立体几何中的一个经典模型.doc

立体几何中的一个经典几何模型由四个直角三角形围成的四面体是一个经典的几何模型，俗称“三节棍”模型，如图1四面体中，BACD 图1均为直角.我们研究它的产生背景、各面所成的角及其棱所在直线与相关面所成的角的性质，为此，定义为底面，为斜面，为主垂面，为副垂面.(主副垂面之分在于)为的主斜线，为副斜线，它们在底面内的摄影也分别称作主射影和副射影.设这个模型的几何结构特点决定，在其中，空间直角坐标系的建立以及相关向量的计算不易直接实现，因此我们有必要探讨在这种模型中如何避开利用空间向量的解析法而用纯几何的手段解决有关角的问题.1. “三节棍”模型的背景：线面角背景：如图1，是平面的垂线，为垂足，是平面的斜线，是斜足，是平面内另一异于的直线，过作，垂足为，就是斜线与底面所成的角，四面体 即为“三节棍”模型长方体切割背景： 如图2，在长方体 中两个平面和切割所得四面体即为“三节棍”模型.球体切割背景：如图3，球O的直径为，过作球的两个不同截面，再分别过和分别作共弦的截面和，四面体即为“三节棍”模型.2. “三节棍”模型的性质：在图1的“三节棍”模型中，我们可以得出下面的性质，最小角定理：斜线与所成的角，是斜线与内过斜足的所有直线所成角中最小的角.三面角公式：公式1在图1中，满足.不仅如此，“三节棍”模型中各顶点的三个角中，对应斜面上的角的余弦等于其它两个互相垂直的面中对应角余弦之积.如.由各面直角三角形锐角的互余关系，公式1还可化为：公式二面角公式：1) 主、副垂面所成的二面角，它的平面角等于2) 主垂面与底面所成的角为直二面角.3) 副垂面与底面所成的二面角为直二面角4) 副垂面与斜面所成的二面角为直二面角5) 斜面与底面所成的二面角的平面角为，满足：= 公式2证明：设，则 ，所以= BACD O图46) 主垂面与斜面所成的二面角，设其平面角为= 公式3证明：如图4，作垂足为，连接.设，则，线面角1).副斜线与主垂面所成的角为，满足.公式4证明：如图4，按照6)的作图，即为副斜线与主截面所成的角，即，同样设=1则，2).主射影与斜面所成的角为图5 CDEBA则满足公式5证明：如图5，过作，连接，则即为主射影与斜面所成的角，设，则在中利用等面积关系得：，3.“三节棍”模型的应用举例 为说明“三节棍”模型及其相关规律在解题中的作用，我们试举下面例题例1. 如图，在三棱柱中，是边长为4的正方 形平面平面， (I)求证：平面； (II)求二面角的余弦值； (III)证明：在线段存在点，使得，并求的值. 分析：该题中的几何关系尽管适合建立空间直角坐标系，但我们直接用公式3更快捷的解决问题.解：(I)略 (II)由(I)知平面，=5设二面角为，则(III)证明(略)例2.如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线 平面分别是的中点(I)记平面与的交线为，判断直线与平面的位置关系，并加以证明；(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为，且点.记直线与平面所成的角为，异面直线 与所成的角为，二面角的大小为，求证：解析：本题直接用到了“三节棍”模型，除了建系