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第第页高三练习卷(南通四模)数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.福佑崇文阁专供1.已知集合,则()A. B. C. D.2.某志愿者小组有5人,从中选3人到A、B两个社区开展活动,其中1人到社区,则不同的选法有()A.12种 B.24种 C.30种 D.60种3.已知两个非零向量满足,则在上的投影向量为()A. B. C. D.4.已知球的半径为1,其内接圆锥的高为,则该圆锥的侧面积为()A. B. C. D.5.已知函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.下列函数中,以为周期,且其图象关于点对称的是()A. B. C. D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为为过点的弦,为的中点,,则的离心率为()A. B. C. D.8.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8,将其随机抛掷两次,记与地面接触面上的数字依次为,,事件“”,事件“”,事件“”,则()A. B. C.,互斥 D.,相互独立二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知,是两条直线,是两个平面,下列结论不正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则10.设抛物线的焦点为,是上的一个动点,则下列结论正确的是()A.点到的距离比到轴的距离大2B.点到直线的最小距离为C.以为直径的圆与轴相切D.记点在的准线上的射影为,则不可能是正三角形11.设是直线与曲线的两个交点的横坐标,则()A. B.C. D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.复数与分别表示向量与,记表示向量的复数为,则______.13.某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率约为,且每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起的十年内每年年初的计划存栏数依次为,,,,则______,数列的通项公式______.14.在梯形中,,,则该梯形周长的最大值为______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)设,函数.(1)当时,求过点且与曲线相切的直线方程:(2)是函数的两个极值点,证明:为定值.16.(15分)如图,在四棱台中,平面,,,,,.(1)记平面与平面的交线为,证明:;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.17.(15分)某高校统计的连续5天入校参观的人数(单位:千人)如下:样本号12345第天12345参观人数2.42.74.16.47.9并计算得,.(1)求关于的回归直线方程,并预测第10天入校参观的人数;(2)已知该校开放1号,2号门供参观者进出,参观者从这两处门进校的概率相同,且从进校处的门离校的概率为,从另一处门离校的概率为.假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响,已知甲、乙两名参观者从1号门离校,求他们从不同门进校的概率.附:回归直线方程,其中.18.(17分)已知双曲线的左、右焦点分别为,焦距为4,上一点满足,且的面积为.(1)求的方程;(2)过的渐近线上一点作直线与相交于点,,求的最小值.19.(17分)设有穷数列的项数为,若正整数满足:,则称为数列的“min点”(1)若,求数列的“min点”;(2)已知有穷等比数列的公比为2,前项和为.若数列存在“min点”,求正数的取值范围;(3)若,数列的“min点”的个数为,证明:.
高三练习卷(南通四模)数学参考答案及评分建议一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.福佑崇文阁专供1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】C5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】D二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.【答案】ACD 10.【答案】BC 11.【答案】ACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.【答案】25 13.【答案】1242, 14.【答案】四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解:(1)当时,,则导数.设切点为,则,所以切线方程为.又切线过点,则,整理得,,解得.所以过点且与曲线相切的直线方程为.(2)证明:依题意,,令,得.00极大值极小值不妨设,则.,所以为定值.16.证明:(1)因为,平面,平面,所以平面.又平面,平面平面,所以.解:(2)在中,,,.由余弦定理得,,则,得.又,则.因为平面,所以.又,所以平面.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则.设平面的法向量为,则令,得,所以.又是平面的一个法向量.记平面与平面的夹角为,则,所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.解:(1)依题意,,,所以.当时,,答:第10天入校参观的人数约为14.99千人.(2)记“两名参观者从不同门进校”为事件,“两名参观者都从1号门离校”为事件,即求.则,,所以.答:他们从不同门进校的概率为.18.解:(1)在中,因为,所以.所以的面积,解得.在中,由余弦定理,得,所以.因为在双曲线上,所以,得.所以的方程为.(2)法1:设,则,当直线轴时,设直线与交于点,所以,即所以.当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,,利用对称性不妨设在直线上.联立得.联立并消去,得,所以.则,同理,得.所以(当且仅当时,取等号,满足),综上,的最小值为1.(3)法2:设,则,当垂直轴时,设的方程为:,则.因为两式相减,得,所以.当的斜率存在时,设的方程为:,由消去并化简,得.所以则,同理.所以.综上所述,当轴时,的最小值为1.19.解:(1)因为,所以数列的“min点”为3,5.(2)依题意,,因为数列存在“min点”,所以存在,使得,所以,即.因为,所以,所以.又当时,取最大值,所以,又,所以.当时,有,所以数列存在“min点”,所以的取值范围为.(3)①若,则数列不存在“min点”,即.由得,,所以.②若存在,使得.下证数列有“min点”.
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