2016届江西省南昌市高考二模考试数学试卷分析及详解

1 2016 届 江西省南昌市 二 模考试数学试卷分析及详解 一 整体解读 试卷紧扣 全国卷考试大纲和江西省 考试说明，从考生 熟悉的基础知识 入手， 宽角度、多视点、有层次地考查了 学生的 逻辑 思维能力 和抽象思维能力 ， 对 数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法都作了重点的考查，均具有较高的信度、效度和有效的区分度，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。 试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全 部重要内容，基本体现了 “重点知识重点考查 ”的原则 ，这对基础不牢的学生影响较大 。 在重 基础的同时，注重知识 综合性的考查 ，如文理第 1 题 把 集合与 函数的 值域、单调性 结合在一起 ；文理第 5 题把函数的单调性、奇偶性与对数的变形放到一起考；文理第 6 题在框图中考查数列的求和；文理第 17 题考查 三角的同时还涉及建系的思想方法 ； 理科 18 题在分布列的题目中考查函数思想，题目不难，但难倒了不少学生。 综合来看，试卷的难度和考查范围接近近年来的高考真题，基本上可以反映学生的学习情况和成绩。 二考点分布 1、 文 科 知识点 集合、命题、复数 函数 数列 向量、三角 不等式 立体几何 推理、框图、统计、概率、二项式定理 解析几何 、极坐标与参数方程 导数 分值 15 15 10 17 5 17 27 32 12 2 2、 理 科 知识点 复数、集合、命题 函数 数列 向量、三角 不等式 立体几何 推理、框图、 统计、概率 解析几何、极坐标与参数方程 导数 分值 15 10 10 17 10 22 22 37 17 3 三试题 及 详解 文科 试题 4 5 6 7 文科解析 1.【解析】： 1s i n 1 , 1 ,3xy x y 为递减数列，算到 1 , 2 , 1 , 1B B C 所 以 A 选 2.【解析】： 实数和纯虚数的区分 , 3.【解析】： 任意的否定是存在。 4.【解析】： ， 5频率 = 10 15数 =样本容量 *频率 =100*0 5.【解析】： D 考察函数的奇偶性和对数函数的基本公式，在比较大小的过程中，特别 注意灵活运用 1 的大小比较，先比较括号里面的大小，再根据题目已知条件函数在 0+， 单调递减可得出答案 . 6.【解析】： A 这是算法框图的问题，就跟路标一样，跟着走就不会走错回家的路了，错的同学不解释，你懂得 7.【解析】：两条直线异面，且这两条直线分别垂直两个面，当然这两个面会相交，但是当这个，但是如果反过来，如果两个面垂直相交，则两条线垂直。 8.【解析】： A 由三角函数图像可知半个周期为 2 ,W=1/2, =2x 再 把 代 入 式 子 1 ， 4 根 据 题 目 说 的 的 范 围 ， 求 出 ， 得 出 解 析 式 后 可 求 。 9.【解析】： D 销售额先下降在上升，很明显这里只有 C 和 D 符合，又因为题目满足这样的关系，所以只有 10.【解析】： 用数形 结合向量的基本运算可得到答案。 11.【解析】： 实就是换汤不换药，数形结合，画出图像，可知两个函数有两个交点，再根据题目意思，可知 以有两个交点 12.【解析】： 两个一次函数 ,分别和曲线 各自得到一元二次方程，恰有两个解，说明联立后得到的这个二次方程的 V 0,先取交集最后两个 V 0 取并集 13.【解析】： 3 考察的是等比数列的基本公式 14.【解析】： 22( 1 ) ( 3 ) 8 ,考察的是直线和圆相切 ,则圆心到直线的距离就等于半径 , 15.【解析】： 40 ,找出等差数列的通项公式 ,然后根据公式可以求值 16.【解析】： 20 ,考察的是四面体的外接球问题 ,先还原四面体 ,然后找球心求球的半径 ,再根据公式可求球的表面积 . 8 17解析：考察的是余弦定理 （）当点 P 在三角形 ，且 B 时， 23， 又 1 , c o s 36C P B C A B ，所以 2 2| | 1 9 2 1 3 c o s 1 33 ， 4分 所以 1 1 3 3 9s i i n 2 6s i n 3B C P ； 6分 （）以点 C 为原点，过点 C 且平行于 直线为 x 轴，建立直角坐标系，则3 3 3 3 3( , ) , ( , )2 2 2 2 ，设 (co s , P ，则 3 3 3 3 3( c o s , s i n ) ( c o s , s i n )2 2 2 2P A P B u u ur u u 9c o s 3 c o s s i n 3 s i n 3 s i n 3 c o s 144 2 3 s i n ( ) 16 ， 10分 所以 B取值范围是 2 3 1, 2 3 1 12分 18 解：（）因为从 5 组数据中选取 2组数据共有 10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中有且只有 2组数据是相邻 2天数据的情况有 6种， 所以 6310 5P ； 6分 （）由数据，求得 12, 27 由公式，求得 52b， 3a y b x 所以 32 9分 当 x=10时， 5 1 0 3 2 22y ， |22 23| 1 ； 同样，当 x=8时， 5 8 3 1 72y ， |17 15| 1 所以，该研究所得到的线性回归方程是不可靠的 12分 19（）证明： 2 2 21 1 12 c o s 6 0 3A B A B B B A B B B ，所以 2 2 211A B A B B B， 所以1B A 又因为侧面11 底面 所以1面 所以1B A 3分 9 又因为 正方形，所以 D ，所以 平面1 所以平面1面1 6分 （）因为11/C D B A，所以1， 8分 所以1 1 1 1C A B C D A B C B A C V 1 1 333 2 6 12 分 20解：（ 1）设点1 1 2 2( , ) , ( , )A x y D x y，则11( , )B x y， 则 2 2 2 21 1 2 22 2 2 21 , 1 ,x y x ya b a b 因为 B ，所以 1k，因此2 1 2 12 1 2 111, 4y y y x x x x ， 2分 所以22222 2212212 2 2 2 22 1 2 1()1144b x x x a ， 4分 又 223， 解得 224, 1，所以椭圆 C 的方程为 2 2 14x y. 6分 （ 2）因为11yk x ，所以 12 1 11: ( )4yl y y x ， 令 0y 得13令 0x 得134， 9分 所以1119| | | | | |28O M M O N x y ， 因为 2 211 1 11 | |4x y x y ，且当 11| | 2 | |时，取等号， 所以 面积的最大值是 98 12分 21解：（） ( ) 2xf x e a x b ，所以 (0) 1 ， 又 (0) 1f ，所以 1 ( 1 )1 2 10 ( 1 ) ； 5分 （）记 ( ) ( ) 2 1xg x f x e a x ，曲线 ()y f x 所有切线的斜率都不小于 2 等价于( ) 2对任意的 恒成立， 7分 10 ( ) 2xg x e a， 当 0a 时， ( ) 0， ()以当 0x 时， ( ) ( 0 ) 2g x g， 9分 当 0a 时， ( ) 0 l n ( 2 )g x x a ，且 2 ) 时， ( ) 0， 2 ) 时，( ) 0，所以函数 ()2 )a ，又 (0) 2g ，所以 2 ) 0a， 所以 12a 综上，实数 a 的取值集合是 12 12 分 请考生在 22 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 解：（）设圆 B 交线段 点 C ， 因为 圆 O 一条直径，所以 H ， 2分 又 D ， 故 B 、 D 、 F 、 H 四点在以 直径的圆上 所以， B 、 D 、 F 、 H 四点共圆 . 3分 所以 A B A D A F A H 4分 （）因为 圆 B 相切于点 F ，由切割线定理得 2A C A B B D ， 2A F A C A D,即 22 2 2 ， =4 6分 所以 1= 1 12B D A D A C B F B D ，又 : , 则 F, 得 2 8分 连接 由（ 1）可知 外接圆直径 22 3B H B D D H ,故 外接圆半径为 32 10分 ）由 2 s i n 2 c o s ，可得 2 2 s i n 2 c o s 所以曲线 C 的直角坐标 方程为 22 22x y y x ， 4 分 （）直线 l 的方程为222:22 ，化成普通方程为 2 11 由 22 222x y y ，解得 02或 20 9分 所以 22 10分 24解：（）当 1a= 时，不等式 ( ) 2可化为 | 1 | | 2 1 | 2+ - ? 当 12x时，不等式为 32x ，解得 23x，故 23x； 当 112x 时，不等式为 22解得 0x ，故 10x ； 当 1x 时，不等式为 32解得 23x，故 1x ； 4分 综上原不等式的解集为 20,3x x x或 5分 （） ( ) 2f x x 在 1 ,12x时恒成立，当 1 ,12x时，不等式可化为 | 1| 1 ， 解得 22 0 0a x ， 因为 1 ,12x，所以 2 4, 2x ， 所以 a 的取值范围是 2,0 12 理科 试题 13 14 15 16 理科解析 1. | 1 1A x x=- Q ; 集合 B 中 , 1 391()3x ，同理可知 1 04 成立（焦点在 y 轴上），特别注意，当焦点在 y 轴且 14l =线 C 的渐近线与直线 24的斜率相同也可行， 1 04 l - ?，综上 1144故本题选择 B 13. ( 1 s i n ) c o s | 2x d x x xp = - =Q，故答案 2p 14. 一个一个放上推，当 5n= 时，左边 1 取两次，右边 x 取 2 次得到 2x 项，故不合，同理6 , 7 , 8n n n= = =发现只有 7n= 时符合题意，故本题答案 7 15. 由该几何体的三视图可知，该几何体为一个底面是等腰直角三角形的三棱锥， 该几何体的外接球的半径 222 1 5r = + = ， 24 2 0= = 16. 由 (30,5)f 可知 . 5 个数构造等差数列，分类讨论公差 1d= 时有 26 个，同理讨论 2 , 3 . . . . . 7d d d= = =最后把所有结果加起来1 2 7. . . . . 9 8d d d+ + =，故本题答案 98 17解：（）当点 P 在三角形 ，且 B 时， 23， 18 又 1 , c o s 36C P B C A B ，所以 2 2| | 1 9 2 1 3 c o s 1 33 ， 4分 所以 1 1 3 3 9s i i n 2 6s i n 3B C P ； 6分 （）以点 C 为原点，过点 C 且平行于 直线为 x 轴，建立直角坐标系， 则 3 3 3 3 3( , ) , ( , )2 2 2 2 ，设 (co s , P ，则 3 3 3 3 3( c o s , s i n ) ( c o s , s i n )2 2 2 2P A P B u u ur u u 9c o s 3 c o s s i n 3 s i n 3 s i n 3 c o s 144 2 3 s i n ( ) 16 ， 10 分 所以 B取值范围是 2 3 1, 2 3 1 12分 18解：（）投资甲项目 4 万元，一年后获利 1 万元、 12万元、 1 投资项目乙 4 万元，一年 后获利 2 万元、 0 万元、 1 万元的概率分别是 2分 所以一年后这两个项目盈利和不低于 0 万元的概率是： 0 . 4 1 0 . 2 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 . 6P ； 5分 （）设投资项目甲 x 万元，投资项目乙 8 x 万元， 盈利期望和 1 1 1 10 . 2 0 . 4 0 . 4 ( 1 ) 0 . 4 ( 8 ) 0 . 4 ( ) ( 8 )4 4 2 4y x x x x 化简得 2820 ， 9分 所以当 1x 时， y 最大，最大值是 25万元， 综上：应该投资项目甲 1 万元，项目乙 7 万元 12 分 19（）证明： 2 2 21 1 12 c o s 6 0 3A B A B B B A B B B ，所以 2 2 211A B A B B B， 所以1B A 又因为侧面11 底面 所以1面 所以1B A 3分 又因为 正方形，所以 D ，所以 平面1 19 D 1面1 5分 （）由（ 1）知11,B A A B B A A D，如图以1,D x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 则1( 0 , 0 , 0 ) , ( 1, 0 , 0 ) , ( 1, 1, 0 ) , ( 0 , 1, 0 ) , ( 0 , 0 , 3 )A B C D B， 平面1 1,1, 0 )设1 1 1A E A D 平面 法向量 ( , , )m x y z则 1 ( 0 , , 0 )A E A D 所以1 1 1 1 ( 1, , 3 )A E A A A E B B A E u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r， 由 0 3 0m A E x y z ur u u 由 00m A C x y ur 令 1x ，则 11,3 ， 即 1(1, 1, )3m 8分 所以22c o s ,( 1 )223B D m u u ur 所以 222 6 ( 1 )2333( 1 )223 ，解得 31 ， 所以在棱11 ，使二面角1E 的余弦值是 63，11131 12分 20解：（ 1）设点1 1 2 2( , ) , ( , )A x y D x y，则11( , )B x y， 则 2 2 2 21 1 2 22 2 2 21 , 1 ,x y x ya b a b 因为 B ，所以 1k，因此2 1 2 12 1 2 111, 4y y y x x x x ， 所以22222 2212212 2 2 2 22 1 2 1()1144b x x x a ， 4分 20 又 223， 解得 224, 1，所以椭圆 C 的方程为 2 2 14x y. 6分 （ 2）因为11yk x ，所以 12 1 11: ( )4yl y y x ， 令 0y 得13令 0x 得134， 所以1119| | | | | |28O M M O N x y ， 9分 因为 2 211 1 11 | |4x y x y ，且当 11| | 2 | |时，取等号， 所以 面积的最大值是 98 12分 21解：（） 22 ( ) ( 1 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 ) x x xf x e x m x e x m e x m x m ( ) ( 1 )xe x m x ， 1分 设切点为 (,0)t ，则 ( ) 0 , ( ) 0f t f t，即2( ) ( 1 ) 0 ( 1 ) 1 0t m te t m t ， 3分 解得： 13或1， 所以 m 的值是 3 或 1 ； 5分 （）依题意，当 0,1x 时，函数m a x m i n( ) 2 ( )f x f x， 6分 （一） 1m 时，当 0,1x 时， ( ) 0，函数 () 所以 (0) 2 (1)，即 31 2 32 ； 7分 （二） 0m 时， 0,1x 时， ( ) 0，函数 () 所以 (1) 2 (0)，即 3 2 3 2m ； 8分 （三）当 01m时，当 (0, )时 ( ) 0，当 ( ,1)时， ( ) 0， 所以m i n 1( ) ( ) x f m e ，m a x( ) ( 0 )f x f或 (1)f ， 9分 记函数 1()e ， ( )e ，当 0m 时， ( ) 0， ()调递减， 所以 (0,1)m 时， 2( ) (1)g m ，所以m i n 2 ( 1 ) 42 ( ) 1 ( 0 )x ， 21 m i n 2 ( 1 ) 4 3 32 ( ) ( 1 )x fe e e e ，不存在 (0,1)m 使得m a x m i n( ) 2 ( )f x f x， 综上 :实数 m 的取值范围是 ( , 3 2 ) ( 3 , )2 12分 ）由 2 s i n 2 c o s ，可得 2 2 s i n 2 c o s 所以曲线 C 的直角坐标方程为 22 22x y y x ， 4 分 （）直线 l 的方程为222:22 ， 化成普通方程为 2 7分 由 22 222x y y ，解得 02或 20 9分 所以 22 10 分 24解：（）当 1a= 时，不等式 ( ) 2可化为 | 1 | | 2 1 | 2+ - ? 当 12x时，不等式为 32x ，解得 23x，故 23x； 当 112x 时，不等式为 22解得 0x ，故 10x ； 当 1x 时，不等式为 32解得 23x，故 1x ； 4分 综上原不等式的解集为 20,3x x x或 5分 （） ( ) 2f x x 在 1 ,12x时恒成立，当 1 ,12x时，不等式可化为 | 1| 1 ， 解得 22 0 0a x ， 因为 1 ,12x，所以 2