导数的应用习题课.ppt

导数的应用习题课 天马行空官方博客 一 知识点 1 导数应用的知识网络结构图 天马行空官方博客 2 基本思想与基本方法 数形转化思想 从几何直观入手 理解函数单调性与其导数的关系 由导数的几何意义直观地探讨出用求导的方法去研究 解决有导数函数的极值与最值问题 这体现了数学研究中理论与实践的辩证关系 具有较大的实践意义 求有导数函数y f x 单调区间的步骤 i 求f x ii 解不等式f x 0 或f x 0 iii 确认并指出递增区间 或递减区间 证明有导数函数y f x 在区间 a b 内的单调性 i 求f x ii 解不等式f x 0 或f x 0 iii 确认f x 在 a b 内的符号 iv 作出判断 求有导数的函数y f x 的极值的步骤 i 求导数f x ii 求方程f x 0的全部实根 iii 检查f x 在方程f x 0的根左右两侧的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 设y f x 在 a b 上有定义 在 a b 内有导数 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 i 求f x 在 a b 内的极值 ii 将f x 的各极值与f a f b 比较 确定f x 的最大值与最小值 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 单峰函数 那么 只要根据实际意义判定最值 不必再与端点的函数值作比较 二 例题选讲 因此 函数在 0 和 1 2 1 上是增函数 而在 0 1 2 和 1 上是减函数 例2 已知函数f x ax3 bx2 曲线y f x 过点P 1 2 且在点P处的切线恰好与直线x 3y 0垂直 1 求a b的值 2 若f x 在区间 m m 1 上单调递增 求m的取值范围 故f x 的单调递增为 2 和 0 即m 1 2或m 0 故m 3或m 0 练习1 已知函数f x x3 3ax b a 0 的极大值为6 极小值为2 1 试确定常数a b的值 2 求函数的单调递增区间 答案 1 a 1 b 4 2 单调递增区间为 1 和 1 例3 试问 曲线y x6 3上哪一点的法线在y轴上截距最小 所谓法线是指 过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线 练习2 已知函数f x x3 ax2 bx c在x 2 3与x 1处都取得极值 1 求a b的值 2 若x 1 2 时 不等式f x c2恒成立 求c的取值范围 答案 1 a 1 2 b 2 2 利用f x max2 练习3 若函数f x x3 bx2 cx在 0 及 2 上都是增函数 而在 0 2 上是减函数 求此函数在 1 4 上的值域 解 设B x 0 0 x 2 则A x 4x x2 从而 AB 4x x2 BC 2 2 x 故矩形ABCD的面积为 S x AB BC 2x3 12x2 16x 0 x 2 例5 已知x y为正实数 且x2 2x 4y2 0 求xy的最大值 解 由x2 2x 4y2 0得 x 1 2 4y2 1 所以当x 1时 f x 取最小值f 1 1 三 小结 四 作业 1 要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法 2 要认识导数应用的本质 强化应用意识 3 认真梳理知识 夯实基础 善于利用等价转化 数形结合等数学思想方法 发展延拓 定能不断提高解题的灵活性和变通性 p 257 258课后强化训练 说明 此题为p 248第15题 解 1 由已知得f f x f x2 c x2 c 2 c f x2 1 x2 1 2 c 由f f x f x2 1 得 x2 c 2 c