2-2-1整式的基本概念及加减.教师版

2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 1 考试内容 A（基本要求） B（略高要求） C（较高要求） 代数式 理解用字母表示数的意义 会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义 代数式的值 了解代数式的值的概念 会求代数式的值；能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律 能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算；能通过代数式的适当变形求代数式的值 整式 了解整式的概念， 理解单项式的系数与次数、多项式的次数、项与项数的概念，明确它们之间的关系 整式的加减运算 理解整式加、减运算的法则 会进行简单的整式加、减运算 能合理运用整式的概念及其加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题 重点： 会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。 难点： 正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。 重、难点 中考要求 第 四 讲 整式的基本概念 及加减 2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 1 板块一 代数式、单项式、多项式 代数式的定义： 用基本的运算符号 (加、减、乘、除、乘方等 )把数或表示数的字母连结而 成的式子叫做 代数式 . 单独的一个数或字母也是代数式 . 列代数式： 列代数式实质上是把 “文字语言 ”翻译成 “符号语言 ”. 列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 少、增加、增加到等数学概念和有关知识 . 在列代数式时，应注意以下几点： （ 1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （ 2） 字母与字母相乘时可以省略乘号； （ 3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式； （ 4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起 来； （ 5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数 . 单项式： 像 2a ， 2r ，213 237x 这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式 、除关系，特别的单项式 的分母中不含未知数 ： a 、 3 . 单项式的次数： 是指单项式中所有字母的指数和 项式212 ab c，它的指数为 1 2 1 4 ，是四次单项式 零除外 )，它们的次数规定为零，叫做零次单项式 . 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫做单项数的系数 们把 47叫做单项式 247 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项 . 多项式： 几个单项式的和叫做多项式 7 319 多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项 多项式中不含字母的项叫做常数项 . 多项数的次数： 多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数 . 整式： 单项式和 多项式统称为整式 . 【例 1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？ 21x 23 0 10 a b b a 32 2 3 4 7 【解析】 、 、 、 、 是代数式，其它的不是代数式 . 首先根据代数式定义可知，代数式是用基本的运算符号连接而成的式子，单独的数字或字母也是代数式；其次代数式当中不含有等号或不等号 . 例题精讲 2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 1 【例 2】 写出下面式子的同类项： 256112 72 【解析】 本题为开放性题目，答案不惟一，特别注意 ， 为常数，所以它的同类项为任何常数 . 【巩固】 写出下列单项式的系数和次数： 【解析】 答案如下表 【巩固】 (04 年内江中考题 ) 写出一个系数是 2004，且只含 x 、 y 两个字母的三次单项式是 . 【解析】 开放性题目，答案不惟一， 22004 22004【例 3】 (05 年湖北荆州中考题 )单项式113 a b 3 【解析】 根据题意可知 2 11a ，所以 2a ， 0b ， 2【巩固】 若 3b 与 同类项，求 2003()值 . 【解析】 根据题意可知 1m ， 32n ，所以 2 0 0 3 2 0 0 3( ) ( 2 1 ) 1 【巩固】 若 25 30.9 同类项，求 x ， y 的值 . 【解析】 根据同类项定义可知： 3x ， 2y ，所以 3x ， 2y 【巩固】 若4413 y 27 是同类项，求 的值 【解析】 据同类项的定义可得： 4 8 2 4 0a a c b ， ， 即 2 1 0 1a c b a b c ， ， ， 单项式 32522r 2x 3x 系数 次数 单项式 32522r 2x 3x 系数 153 2 1 1 次数 5 3 2 2 4 3 2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 1 【例 4】 (人大附中单元 练习 ) 将多项式 2 2 34 2 1 x y x y x y按 x 的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项 . 【解析】 2 2 34 2 1 x y x y x y按 x 的降幂排列为： 3 2 22 4 1 x y x y x y， 是四次四项式，系数最小项为 24 【巩固】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式 . 424 215 2 3 3 3 32 a a b b a b； 【解析】 424 215 多项式，是四次三项式； 3 3 3 32 a a b b a 四次四项式 . 、 有字母在分母上，故不是多项式 . 【巩固】 当 m 取什么值时， 2 1 2 3( 2 ) 3mm x y x 【解析】 由题意得 2 13m ，且 20m m m 时， 2 1 2 3( 2 ) 3mm x y x 【例 5】 a ， b ， c 都是有理数，试说出下列式子的意义： 0 ； 0； 0； 1 ； 2 | | 0； 0a b b c c a ； 22； 2 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？ 21x 23 0 10 a b b a 32 2 3 4 7 【解析】 注意本题中都不是代数式，只是用字母来表达的式子，通过这道题目，我们想对上节课的有关知识进行回顾 触、感受用字母来表达数学含义 0 ， 互为相反数； 0 ， ， 中负数的个数为偶数个； 0，则说明 , ； 1 ， , 2 | | 0 ， , ； ， 中至少有两个相等； a 与 b 的平方和； a 与 b 和的平方 、 、 、 、 是代数式，其它的不是代数式 数式是用基本的运算符号连接而成的式子，单独的数字或字母也是代数式；其次代数式当中不含有等号或不等号 . 【例 6】 如左图，计算四边形 面积 如右图，用含有 x 的代数式表示糟型钢材的体积 2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 1 6 b7 x + 7x x【解析】 四边形 面积为： 1 1 1 17 6 3 6 5 3 2 6 2 2 62 2 2 24 5 1 34 2 3 6 422a b b b a b a a b b b aa b a b a b a b a b a b 槽型钢材的体积为： 223 2 3 2 3 22 3 2 7 2 7 6 2 7 2 71 2 4 2 2 7 1 0 3 5V x x x x x x x x x xx x x x x x 【巩固】 如图所示，用 x 的代数式表示零件的体积 3 x + 52 xx 析】 3215 25. 【巩固】 边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆 放，求左图中阴影部分的面积 如右图所示是角钢的截面，写出表示截面的面积的代数式 a2 析】 22a ； 2a t b t t 2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 1 板块二 整式加减 合并同类项： 把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项 . 合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变 . 【例 7】 (03 年山东烟台中考题改编 )若 232 m m 39和仍是 一个单项式，求 m 、 n 的值 . 【解析】 根据题意可知， 232 m m 39同类项，所以 3m ， 1n . 【巩固】 化简下列各式： 2222 3 2 2 3 2 25 1 1 5 22 5 36 3 3 6 3 a b a b a b a b a b b a 1 1 10 . 5 0 . 2 0 . 3 n n n n nx x x x x 【解析】 原式 22( 1 1 1 1 ) 4 原式3 2 2 3 2 25 1 2 5 1 3 5 1 1( 5 ) ( ) ( 2 3 )6 3 3 6 3 6 3 2 a b a b a b a b a b a b 原式 11( 1 0 . 2 ) ( 0 . 5 1 0 . 3 ) 0 . 8 0 . 2 n n n nx x x x 【巩固】 化简： 2 2 2( ) 3 ( ) 2 ( ) a b a b b a 【解析】 原式 2 2 2 2( ) 3 ( ) 2 ( ) 4 ( ) a b a b a b a b 注意其中的等价转化，互为相反数的两个数的偶数次幂相等 【例 8】 (三帆单元测试 )若 3 2 39 5 1 A a b b ， 2 3 37 8 2 B a b b 2 3 解析】 3 2 3 2 3 32 2 ( 9 5 1 ) ( 7 8 2 ) A B a b b a b 2 3 31 8 7 2 a b a b b 2 3 3 3 2 33 3 ( 7 8 2 ) ( 9 5 1 ) B A a b b a b 3 2 32 1 9 2 9 7 a b a b b 【巩固】 求 2 3 336a b a b 与 3 2 26 7 3a a b b 的和 【解析】 和 2 3 3 3 2 3 2 3( 3 6 ) ( 6 7 3 ) 4 2 a b a b a a b b a b b 去括号，将同类项放在一起，合并同类项得到结果 【例 9】 化简： 223 7 4 ( 3 ) x x x x 【解析】 原式 2 2 2 2 23 7 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 x x x x x x x x x，由内向外逐层去括号 【巩固】 化简： 2 2 2 2 2 2 2 24 3 3 2 4 ( 2 ) x y x y x y x y x y x y x y x y 【解析】 (法 1)： (由内向外逐层去括号 )原式 2 2 2 2 2 2 2 24 3 3 ( 2 4 2 ) x y x y x y x y x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 3 ( 3 3 ) 4 3 6 3 9x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y (法 2)： (由外向内进行 )原式 2 2 2 2 2 2 2 24 3 3 2 4 ( 2 ) x y x y x y x y x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 6 2 4 ( 2 ) 5 1 0 2 3 9 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y 2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 1 【例 10】 第一个多项式是 2222x xy y ，第二个多项式是第一个多项式的 2 倍少 3 ，第三个多项式是 前两个多项式的和，求这三个多项式的和 . 【解析】 设 A 2222x xy y ，则第二个多项式为 23A ，第三个多项式是 (2 3)所以这三个多项式的和为： ( 2 3 ) ( 2 3 ) A A A A 2 3 2 3 6 6 A A A A A 2 2 2 26 ( 2 2 ) 6 6 1 2 1 2 6 x x y y x x y y 【巩固】 求比多项式 225 2 3 a a a b 5 a 多项式 . 【解析】 设这个多项式为 A ， 2 2 2( 5 2 3 ) ( 5 ) A a a a b b a a a b b 【例 11】 (海淀区期中测试 )从一个多项式减去 10 2 11ab 由于误认为加上这个式子，结果得到的答案是33bc 求出正确的答案 . 【解析】 设原多项式为 A ，由题意得： ( 1 0 2 1 1 ) 3 3 A a b b c b c a b， 故 3 3 ( 1 0 2 1 1 ) 1 3 5 1 1 A b c a b a b b c a b b c， 所以正确的答案 ( 1 3 5 1 1 ) ( 1 0 2 1 1 ) 2 3 7 2 2 a b b c a b b c a b b c 【例 12】 有这样一道题： “已知 2 2 22 2 3 A a b c， 2 2 232 B a b c， 2 2 223 C c a b，当 1a ， 2b ， 3c 时，求 A B C 的值 ”有一个 学生 指出， 题目 中给出的 2b ， 3c 是多余的他的说 法有没有道理？为什么？ 【解析】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 2 3 ) ( 3 2 ) ( 2 3 ) A B C a b c a b c c a b a，其与 2b ， 3c 无关， 所以他的说法是有道理的 【巩固】 若 23 4 7 A x y x y x， 2 33 B x y x y x，且 3x 无关，求 y 与 3 【解析】 223 ( 3 4 7 ) 3 ( 3 3 ) 5 1 0 7 A B x y x y x x y x y x x y x 3x 无关，所以 5 1 0 7 5 ( 2 ) 7 x y x x 0y ，即 2y ，此时 37 【例 13】 已知 23 5 1 A B x x， 22 3 5 A C x x 时，求 【解析】 22( ) ( ) ( 3 5 1 ) ( 2 3 5 ) B C A B A C x x x 1 2 3 5 3 6 x x x x x 当 2x 时，原式 3 6 3 2 6 0 x . 【巩固】 设 222 3 2 A x x y y x y， 224 6 2 B x x y y y，若 23 ( 5 ) 0 x a y ， 且 2B A a ， 求 A 的值 . 【解析】 由 23 ( 5 ) 0 x a y ，得 35y 2 2 2 22 ( 4 6 2 ) 2 ( 2 3 2 ) 2 5 a B A x x y y y x x y y x y x y，故 2 3 5 ( 5 ) 即得： 5a ，所以当 3 15 5y 时， 222 3 2 2 5 5 A x x y y x y 【例 14】 若 1a ， 2b ， 3c 计算： 118 ( 2 ) ( 8 ) 9 n n n n na a a a a 2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 1 2 2 2 2 2 25 3 ( 2 ) ( 7 ) a b a b a b a c a b a c 【解析】 注重强调先化简，再求值 原式 1 1 1 1 18 2 8 9 8 2 9 8 9 n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a 若 1a ，则原式 119 ( 1 ) 9 ( 1 ) n n n 当 n 为偶数时， 9 ( 1 ) 9 ( 1 ) 1 9 1 0 n n n 当 n 为奇数时， 119 ( 1 ) 9 ( 1 ) 1 9 1 0 n n n 原式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 3 2 7 5 3 5 2 5 a b a b a b a c a b a c a b a b a b a b a b 1a ， 2b ，所以原式 222 ( 1 ) ( 2 ) 5 ( 1 ) ( 2 ) 1 6 【例 15】 (04 年山西中考题 )已知 2( 2 ) 5 0 a a b ，求 2 2 2 23 2 ( 2 ) 4 a b a b a b a b a a b. 【解析】 由题意可得： 2a ， 3b ， 2 2 2 2 23 2 ( 2 ) 4 4 2 2 a b a b a b a b a a b a b a 【巩固】 已知 a 、 b 、 c 满足： 25 3 2 2 0 2113 a b 次单项式； 求多项式 2 2 2 2 22 3 4 a b a b a b c a c a b a c a b 【解析】 由 25 3 2 2 0 负数的性质得 30a ， 20b ，则 3a ， 2b 中， 2 ( 3) 1 213 次单项式，所以 2 3 1 2 7 c，可得 1c ， 化简原式 2 2 2 2 22 3 4 a b a b a b c a c a b a c a b a b c c a b 当 3a ， 2b ， 1c 时，原式 223 2 1 3 3 1 3 3 2 7 5 【习题 1】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数 . 223a ； 32 572t ； 233 a 2 ； x【解析】 223a ， 572t ， 233 a 2， x是单项式 . 2233，次数是 3； a 的系数是 1 ，次数是 1； 572t 的系数是 52 ，次数是 7； 233 a 系数是 3 ，次数是 6； 2 是单项式，次数是 0，系数 2； x的系数为 1，次数为 1. 【习题 2】 若 a b a 1359 a ， b 的值 . 【解析】 根据题意有： 1 a b a ， 3可得 2a ， 1b 课后练习 2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 1 【习题 3】 如果 3 m 与 n 互为负倒数，求 13 ( 4 ) 1 144 mn m n 【解析】 根据题意可得： 3141 以有1 4m，2 2m，1 14n，2 14n，且 m 与 n 互为负倒数，所以 4m ， 14n，所以原式 924 题 4】 在一个边长为 a 的正方形的地块上，开辟出一部分作为花坛，下面给了四种设计方案，请 你分别写出花坛（图中阴影部分）面积 S 的表达式，并计算当 10时的面积（ 取 ； 请你 再给出另外两种设计方案，并计算当 10时的花坛面积 （ 4 ）（ 3 ）（ 2 ）（ 1 ）析】 图 中222 5 6 2 5 9；图 中 22 157 ；图 中 2250；图 中 222 4 2 0 0 3 为开放性题目，可自行设计，老师看面积表达正确即可，也可让学生先来观察 中给出的 都是对称图形，也可引导学生欣赏对称美 【习题 5】 把下列多项式按 x 降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项： 3 2 21 3 2 1 8 7 y x y x y x y； 2 2 33 5 2 1 x y x y x y y 【解析】 原式 3 2 21 8 7 2 1 3 x y x y x y y，是四次四项式；系数最小的项为： 318 原式 3 2 25 3 2 1 x y x y x y y，是四次五项式；系数最小的项为： 25 【习题 6】 (人大附中单元练习 ) 3 3 4 2 20 . 0 1 0 . 13 xy x y x y x _次 _项式， 把它按字母 x 的降幂排列成 _, 排列后的第二项系数是 _,系数最小的项是 _. 【解析】 六，四； 34 2 3 20 . 1 0 . 0 1 3 y x y x y； ； 33题 7】 化简： 2 2 2 28 1 2 3 x y x y x y x y 3 ( ) 2 ( ) ( ) x y x y y x 2010 年 暑假 初一数学 第 4 讲 教师 版 0 1 【解析】 原式 2 2 2 2 2 28 1 2 3 4 2 x y x y x y x y x y x y 原式 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) x y x y x y x y 【习题 8】 求21 1 32 3 4 13 4 5 【解析】 差221 1 3 2 1 1( ) ( )2 3 4 3 4 5 x x x 3 2 1 12 3 4 3 4 5 x x x 21 2 1 1 3 1 1 1 1 12 3 3 4 4 5 6 1 2 2 0 x x x x x a 与 b 的差指的是 a 和 b 的差指的是 . 【备选 1】 若 1 2 223 5 59 m m 2 m ， n 的值 . 【解析】 根据题意有 1 223 m， 22155可