数学-山东省（新高考Ⅰ卷）2025届新高三开学摸底考试卷（第二套）试题和答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A．5B．7C．9D．25A．B．-C．1D．-4．已知sinαsin=cosαsin，则tan） 5．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径AB=12cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积(单位：cm2)是()6.若函数h(x)=lnx-ax2-2x在[1,4]上单调递增，则实数a的取值范围为()函数f(x)=sinx+2sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取8.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1-x)，若x∈[0,1]，f(x)=2x，则f(2023)=()二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则()A．P(X＞32)＞P(Y＞32)B．P(X≤36)＝P(Y≤36)C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车x-x-1，则下列说法正确的有()10.已知函数f(xx-x-1，则下列说法正确的有()A．f（x）无最大值B．f（x）有唯一零点C．f（x）在（0，+∞)单调递增D．f（0）为f（x）的一个极小值11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中，M(-2,0)，N(2,0)，动点P满足PM.PN=5，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是A．曲线C与y轴的交点为(0,-1)，(0,1)B．曲线C关于x轴对称C.△PMN面积的最大值为2D．OP的取值范围是[1,3]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知F1,F2是双曲线=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin上M的离心率为13.已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=-ln(-x)的切线，则14.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P2.求P1+P2=.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15本小题满分13分）已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边，(b-a)cosC=c(cosA-cosB)，b2=2ac.（1）求cosC；16.（本小题满分15分）已知椭圆的一个焦点为F(2,0)，且 离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，若△ABO面积为J5，求直线l的方程.17本小题满分15分）如图，三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC，AB丄BC，AC=2，BC=1，点M满足PM=dpB(0<d<1),N是PC的中点.(1)请写出一个λ的值使得BC//平面AMN，并加以证明；(2)若二面角P-BC-A大小为45°,且λ=，求点M到平面PAC的距离.18.（本小题满分17分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0<p<1)，且不同对阵的结果相互独立.(1)若p=0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19.（本小题满分17分）已知函数y=f(x)，其中f(3)x3-kx2，k∈R.若点A在函数y=f(x)的图像上，且经过点A的切线与函数y=f(x)图像的另一个交点为点B，则称点B为点A的一个“上位点”，现有函数y=f(x)图像上的点列M1，M2，…，Mn，…，使得对任意正整数n，点Mn都是点Mn+1的一个“上位点”.(1)若k=0，请判断原点O是否存在“上位点”，并说明理由；(2)若点M1的坐标为(3k,0)，请分别求出点M2、M3的坐标；(3)若M1的坐标为(3,0)，记点Mn到直线y=m的距离为dn.问是否存在实数m和正整数T，使得无穷数列dT、dT+1、…、dT+n…严格减？若存在，求出实数m的所有可能值；若不存在，请说明理由.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CADBCACB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9BCDACDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15本小题满分13分）【解】（1）由(b—a)cosC=c(cosA—cosB)及正弦定理可得(sinB—sinA)cosC=sinC(cosA—cosB)，sinBcosC—sinAcosC=sinCcosA—sinCcosB，所以sinBcosC+sinCcosB=sinCcosA+sinAcosC，所以sinA=sinB，所以由正弦定理得a=b，因为b2=2ac，所以b=2c，由余弦定理得cosC=(2)由(1)知sinC=所以absinC=5，解得a=4，16.（本小题满分15分）【解】（1）由焦点为F(2,0)得c=2，又离心率所以b2=a2—c2=6—4=2，所以椭圆C的方程为得到a=，（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，1Δ=36m2又原点到直线的距离为所以S△ABO=所以m4—8m2+16=0，所以m2所以直线l的方程为y=x±2.17本小题满分15分）时，满足题意.M是PB的中点，又因为N是PC的中点，所以MNⅡBC，又MN平面ABC，且BC丈平面ABC，所以BC∥平面ABC.（2）由勾股定理得AB=因为PA丄平面ABC，BC平面ABC，所以PA丄BC，又AB丄BC，AB∩PA=A，AB,PAC平面PBA，所以BC丄平面PBA，而PB平面PBA，故PB丄BC，故上PBA就是二面角P-BC-A的平面角，所以上PBA=45。，所以△PAB为等腰直角三角形且PA=AB=过B作BH丄AC于H，则BH丄平面PAC，易得BH=所以点M到平面PAC的距离等于BH，为18.（本小题满分17分）【解】（1）①记“甲获得第四名”为事件A，则P(A)=(1-0.6)2=0.16；②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4，X=3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； 故X的分布列如下：XP0.160.5520.288（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率P=p3+p(1-p)p2+(1-p)p3=(3-2p)p3，在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2，所以p∈(|(,1),|时，(3-2p)pp∈(|(0,),|时，(3-2p)p3<p2，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；p=时，两种赛制甲夺冠的概率一样.19.（本小题满分17分）【解】（1）已知f(x)=x3，则f,(x)=x2，得f,(0)=0，故函数经过点O的切线方程为y=0，其与函数f(x)=x3图像无其他交点，所以原点O不存在“上位点”.（2）设点Mn的横坐标为tn，n为正整数，则函数y=f(x)图像在点Mn+1处的切线方程为y-f(tn+1)=f,(tn+1)(x-tn+1)，代入其“上位点”Mn(tn,f(tn))，得f(tn)-f(tn+1)=f,(tn+1)(tn-tn+1)，+1)-6ktn+1，因为tn≠tn+1，得2tn+1+tn=3k（*又点M1的坐标为(3k,0)， 所以点M2的坐标为(0,0)，点M3的坐标为(|3k,-9 （3）将(3,0)代入y=f(x)，解得k=1，由（*）得，2tn+1+tn=