数学分析第七章

在第一章与第二章中,我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯西收敛准则.这三个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性.而有理数集是不具备这种性质的.在本章中,将着重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.,7.1关于实数集完备性的基本定理,返回,一、区间套定理与柯西收敛定理,二、聚点定理与有限覆盖定理,三、实数完备性基本定理的等价性,定义1,定义1中的条件1实际上等价于条件,一、区间套定理与柯西收敛定理,定理7.1(区间套定理),或者,证由定义1的条件1可知,数列an递增,有上界,b1.所以由单调有界定理,可知an的极限存在.,从而由定义1的条件2可得,因为an递增,bn递减,所以,下面来证明唯一性.设1也满足,设,这样就证明了的存在性.,返回,证由区间套定理的证明可得:,由极限的保号性,对于任意正数,存在N,推论设an,bn是一个区间套,注1该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.,注2区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结,论不一定成立.例如对于开区间列,显然,即,但是定理1中的是不存在的,这是因为,证明过程,哪一步通不过?,的,例1、利用区间套定理证明柯西收敛准则。,即证明数列an收敛的充要条件是:对任意的,证(必要性),由定理1的,推论，,定义2设S为数轴上的非空点集,为直线上的,一个定点(当然可以属于S,也可以不属于S).若对,于任意正数,在(,+)中含有S的无限个点,二、聚点定理与有限覆盖定理,为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.,定义2,定义2若存在各项互异的收敛数列,下面简单叙述一下这三个定义的等价性.,若设S是0,1中的无理数全体,则S的聚点集合,S(称为S的导集)为闭区间0,1.,定义2定义2由定义直接得到.,定义2定义2因为,那么,互异,并且,定义2定义2由极限的定义可知这是显然的.,定理7.2(聚点定理)实数轴上的任意有界无限点,集必有聚点.,我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必,证因为S为有界点集,所以存在正数M,使,现将a1,b1等分为两个子区间a1,c1,c1,b1,中至少有一,个区间含有S的无限多个点.记该区间为a2,b2.,要注意在区间套的构成中所建立的性质(iii).,再将a2,b2等分为两个子区间.同样至少有一个子,区间含有S的无限多个点,将这个区间记为a3,b3.,(iii)每个闭区间an,bn均含S的无限多个点.,无限重复这个过程,就可得到一列闭区间,所以由所建立的性质(iii),这就证明了是S的一个聚点.,定理7.2有一个非常重要的推论(致密性定理).该,定理在整个数学分析中,显得十分活跃.,证设xn为有界数列,若xn中有无限项相等,取,这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛,若数列xn不含有无限多个相等的项,则xn作为,点集是有界的.由聚点原理,可设是xn的一个,推论(致密性定理)有界数列必有收敛子列.,的.,收敛于.,聚点,那么再由定义2,可知xn中有一个子列,证,例1,作为致密性定理的应用,我们来看下面两个例题.,例2用致密性定理证明柯西收敛准则.,证,.下面证明an以A为极限.,因为an是柯西列,所以对于任意正数,定义3设S为数轴上的一个点集,H为一些开区间,则称H是S的一个开覆盖.,若H是S的一个开覆盖,并且H中的元素(开区间),仅有有限个,则称H是S的一个有限开覆盖.,一个开覆盖.,定理7.3(海涅博雷尔有限覆盖定理),设H是闭区间a,b的一个开覆盖,则从H中可选,证证明该定理有多种,海涅(Heine,H.E.1821-1881,德国),博雷尔(Borel,E.1871-1956,法国),出有限个开区间,构成闭区间a,b的一个子覆盖.,要注意区间套的取法.,间套定理来证明,仍然,方法.这里还是运用区,若定理不成立,也就是说a,b不能被H中任何,再将a1,b1等分成两个子区间,其中至少有一个,有限个开区间所覆盖.将区间a,b等分成两个子,区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被H,不能被H中有限个开区间所覆盖.设该区间为,显然有,(iii)对每一个闭区间an,bn,都不能被H中有限个,满足下列三个性质:,将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间,这就是说,aN,bN被H中的一个开区间所覆盖,开区间所覆盖.,矛盾.,区间(0,1).很明显,H中的任何有限个开区间均不,注定理7.3中的闭区间不可以改为开区间.,能覆盖(0,1).,我们已经学习了关于实数完备性的六个定理,它,三、实数完备性定理的等价性,确界定理单调有界定理区间套定理,下面证明这六个定理是等价的.,们是:,聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则,柯西收敛准则,区间套定理,聚点定理,确界定理,有限覆盖定理,单调有界定理,6,5,4,3,2,1,例3用有限覆盖定理证明聚点定理.,证设S是无限有界点集,则存在M0,使得,很明显,H覆盖了闭区间M,M.根据有限覆盖,设开区间集,矛盾.,定理,存在H中的有限子覆盖,7.2闭区间上连续函数的性质,实数完备性理论的一个重要作用就是证,一、最大、最小值定理,经在第四章给出过.,明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾,三、一致连续性定理,二、介值性定理,返回,首先来看一个常用的定理.,有界性定理若f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x),证用两种方法给出证明.,第一种方法使用有限覆盖定理.因为f(x)在a,b,一、最大、最小值定理,局部有界的性质化为整体有界性质.,上每一点连续,从而局部有界.我们的任务就是将,H覆盖了闭区间a,b.由有限覆盖定理,在H中存,显然,在有限个开区间,第二种证法采用致密性定理.,因为xn有界,从而存在一个收敛的子列.为了书,写方便,不妨假设xn自身收敛,令,设f(x)在a,b上无界,不妨设f(x)无上界.则存在,故由归结原理可得,矛盾.,最大、最小值定理(定理4.6)若函数f(x)在a,b,证f(x)在a,b上连续,因而有界.由确界定理,f(x)在a,b上的值域有上确界.设,上连续,则f(x)在a,b上取最大、最小值.,在a,b上连续,从而有界,故存在G0,使,这样就有,这与M是f(x)在a,b上的上确界矛盾.,这就证明了上确界M与下确界m都是可取到的,最小值.,这也就是说,M与m是f(x)在a,b上的最大、,(定理4.7)设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且,证在第四章中,我们已经用确界定理证明此定理.,现在用区间套定理来证明.,二、介值性定理,f(a)f(b).,将a,b等分成两个区间a,c,c,b,若F(c)=0,下去,得到一列闭子区间,个区间的端点上的值异号.将这个过程无限进行,F(c1)=0,已证.不然同样可知函数F(x)在其中一,将a1,b1等分成两个区间a1,c1,c1,b1,若,间端点上的值异号,将这个区间记为a1,b1.再,已证.不然,函数F(x)在这两个区间中有一个区,由区间套定理,存在惟一的,an,bn,满足:,(定理4.9)若函数f(x)在a,b上连续,则f(x)在,证(证法一)首先用致密性定理来证明该定理.在,设f(x)在a,b上不一致连续,即存在,三、一致连续性定理,a,b上一致连续.,究.,下述证明过程中,选子列的方法值得大家仔细探,现分别取,因为xn有界,从而由致密性定理,存在xn的,连续,所以由归结原理得到,矛盾.,(证法二)再用有限覆盖定理来证明.,以及f,考虑开区间集,那么H是a,b的一个开覆盖.由有限覆盖定理,存在有限个开区间,对于任何,一个,也覆盖了a,b.,所以由小区间的定义得知,*7.3上极限和下极限,数列的上极限与下极限是非常有用的概念,通过,一、上(下)极限的基本概念,程来说,上(下)极限也是不可缺少的工具.,极限或下极限来解决问题.此外,对于不少后继课,考虑的某些数列不存在极限的情形,那时需要用上,册第十二、十四章讨论级数收敛性时,常会遇到所,它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下,二、上(下)极限的基本性质,返回,一、上(下)极限的基本概念,注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:,内均含有中的无限多项,则称x0是数列,的一个聚点.,限多个项”.现举例如下:,前者要求“含有无限多个点”,后者要求“含有无,定理7.4有界数列至少存在一个聚点,并且有最大,但作为数列来说,它却有两个聚点:,从数列聚点的定义不难看出,x0是数列的聚,点的一个充要条件是:存在的一个子列,聚点和最小聚点.,故由确界原理,存在,的一个聚点.,的无限多项.现依次令,这样就得到了xn的一个子列满足:,同理可证,即证得,注由定理7.4得知,有界数列必有上、下极限.,提供了一个新的平台.,的上、下极限总是存在的,这为研究数列的性质,极限来研究该数列往往是徒劳的;但是有界数列,数列若有界,它的极限可以不存在,此时想通过,这样,上、下极限的优越性就显现出来了:一个,例1考察以下两个数列的上、下极限:,从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限,之间存在着的内在联系.详细讨论请见下文.,二、上(下)极限的基本性质,由上、下极限的定义,立即得出:,下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关,系.,(1),(2),只有有限项.这就是说,B,不是的聚点,故仅有一个聚点A,从而,反之,若上式成立,则的聚点惟一(设为A),一的假设相矛盾.,另一聚点,导致与聚点惟,性定理,这无限多项必有,的无限多项.由致密,倘若不然,则存在,此时易证,的充要条件是:对于任意的,(i)存在N,当nN时,的充要条件是:对于任意的,(i)存在N,当nN时,证在形式上是对称的,所以仅证明.,还有聚点,这与A是最大聚点相矛盾.设这有限项,的最大下标为N,那么当nN时,上含有xn的无限项,即A是xn的聚点.,而对于任意的,则取上(下)极限后,原来的不等号方向保持不变:,聚点,所以存在,特别若则更有,故存在的一个收敛子列,(3),(4),同理可证关于上极限的不等式;而(4)式则可由,又因,(1)与(3)式直接推得.,证这里只证明(i),(ii)可同理证明.设,由定理7.7,存在N,当nN时,(5),(6),再由定理7.8的(4)式,得,因为是任意的,故,注这里严格不等的情形确实会发生,例如,故,求证的全体聚点的集合为,任给,欲证如若不然,则存在,之内.又因所以存在,这就是说,当时,所有的均不在,当nK时,由(7)导致所有,的或者都有或者都有,前者与B是的聚点矛盾;后者与A是,的聚点矛盾.故证得,即从而,定理7.9设xn为有界数列.则有,(i)A是xn的上极限的充要条件是,(ii)B是xn的下极限的充要条件是,(8),(9),所以有,同理,由于,这样得到的子列因仍为有界的,故其上极限,因是任意的,所以又得.从而证得,照此做下去,可求得使,使得,求上极限,由不等式性质(4),得出,亦存在,设为(10)式关于k,例3用上、下极限证明:若为有界发散数列,注本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的.,使得,为于是存在