高中数学总复习-分类讨论思想介绍与专题训练(附详细解析)

1 专题复习专题复习 分类讨论思想分类讨论思想 一 填空题 一 填空题 例例 1 设集合 A x x 4 B x x 3 a 若 则实数 a 的取值范围是AB 例例 2 已知实数 a 0 函数 若 f 1 a f 1 a 则 a 的值为 2 1 2 1 xa x f x xa x 例例 3 已知定义在闭区间 0 3 上的函数 f x kx2 2kx 的最大值为 3 那么实数 k 的取值集 合为 例例 4 已知双曲线的渐近线方程为 y x 则双曲线的离心率为 3 4 例例 5 若函数 f x a x b 2 在 0 上为增函数 则实数 a b 的取值范围是 例例 6 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a3 S3 则 a1的值为 3 2 9 2 例例 7 若直线 y 2a 与函数 y ax 1 a 0 且 a 1 的图象有两个公共点 则 a 的取值范 围是 例例 8 已知圆 x2 y2 4 则经过点 P 2 4 且与圆相切的直线方程为 例例 9 若函数在其定义域内有极值点 则 a 的取值为 32 1111 1 3245 f xaxaxx 例例 10 如图所示 有两个相同的直三棱柱 高为 底面三角形的三边长分别为 2 a 3a 4a 5a a 0 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱 在所有可能的情形中 全面积最小 的是一个四棱柱 则 a 的取值范围是 例 10 例例 11 若函数 f x a bcosx csinx 的图象经过点 0 1 和 1 两点 且 x 0 时 f x 2 2 2 恒成立 则实数 a 的取值范围是 例例 12 函数 f x mx2 m 3 x 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧 则实数 m 的取值范围是 例例 13 设 0 b 1 a 若关于 x 的不等式 x b 2 ax 2的解集中的整数恰好有 3 个 则实 数 a 的取值范围是 例例 14 数列的通项 其前 n 项和为 Sn 则 Sn n a 222 cossin 33 n nn an 2 二 解答题 二 解答题 例例 15 设 A x 2 x a B y y 2x 3 且 x A C z z x2 且 x A 若 C B 求实数 a 的取值范围 例例 16 已知函数 a R 2 f xx xa 1 当 a 0 时 求证函数在 上是增函数 f x 2 当 a 3 时 求函数在区间 0 b b 0 上的最大值 f x 例例 17 已知数列 an 满足 a1 5 a2 5 若数列 an 1 an 是 11 6 2 nnn aaann N 等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 当 k 为奇数时 1 1 114 3k kk aa 3 求证 12 1111 2 n n aaa N 3 例例 18 已知 且 12 31 39 0 xx f xfxaax R 112 212 f xf xfx f x fxf xfx 1 当时 求在处的切线方程 1a f x1x 2 当时 设所对应的自变量取值区间的长度为 闭区间的29a 2 f xfx l m n 长度定义为 试求 的最大值 nm l 3 是否存在这样的 使得当时 若存在 求出的取值范围 a 2 x 2 f xfx a 若不存在 请说明理由 参考答案参考答案 例例 1 解析 当 a 0 时 B 符合题意 当 a 0 时 B B x 3 a x 3 a 由得 解得 0 a 1 AB 34 34 a a 综上所述 a 1 例例 2 解析 a 0 时 1 a 1 1 a 1 则可得 2 1 a a 1 a 2a 解得 a 与 a 0 矛盾 舍去 3 2 a 0 时 1 a 1 1 a 1 则 1 a 2a 2 1 a a 解得 a 3 4 所以 a 3 4 例例 3 3 解析 f x kx2 2kx k x 1 2 k 当 k 0 时 二次函数开口向上 当 x 3 时 f x 有最大值 f 3 3k 3 解得 k 1 当 k 0 时 二次函数开口向下 当 x 1 时 f x 有最大值 f 1 k 3 解得 k 3 当 k 0 时 显然不成立 综上所述 1 3 4 例例 4 4 解析 当双曲线焦点 在 x 轴上 e2 1 e2 e b a 3 4 b2 a2 c2 a2 a2 9 16 25 16 5 4 当双曲线焦点在 y 轴上 e2 1 b a 4 3 b2 a2 c2 a2 a2 16 9 e2 e 25 9 5 3 例例 5 5 解析 当 a 0 时 需 x b 恒为非负数 即 a 0 b 0 当 a 0 时 需 x b 恒为非正数 又 x 0 不成立 综上所述 由 得 a 0 且 b 0 例例 6 6 解析 当 q 1 时 S3 3a1 3a3 3 符合题意 所以 a1 3 2 9 2 3 2 当 q 1 时 S3 a1 1 q q2 又 a3 a1q2 得 a1 代入上式 a1 1 q3 1 q 9 2 3 2 3 2q2 得 1 q q2 即 2 0 解得 2 或 1 舍去 3 2q2 9 2 1 q2 1 q 1 q 1 q 因为 q 所以 a1 6 1 2 3 2 f 1 2 2 综上可得 a1 或 6 3 2 例例 7 7 解析 分 0 a 1 与 a 1 两种情况讨论 画出图象 由图象知 a 应满足的条件是Error 0 a 1 2 例例 8 解析 当斜率存在时 设直线方程为 y 4 k x 2 即 kx y 2k 4 0 若直线 与圆相切 则 解得 k 所以切线方程是 2 24 2 1 k k 3 4 3x 4y 10 0 当斜率不存在时 易得切线方程是 x 2 例例 9 解析 即 f x a 1 x2 ax 0 有解 1 4 当 a 1 0 时 满足题意 当 a 1 0 时 只需 a2 a 1 0 解得 2525 22 a 综上所述 a 的取值范围是或 a 1 2525 22 a 例例 1010 解析 先考查拼成三棱柱 如图 1 所示 全面积 S1 2 4a 3a 3a 4a 5a 12a2 48 1 2 4 a 5 再考查拼成四棱柱 如图 2 所示 全面积 例 10 图 若 AC 5a AB 4a BC 3a 则四棱柱的全面积 S2 2 4a 3a 2 3a 4a 24a2 28 2 a 若 AC 4a AB 3a BC 5a 则四棱柱的全面积 S2 2 4a 3a 2 3a 5a 24a2 32 2 a 若 AC 3a AB 5a BC 4a 则四棱柱的全面积 S2 2 4a 3a 2 4a 5a 24a2 36 2 a 又在所有可能的情形中 全面积最小的是一个四棱柱 从而知 24a2 28 12a2 48 12a2 20 0 a 综上所述 a 的取值范围 15 3 是 0 15 3 例例 11 解析 由 f 0 a b 1 f a c 1 得 b c 1 a f x a 1 a 2 sinx cosx a 1 a sin x 2 4 3 2 sin 1 44424 xx 当 a 1 时 1 f x a 1 a f x 2 只要 a 1 a 2 解得 22 a a 1 当 a 1 时 a 1 a f x 1 只要 a 1 a 2 2222 解得 a 4 3 1 a 4 3 综合 知实数 a 的取值范围为 4 3 2222 例例 12 解析 当 m 0 时 f x 1 3x 其图象与 x 轴的交点为 0 满足题意 1 3 当 m 0 时 由题意得 解得 0 m 1 0 0 3 0 2 m m m 当 m 0 时 由题意得 解得 m 0 0 0 1 0 m m 所以 m 的取值范围是 m 1 例例 13 解析 原不等式化为 1 a x b 1 a x b 0 当 a 1 时 易得不合题意 当 a 1 时 x 由题意 0 1 要使不等式解集中恰好有 3 个整数 b a 1 b a 1 b a 1 则 3 2 整理得 2a 2 b 3a 3 结合题意 b 1 a 有 2a 2 1 a b a 1 a 3 从而有 1 a 3 例例 14 解析 因为 所以 是以 3 为周期的数 22 2 cossincos 333 nnn 22 cossin 33 nn 列 因此 在数列求和时应分三类进行讨论 6 当 时 3 nk k N 312345632313 kkkk Saaaaaaaaa 222222 222 1245 32 31 3 6 3 222 kk k 1331185 94 2222 kkk 当时 31 nkk N 3133 49 2 kkk kk SSa 当时 32 nkk N 2 323131 49 31 1321 22236 kkk kkkk SSak 综上所述 1 32 36 1 13 31 6 34 3 6 n n nk nn Snk nn nk k N 例例 1515 解 y 2x 3 在 2 a 上是增函数 1 y 2a 3 即 B y 1 y 2a 3 作出 z x2的图象 该函数定义域右端点 x a 有三种不同的位置情况如下 当 2 a 0 时 a2 z 4 即 C z a2 z 4 要使 C B 由图 1 可知 则必须 2a 3 4 得 a 这与 2 a 0 矛盾 1 2 当 0 a 2 时 0 z 4 即 C z 0 z 4 要使 C B 由图 2 可知 必须Error 解得 a 2 1 2 当 a 2 时 0 z a2 即 C z 0 z a2 要使 C B 由图 3 可知 必须且只需Error 解得 2 a 3 当 a 2 时 A 此时 B C 则 C B 成立 综上所述 a 的取值范围是 2 3 1 2 例例 16 解 1 a 0 x2 a 0 f x x x2 a x3 ax f x 3x2 a f x 0 对 x R 成立 函数 f x 在 上是增函数 2 解 当 a 3 时 f x x x2 3 i 当 x 或 x 时 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 0 33 ii 当 x 时 f x 3 3x2 3 x 1 x 1 33 7 当 1 x 1 时 f x 0 当 x 1 或 1 x 时 f x 0 33 所以 f x 的单调递增区间是 1 1 33 f x 的单调递减区间是 1 1 33 由区间的定义可知 b 0 若 0 b 1 时 则 0 b 1 1 因此函数 f x 在 0 b 上是增函数 当 x b 时 f x 有最大值 f b 3b b3 若 1 b 时 f x 3x x3在 0 1 上单调递增 在 1 b 上单调递减 因此 在 x 1 3 时取到极大值 f 1 2 并且该极大值就是函数 f x 在区间 0 b 上的最大值 当 x 1 时 f x 有最大值 2 若 b 时 当 x 0 时 f x 3x x3在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 333 因此 在 x 1 时取到极大值 f 1 2 在 x b 时 f x x3 3x 在 b 上单调递增 33 在 x b 时 f x 有最大值 f b b3 3b i 当 f 1 f b 即 2 b3 3b b3 b 2b 2 0 b b2 1 2 b 1 0 b 1 2 b 2 0 b 2 当 b 2 时 在 x 1 时 f x 取到最大值 f 1 2 3 ii 当 f 1 f b 解得 b 2 当 b 2 时 f x 在 x b 时 取到最大值 f b b3 3b 综上所述 函数 y f x 在区间 0 b 上的最大值为 ymax 3b b3 0 b 1 2 1 b 2 b3 3b b 2 例例 17 解 1 数列 an 1 an 是等比数列 111 111 6 1 6 nnnnnnn nnnnnn aaaaaaa aaaaaa 为常数 解得或 1 1 6 1 1 nn nn aa aa 6 1 2 3 当时 数列 an 1 2an 是首项为 15 公比为 3 的等比数列 则2 1 1 215 3n nn aa 当时 数列 an 1 3an 是首项为 10 公比为 2 的等比数列 则3 得 1 1 3 10 2 n nn aa 3 2 nn n a 2 当 k 为奇数时 1111111 1 3 4 87 114114 2 0 3323233 32 32 kk kkkkkkkkkkk kk aa 8 1 1 114 3k kk aa 3 由 2 知 k 为奇数时 11 1 11411 333 kkk kk aa 当 n 为偶数时 2 12 111111111 1 333232 nn n aaa 当 n 为奇数时 211 12121 1111111111111 1 333232 nn nnn aaaaaaa 12 1111 2 n n aaa N 例例 18 解 1 当时 1a 2 3 9 x fx 因为当时 3 0 log 5 x 1 31 x f x 2 93xfx 且 3 log 5 12 2 3102 3102 5 100 x f xfx 所以当时 且 3 0 log 5 x 31 x f x 3 1 0 log 5 由于 所以 又 3 ln3 x fx 1 3ln3k f 1 2f 故所求切线方程为 2 3ln3 1 yx 即 3ln3 23ln30 xy 2 因为 所以 则29a 33 99 0loglog 2a 当时 因为 3 9 logx a 390 x a 310 x 所以由 解得 21 39 31 1 380 xxx fxf xaa 3 8 log 1 x a 从而当时 33 98 loglog 1 x aa 2 f xfx 当时 因为 3 9 0logx a 390 x a 310 x 所以由 解得 21 93 31 10 1 30 xxx fx