜率是(X x0 )。三、常见函数的导出公式.(1)(C)、0 (C 为常数),n、n-1(2) (X)=n x(5) (ex)=ex(6) (ax) =axln a1(7) (1 n x)=-X1(8) (lOga X)-lOga eX四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差),即：(u v) =u V .法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv) =uv+uv.若C为常数，则(Cu) =Cu+Cu =0+Cu =Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘

4、以函数的导数:(Cu) =Cu .法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方:五、导数的应用1. (1 )一般地，设函数y = f(x)在某个区间可导，如果f(X)0，贝U f(x)为增函数；如果f (x)v0，贝U f (x)为减函数；如果在某区间内恒有f(X)= 0,则f(x)为常数;(2)曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3) 一般地，在区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值。求函数？(x)在(a, b)内

5、的极值；求函数？(X)在区间端点的值？ (a)、？(b)；将函数？ (X)的各极值与？(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。小结：1、导数的常规问题：(1) 刻画函数(比初等方法精确细微)；n次多项式的导数问题属于较难(2) 同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)；(3) 应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于类型。2、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。3、导数的几何意义函数y=f(x)在点xo处的导数，就是曲线y=(x)在点P(Xo, f(Xo)处的切线的斜率.由此，

6、可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：求出函数y=f(x)在点Xo处的导数，即曲线 y=f(x)在点P (Xo, f(Xo)处的切线的斜率；在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y-y0 = f(x0)(x-x0)特别地，如果曲线 y=f(x)在点P(X0, f(X0)处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线 方程为X =x04、导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会

7、求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)题型一：导数概念，公式，运算性质的应用1、已知f(x)在x=a处可导，且f (a)=1求下列极限：f(a 3h) f(a h)2h2、若函数y = f(X在X = a处的导数为A,求limf (a+4t 卜 f (a +5t)o练习1: (1 )设y = f(x在X = Xo附近有定义，且liM0Zi1，求 fg 艇T(2)设函数 f la ) = 3，求 lim f a+ Sf f(a)的值。0题型二：导数的几何意义2X3. (1)求曲线y =在点(1, 1 )处的切线方程;X +1t 12运动曲线方程为S=p+2t，求t=3时的速度

8、。题型三：导数的运算导数的四则运算：和差f(x)g(x/ = f(X肚g(x)积 f (X ) g(x V = f (X gx)+ f (X g(x)商f(x)1 = f (X g(x ) f(X g(x ) Lg(x)gx)2复合函数的导数：设函数 u =W(x )在点x处有导数ux w(x )，则 f m(x 归厂(u 尸(X)4.求下列函数的导数:(1) y =x3 +sin xy = 2x3 -3x2 +5x -45.求下列函数的导数:(1) y =(2x2 +3)(3x-2)(3) y =xsin x +cosx2y=x cosx6.求函数y =(x+1)2(x1)在x=1处的导数练习二：求下列函数的导数:(1) y =(x+1i(x+2i(x+3)(2)y = X2 sin x(3) y=(x2 2x +3exsin x(2) y=7、求下列函数的导数:(1) ln X(1) y =X(3) y =tanx&求y-3在点x=3处的导数。X2 +3练习三、求下列函数的导数:(1) yjx +x5 + sin xX2X + cos x(2) y=X +sin x(3) y